Как найти площадь под кривой функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

In Mathematics, we have learned formulas to calculate the area of various figures such as circles, squares, rectangles, spheres, etc. but apart from these figures we also come across non-linear figures or curves that do not have a direct formula to calculate the area under them. The integration method aids in determining the area of such figures. The antiderivative techniques are highly useful for locating the regions of irregular plane surfaces. In this article, we shall learn how to find the area under a curve.

Area under the Curve

The area under a curve can be calculated with respect to different axes such as the Y- axis and X- axis. By performing a definite integral between the two locations, one may determine the area under a curve between two points. Integrate y = f(x) between the limits of a and b to determine the area under the curve y = f(x) between x = a & x = b. With the specified restrictions, integration may be used to compute this area.

Area with Respect to X-Axis

The curve shown in the image below is represented using y = f(x). We need to calculate the area under the curve with respect to X-axis. The boundary values for the curve on the X-axis are a and b respectively. The area A under this curve with respect to X-axis is calculated between the points x = a and x = b. Consider the following curve:

Formula

$A = int_{a}^{b}y.dx$

or

$A = int_{a}^{b}f(x)dx$

where,

A is the area under the curve

y or f(x) is the equation of the curve

a, b are the x-intercepts

Area with Respect to Y-Axis

The curve shown in the image above is represented using x = f(y). We need to calculate the area under the curve with respect to Y-axis. The boundary values for the curve on the Y-axis are a and b respectively. The area A under this curve with respect to Y-axis between the points y = a and y = b. Consider the following curve:

Formula

$A = int_{a}^{b}x.dy$

or

$A = int_{a}^{b}f(y)dy$

where,

A is the area under the curve

x or f(y) is the equation of the curve

a, b are the y-intercepts

Solved Examples on Area Under The Curve

Example 1: Find the area under the curve y² = 12x and the X-axis.

Solution:

The given curve equation is y² = 12x.

This is an equation of parabola with a = 3 so, y² = 4(3)(x)

The graph for the required area is shown below:

The X-axis divides the above parabola into 2 equal parts. So, we can find the area in the first quadrant and then multiply it by 2 to get the required area.

So, we can find the required area as:

$A = 2int_{a}^{b}ydx$

$A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx$

$A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3$

$A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3$

$A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}$

A = 24 sq. units

Example 2: Calculate the area under the curve x = y³ – 9 between the points y = 3 and y = 4.

Solution:

Given, the equation of curve is x = y³ – 9.

The boundary points are (0, 3) and (0, 4) .

As the equation of curve is of the form x = f(y) and the points are also on the Y-axis, we will use the formula,

$A = int_{a}^{b}x.dy$

$A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy$

$A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3$

$A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)$

$A = 28+frac{27}{4}$

A = 139/4 sq. units

Example 3: Calculate the area under the curve y = x² – 7 between the points x = 5 and x = 10.

Solution:

Given, the curve is y = x²−7 and the boundary points are and

Thus, the area under the curve is given by:

$A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx$

$A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}$

$A = (frac{1000}{3}-70)-(frac{125}{3}-35)$

$A= frac{790}{3}-frac{20}{3}$

A = 770/3 sq. units

Example 4: Find the area enclosed by the parabola y² = 4ax and the line x = a in the first quadrant.

Solution:

The curve and the line given can be drawn as follows:

Now, the equation of curve is y² = 4ax.

The boundary points come out to be (0,0) and (a,0).

So the area with respect to X-axis can be calculated as:

$A=int_{0}^{a}ydx$

$A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx$

$A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a$

$A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a$

$A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}$

$A=frac{4a^2}{3} sq. units$

Example 5: Find the area covered by the circle x² + y² = 25 in the first quadrant.

Solution:

Given, x² + y² = 25.

The curve can be drawn as:

The required area has been shaded in the above figure. From the equation we can see that radius of the circle is 5 units.

As, x²+ y²= 25

$y = sqrt{25-x^2}$

To find the area, we shall use:

$A = int_{a}^{b}ydx$

$A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx$

$A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5$

$A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]$

$A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}$

A = 25 π/4 sq. units

FAQs on Area Under The Curve

Question 1: Explain the meaning of the area under the curve.

