Как найти площадь полной поверхности пирамиды задачи - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

было в ЕГЭ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 59 1–20 | 21–40 | 41–59

Добавить в вариант

В правильной треугольной пирамиде SABC точка M − середина ребра AB, S − вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка L  — середина ребра AC, S  — вершина. Известно, что BC  =  6, а SL  =  5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка K − середина ребра BC, S − вершина. Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.

В правильной треугольной пирамиде SABC P − середина ребра AB, S − вершина. Известно, что BC=5, а SP=6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC Q − середина ребра AB, S − вершина. Известно, что BC=7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка SQ.

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Объем первого куба в 8 раз больше объема второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.

Всего: 59 1–20 | 21–40 | 41–59

Источник

Видео по теме

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка .

fgk

Решение: + показать

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите боковое ребро

Решение: + показать

Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 4. В правильной четырёхугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, Найдите длину отрезка

Решение: + показать

Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно сторона основания равна Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение: + показать

Задача 8. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен У второй пирамиды высота в раза больше, а сторона основания в раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Решение: + показать

Задача 9. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

Решение: + показать

Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 12. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна объем пирамиды равен Найдите длину отрезка .

Решение: + показать

Задача 13. В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра — вершина. Известно, что а . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: + показать

Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а высота равна

Решение: + показать

Задача 15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а объем равен

Решение: + показать

Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды Сторона основания равна Найдите боковое ребро.

Решение: + показать

Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

Решение: + показать

Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?

Решение: + показать

Задача 20. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

Решение: + показать

Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом °. Высота пирамиды равна Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Решение: + показать

Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2

Решение: + показать

Задача 25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен $45^{circ}.$ Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды если объём треугольной пирамиды равен

Решение: + показать

Задача 28. Объем параллелепипеда равен Найдите объем треугольной пирамиды

Решение: + показать

Задача 29. Объем куба равен Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение: + показать

Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно

Решение: + показать

Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен Точка — середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение: + показать

Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение: + показать

Задача 33. Ребра тетраэдра равны Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест

Источник

Найти площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

В этом уроке:

Задача 1. Найти площадь полной поверхности пирамиды
Задача 2. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды
Задача 3. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

См. также материалы по теме:
Как найти площадь поверхности пирамиды.

Примечание. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√».

Задача 1. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов.
Найти площадь полной поверхности пирамиды

Решение.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.
Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника:

Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Откуда площадь основания будет равна:
S = √3/4 a²
S = √3/4 ( 6 / √3 )²
S = 3√3

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.

OK / MK = √2/2

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тогда
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
Sбок = 1/2 (6 / √3 ) (2/√2) = 6/√6

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Ответ: 3√3 + 18/√6

Задача 2. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности.
(Это следует из свойств правильной пирамиды)

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника найдем из его свойств

Откуда длина ребер правильной треугольной пирамиды будет равна:
AM² = MO² + AO²
высота пирамиды известна по условию (10 см), AO = 16√3/3
AM² = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Каждая из сторон пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник. Площадь равнобедренного треугольника найдем из первой формулы, представленной ниже

S = 1/2 * 16 sqrt( (√(556/3) + (√(556/3) — )
S = 8 sqrt( (556/3) — 64 )
S = 8 sqrt( 364/3 )
S = 16 sqrt( 91/3 )

Поскольку все три грани у правильной пирамиды равны, то площадь боковой поверхности будет равна
3S = 48 √(91/3)

Ответ: 48 √(91/3)

Задача 3. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.
Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна

So = 9 * √3/4

OK / MK = √2/2

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности.

Тогда (по таблице соотношений в правильном треугольнике)
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 3 = √3/2

Тогда
OK / MK = √2/2
√3/2 / MK = √2/2
MK = √3/√2

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
Sбок = 1/2 * 3√( 3/2 )

Откуда площадь полной поверхности будет равна
S = 9√3/4 + 3/2 √( 3/2 )

Объем правильной треугольной пирамиды |

Описание курса

| Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды

Источник

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), можете посмотреть.

В типовых заданиях, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами пока не встречал.

Кстати, на проекте youclever неплохой визуальный гид по пирамиде: с красивыми картинками, основными формулами и свойствами. Подходит тем, кто лучше воспринимает информацию визуально. Там весь учебник по геометрии такой — мало задач, но много понятных рисунков.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись формулой Герона:

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

где φ — двугранный угол при основании

Отсюда площадь полной поверхности правильной пирамиды может быть найдена по формуле:

Еще одна формула боковой поверхности правильной пирамиды:

P — периметр основания, l — апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Г-11,З-2

Многогранники

Площадь поверхности пирамиды. Решение задач.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей боковых граней этой пирамиды.

Теорема Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней.

Решение задач:

№ 239. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота её проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Дано:
SABCD – пирамида,
ABCD— ромб,
AB=5 см, АС=8 см,
О – точка пересечения
диагоналей,
SO=7 см – высота
пирамиды.
Найти: SA, SB, SC, SD — ?.

Решение:

1. SA=SC (?)

ОС= ½ АС=½ 8=4 (см)

Из ▲SOC: по теореме Пифагора

SC²=SO²+OC²,

SC²==???

SA=SC=???

1. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Из ▲ BOC: ОВ²+OC²=BC²,
OB²=???,

ОВ==???

1. SB=SD (?)

Из ▲SOВ: ???

Ответ: ____.

№ 243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого АВ=АС=13 см, ВС = 10 см; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано:
ABC – пирамида,
АВ=АС=13 см,
ВС=10 см,
АD┴(АВС),
АD=9см.

Найти:
S_бок— ? S_полн — ?