Solution:

The region enclosed by the curve, the axis, and the boundary points is referred to as the area under the curve. Using the coordinate axes and the integration formula, the area under the curve has been determined as a two-dimensional area.

Question 2: Explain the three methods to find the area under the curve.

Solution:

Three methods to find the area under the curve are:

The first method is to break up the space into multiple tiny rectangles of the area under the curve. The areas are then summed to get the overall area.

The second technique involves cutting the space into a few rectangles, which are then joined together to create the desired area.

Utilizing integration to locate the region is the third approach.

Question 3: Can the area under the curve be negative? If yes, explain.

Solution:

If the curve is below the axis or lies in the coordinate axis’s negative quadrants, the area under the curve is negative. In this case as well, the area under the curve is computed using the conventional approach, and the solution is then modulated. Even in cases when the answer is negative, just the area’s value is taken into account, not the answer’s negative sign.

Question 4: How is the area under the curve approximated?

Solution:

By segmenting the region into tiny rectangles, the area under the curve may be roughly estimated. And by adding the areas of these rectangles, one may get the area under the curve. A collection of a few large rectangles may be drawn, and their areas can then be added to determine the approximate area under the curve. Additionally, with the use of definite integrals, we can easily determine the precise area under the curve.

Related Resources

Area of Triangle

Area of Square

Area of Sphere

Last Updated :
02 Jan, 2023

Like Article

Save Article

Источник

1. Основная формула для вычисления площади плоских фигур с помощью определенного интеграла

Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

Как мы пытались ее решить:

Первый способ.

Разбили отрезок на одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили в пределе и

получили искомую площадь S. Ввели обозначение .

Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.

Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

Рис. 2. Функция S (x)

Ввели функцию . Каждому площадь под соответствующей частью кривой . Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:

Каждому соответствует единственное значение .

Мы доказали, что производная этой же функции и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функциии взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке и отнять первообразную в точке И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.

2. Методика нахождения площади на примере

Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.

Пример 1.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Вот искомая площадь:

Рис. 3. Площадь

Вот формула:

Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:

Пределы интегрирования .

Вычислили площадь криволинейной фигуры.

Ответ:

В следующей задаче площадь искомой фигуры образовывается с помощью А именно:

3. Пример 2

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Посмотрим, как выглядит фигура (рис. 4).

Рис. 4. Фигура, ограниченная линиями

Формула та же самая:

В нашем случае . Итак, надо найти определенный интеграл

=-(-1)+1=1+1=2.

Искомая площадь найдена, и ответ получен.

Ответ: 2

4. Пример 3

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Формула для площади та же самая:

В нашем случае .

Ответ:

В следующем примере ищется площадь под параболой.

5. Пример 4

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Схематически изобразим параболу Корни

Рис. 6. Парабола

Применим известную формулу

И применим ее для данной функции и пределов интегрирования

Искомая площадь найдена.

Ответ:

В предыдущих задачах площадь образовывалась с помощью разных кривых, но эта площадь находилась над осью . В следующей задаче наоборот.

6. Пример 5. Случай, если фигура находится под осью

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение.

Посмотрим, что это за фигура. График в пределах от Π до 2Π расположен под осью Ox (рис. 7).

Рис. 7. График в пределах от Π до 2Π

Ясно, что если возьмем определенный интеграл, то мы получим отрицательное число.

Вычисляем.

1. Сначала вычисляем определенный интеграл от π до 2π от подынтегральной функции

Надо найти первообразную.

По таблице первообразных: .

=-1-1=-2.

2. Для того чтобы найти площадь, надо взять модуль =2.

Ответ: 2.

7. Пример. Общий случай для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми. Выводы

Следующее усложнение – искомая площадь расположена между двумя кривыми.

А именно:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис.

Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Итак, площадь образуют 2 кривые, одна из них может находиться под осью .

Каким образом мы будем решать эту задачу?

Во-первых, мы можем сдвинуть фигуру на такое положительное , что площадь находится над осью . Рис. 9.

Рис. 9. Сдвиг фигуры

Затем мы возьмем соответствующий определенный интеграл и найдем площадь. Искомая площадь равна разности двух площадей.

Площадь под верхней кривой минус площадь под нижней кривой .

Каждую из площадей мы умеем находить.

Таким образом, в общем виде была поставлена задача, в общем виде получен ответ.

Ответ:

Обсудим и постановку задачи, и полученный важный результат.

Нам надо было найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Мы использовали известный прием: эту площадь подняли на некоторое , и это Так вот, эту площадь теперь можно считать без введения . Правило следующее:

Площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями непрерывных на отрезке и таких, что для всех из отрезка вычисляется по формуле, которую мы вывели:

Рассмотрим первый конкретный пример на нахождение площади между двумя линиями.

8. Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

Решение. Для начала построим графики этих линий и поймем, где та площадь, которую нам надо искать.

График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4, ветви вниз. График

– биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:

Рис. 10. Искомая площадь

Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.

1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: .

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :

Мы нашли , то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.

Теперь стандартное действие:

2. = =()

Искомая площадь равна 4,5

Ответ: 4,5

9. Пример 7. Случай, когда часть площади плоской фигуры лежит под осью

Во втором примере часть площади находится под осью , но на методику это не влияет.

Пример 6.

Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение.

Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.

Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.

Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.

Рис. 11. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.

Пределы интегрирования найдем из системы.

То есть, пределы интегрирования найдены.

= ()

Ответ:

Итак, мы показали, каким образом можно вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Список литературы

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Ru.scribd.com (Источник).
Math4you.ru (Источник).
Dok.opredelim.com (Источник).

Домашнее задание

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1030, 1033, 1037, 1038.

Источник

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Данный калькулятор поможет найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла. Это свойство аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функции.

Аддитивность означает, что площадь замкнутой области, составленных из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур. Интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций. Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.
Калькулятор поможет вычислить площадь фигуры ограниченной линиями онлайн.

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»

Источник

Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая определяет ось , прямые параллельны оси и парабола симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке график функции расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ: – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке над осью расположен график прямой ;
2) на отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
– нижний предел интегрирования, – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

1.9. Объём тела вращения

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

| Оглавление |

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Площадь фигуры между двумя кривыми в прямоугольных координатах определяется интегралом
от разницы кривых, где одна из них всегда принимает не меньшие значения чем другая , а также кривые непрерывны.
Пределы интегрирования — прямые x₁=a, x₂=b — ограничивают фигуру (a<b чаще всего это точки пересечения заданных кривых).
Данный цикл задач в первую очередь подойдет студентам мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко для прохождения практикума из математического анализа.
Студенты других Вузов могут набираться практики на подобных интегралах, и изучать методику вычисления.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. «Практикум из математического анализа» (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).

Пример 2.81 (2397). Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах ax=y², ay=x²,(a>0).

Вычисление: Построим графики функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

На графике они будут иметь следующий вид

Площадь между кривыми и нужно найти. Как правило, Вам редко будет известно сам график, поэтому в заданиях где не заданы области на которой находить площадь в первую очередь необходимо найти точки пересечения кривых.
Найдем пределы интегрирования, то есть точки абсцисс пересечения заданных функций y₁(x)=y₂(x):

Как видите таким условием есть условие равенства функций.
Из последнего уравнения получим две точки x₁=0, x₂=a.
Дальше, когда Вы не видите графика функций необходимо установить какая из кривых принимает большие значения. Это нужно лишь для того, чтобы с первого раза получить положительное значение площади фигуры. Поскольку площадь всегда больше нуля, а интеграл может принимать произвольные значения, то без проверки следующего условия для нахождения площади интеграл нужно брать за модулем.
Выбираем произвольную точку из отрезка интегрирования [0;a] и убеждаемся в правильности неравенства , то есть проверяем которая из кривых принимает большее значения .
Как отмечалось выше, это нужно для того, чтобы после интегрирования получить положительную площадь фигуры между кривыми.
Вычисляем площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми интегрированиям:

Здесь мы имели достаточно простые функции, поэтому возведя их к табличным интегралам найти площадь достаточно легко. Следующие примеры будут содержать все более тяжелые функции, для интегрирования которых нужно применять знание практически всех формул интегрирования.
Следует заметить: значения площадей (во всех заданиях) измеряются в квадратных единицах (кв. од.), об этом Вы должны помнить, однако для экономии места и времени здесь будут приведены лишь значения определенных интегралов.

Пример 2.82 (2398) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x², x+y=2.
Вычисление: По методике записываем уравнение кривых, которые ограничивают площадь фигуры:
y₁(x)=x², y₂(x)=2-x.
Здесь функции выразить достаточно просто.
Вычислим пределы интегрирования, приравняв между собой функции y₁(x)=y₂(x):
x²=2-x.
Переносим переменные по одну сторону от знака равенства и решаем квадратное уравнение
x²+x-2=0;
(x+2)(x-1)=0.
Следовательно, корни уравнения x₁=-2, x₂=1.
Сам график кривых и фигуры, площадь которой ищем, приведен на рисунку

Подстановкой любой точки из промежутка [-2;1], например x=0 в функции убеждаемся, что выполняется неравенство
, поэтому .
Площадь фигуры вычисляем интегрированием разницы кривых в найденных пределах:

Площадь равна S=4,5 квадратных единиц.
По физическому содержанию площадь фигуры равна разнице площадей двух криволинейных трапеций. Первая отвечает за верхний график y₂(x), нижняя криволинейная трапеция за функцию, которая принимает меньшие значения y₂(x). Разница заключается в том, что здесь еще нужно определять пределы интегрирования.

Пример 2.83 (2399) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x-x², x+y=0.
Вычисление: Запишем уравнение кривых, которые ограничивают искомую фигуру:
y₁(x)=-x, y₂(x)=2x-x².
Из условия равенства функций y₁(x)=y₂(x) найдем пределы интегрирования:
2x-x²=-x;
x²-3x=0;
x (x-3) =0.
Следовательно, x₁=0, x₂=3.
Подстановкой единицы видим, что на промежутке [0;3] исполняется неравенство
, то есть .

Находим площадь фигуры ограниченной заданными кривыми:

Под интегралом простая квадратичная функция, поэтому само интегрирование не сложно.
Следующие функции будут более сложными в плане интегрирования, однако используя табличные интегралы площадь найти удается.

Пример 2.84 (2400) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2^x, y=2, x=0.
Вычисление: Запишем подынтегральные функции:
y₁(x)=2^x, y₂(x)=2, а также прямую x₁=0 (ограничивает фигуру по оси абсцисс).
Найдем вторую границу интегрирования из условия равенства функций y₁(x)=y₂(x):
2^x=2, 2^x=2¹, отсюда имеем вторую точку x₁=1.
На промежутке [0;1] исполняется неравенство , поэтому .
График степенной функции и прямой приведен ниже.

Площадь фигуры, которая ограничена кривыми равна интегралу:

При интегрировании получим логарифм.
На калькуляторах можете проверить, что площадь положительна.

Пример 2.85 (2401) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x, y=x+sin²x, .

Вычисление: Запишем уравнение кривых, которые ограничивают площадь фигуры:
y₁(x)=x, y₂(x)=x+sin²x.
Дальше пределы интегрирования:
x₁=0, x₂=Pi (это известно нам по условию).
На промежутке справедливо неравенство
, поэтому .

Если бы существовала дополнительная точка пересечения, то площадь была бы равна сумме двух интегралов.
Площадь фигуры вычисляем интегрированием: квадрат синуса под интегралом понижаем и выражаем с помощью косинуса двойного угла, а дальше за классической формулой интегрирования

Площадь равна Pi/2, что приблизительно равно 1,5708.

Пример 2.86 (2402) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Переписываем функции

Найдем пределы интегрирования, то есть точки абсцисс пересечения заданных функций из условия y₁(x)=y₂(x):
Поскольку функция парная

то найдем половину площади и результат умножим на двойку.
Из условия находим

что пределы равны плюс, минус бесконечности.
Чтобы легко представить, что мы интегрируем наведем график подынтегральных функций

Учитывая четность функции интегрировать будем от 0 к бесконечности , а полученное значение умножим на двойку.
Получим несвойственный интеграл первого рода (детальнее о нем в части ІІІ).
Площадь фигуры вычисляем через предел интеграла:

В результате интегрирования получим арктангенс, который в предельном случае стремится к Pi/2.
Конечная формула достаточно компактна и удобна для расчетов, хотя с таким типом интегралов Вы знакомитесь впервые.

Пример 2.87 (2403) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

Вычисление: Все Вы должны знать, что такой формулой задается уравнение эллипса.
Так как оси эллипса в канонической системе координат являются его осями симметрии, то эти оси делят эллипс на 4 равные части. Поэтому будем рассматривать часть эллипса, который находится в первом квадранте канонической (прямоугольной) системы координат.
Выражаем уравнение функции, которая ограничивает искомую площадь (четверть эллипса):

Запишем пределы интегрирования: из аналитической геометрии известно, что четверть эллипса ограничена прямыми x₁=0, x₂=a.

Для вычисления площади эллипса в самом интеграле необходимо выполнить замену переменных, что в свою очередь ведет к изменению пределов интегрирование. При этом придем к квадрату косинуса, который понижаем через косинус двойного угла.
В конце манипуляций приходим к табличным интегралам, которые легко интегрируем и подставляем пределы:

Получили классическую формулу площади эллипса S=Pi*a*b .
Видим, если эллипс вырождается в круг при (a=b=R), тогда формула площади круга S=Pi*R².

Пример 2.88 (2404) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y²=x²(a²-x²).
Вычисление: Так как все переменные в заданном уравнении входят в квадратах, то оси прямоугольной системы координат являются осями симметрии фигуры, которая ограничена этой линией, потому эти оси делят заданную фигуру на 4 равных части. Достаточно рассмотреть часть фигуры, которая заходиться в первом квадранте прямоугольной системы координат.
Построим график функции, которая ограничивает искомую площадь четвертины фигуры:

График неизвестной фигуры подобен на крылья бабочки.

При y=0 имеем два корня уравнения x₁=0 и x₂=a.
Площадь фигуры равна 4 умножить на интеграл с найденными пределами.
Во время интегрирования выполняем замену переменных и пределов интегрирования

Это позволяет перейти к показательной функции, которая легко интегрируется.
Всегда помните, что замена переменных под интегралом ведет к изменению пределов интегрирования.

Пример 2.89 Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

Вычисление: Запишем графику функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

Определим пределы интегрирования из условия y₁(x)=y₂(x):
отсюда x₁=0 и x₂=1.
Между функциями справедлива зависимость на [0;1], поэтому .
График функций, что анализируем следующий

Площадь фигуры через определенный интеграл равна 1/3 (сравните 2.81 при a=1) :

Пример 2.90 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Вычислим пределы интегрирования из условия равенства функций y₁(x)=y₂(x):

Из биквадратного уравнения получим значение точек пересечения:
x₁=-1 и x₂=1.
Сами же функции в прямоугольных координатах будут иметь вид

Интегрированием находим площадь фигуры (смотри рисунок и образец 2.89) :

Первый интеграл даст арктангенс, запомните хорошо эту формулу.

Пример 2.91 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=e^x, y=e^-x,x=1.
Вычисление: Из условия, которое Вы из-за повторяемости должны выучить y₁(x)=y₂(x) находим точки пересечения кривых:
e^x=e^-x,x=-x, 2x=0, следовательно, x₁=0.
x₂=1 (известно за условием).
График функций следующий

Экспоненту интегрировать не трудно, а площадь фигуры выражается формулой (смотри рисунок и образец 2.84) :

Пример 2.92 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=ln(x), y=ln²(x).
Вычисление: Пределы интегрирования из условия равенства функций y=ln(x), y=ln²(x) равны x₁=1 и x₂=e.

Интегрированием логарифмов находим площадь фигуры (смотри рисунок):

Здесь надо проинтегрировать по частям, положив ln(x) =u, (ln²(x)=u) и dx=dv. Попробуйте промежуточные действия провести самостоятельно.

Пример 2.93 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
y=ln(x), y=ln(a), y=ln(b), x=0, где 0<a<b.
Вычисление: Построим графики функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:
x (y) =e^y (то есть обратная функция к заданной функции y(x)=ln(x)) .
Такой прием применяют, когда пределы интегрирования параллельны оси Оx, то есть y=const.
Запишем пределы интегрирования:
y₁=ln(a), y₂=ln(b) (берем из начального условия).
График искомой фигуры следующий

Площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми:

Пример 2.94 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
Вычисление: Пределы интегрирования в формуле площади находим из условия y₁(x)=y₂(x):
ln(x)/(4x)=x*ln(x).
Упростив на логарифм (если он больше нуля), получим
1=4x²; 4x²-1=0, x₁=1/2.
Из условия на логарифм (=0) получим
ln(x) =0; x₂=1.
ОДЗ: x>0.
График фигуры в прямоугольных координатах следующий

Площадь фигуры между кривыми (на [0,5;1]) находим интегрированием:
для вычисления интегралов используем метод замены переменных

Вычисление не так просты, поэтому с превращениями попробуйте разобраться самостоятельно.

Пример 2.95 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=arcsin(x), y=arccos(x), y=0.
Вычисление: Находим точки пересечения кривых из равенства x₁(y)=x₂(y):
sin(x)=cos(y), отсюда y₁=0 (известно за условием) и y₁=Pi/4 (образец 2.93).
На графике это выглядит следующим образом

Учитывая справедливость неравенства вычисляем площадь фигуры:

Думаю, что с такими заданиями на экзамене или модулях Вы справитесь.

Пример 2.96 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=tg(x), y=2/3*cos(x), x=0.
Вычисление: Найдем пределы интегрирования, то есть абсциссы точек пересечения заданных функций y₁(x)=y₂(x):
tg(x)=2/3*cos(x), отсюда
(вторая точка известна за условием).
Кривые на плоскости имеют вид

Площадь фигуры, которая ограничена заданными кривыми () равна интегралу:

Пример 2.97 (2400) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=|ln(x)|, y=0, x=0,1; x=10.
Вычисление: Выписываем пределы интегрирования x₁=0,1; x₂=10 из начального условия.
Как строить модуль от логарифма Вы, по-видимому, еще не забыли

Площадь фигуры равна сумме двух интегралов, причем первый берем со знаком минус ():

Во время интегрирования использовали интегрирование частями.

Пример 2.98 (2400) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=(x+1)², x=sin(Pi*y), y=0 .
Вычисление: Построим график функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:
(здесь взяли обратную функцию к заданной y₁(x)=(x+1)²), x₂=sin(Pi*y).
Выпишем пределы интегрирования:
y₁=0; y₂=1 (известно за условием).
График функций приведен ниже

Неизвестную площадь фигуры вычисляем интегрированием ():

Пример 2.99 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=sin(x), y=cos(x), y=0
Вычисление: Из рисунку видно, что площадь S лучше разбить на две части: S=S₁+S₂.

Запишем уравнение функций, которые ограничивают искомую площадь фигуры:

Интегрируем синус и косинус функции и находим площадь.

Второй вариант заключается в интегрировании разницы обратных функций по y.

Пример 2407 Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми (циссоида Диокла) x=2a (a>0).
Вычисление: Поскольку график функции симметричен относительно оси Ox, то будем рассматривать половину площади фигуры (над осью Ox) и результат умножим на 2.
В точке x=2a функция не определена, поэтому будем иметь интеграл второго рода (детальнее смотрите часть ІІІ), он совпадает и, следовательно, площадь будет выражена числом.
Запишем пределы интегрирования:
x₁=0 (потому что ) x₂=2a (за условием).
График функций следующий

Площадь фигуры, что ограниченна заданной кривой находится достаточно непростым интегрированием

Здесь пришлось трижды выполнять замену переменных, чтобы прийти к правильному ответу.
Еще раз внимательно разберите интеграл.

Пример 2408 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (трактриса), y=0.
Вычисление: Трактриса — кривая, по которой двигается объект, когда его тянуть по горизонтальной плоскости за бечевку фиксированной длины, если направление движения тягача является ортогональным к начальному положению бечевки и скорость тягача бесконечно малая величина.
Очевидно, что (смотри рисунок).

Принимая к сведению, что положительному приросту x отвечает отрицательный прирост y, и что фигура не квадрируема (в общем понимании), допускаем

где дифференциал за x находим через производную

Площадь фигуры через определенный интеграл равна

Следующим идет материал из которого Вы научитесь находить площадь фигуры, ограниченной кривыми заданными параметрически.

Источник