Как найти площадь полной поверхности правильного октаэдра

Октаэдр и площадь полной его поверхности: описание, формулы, примеры

Содержание:

Существует несколько способов определить площадь поверхности октаэдра. Он представляет собой один из пяти правильных многоугольников или так называемых Платоновых тел. Имеет восемь одинаковых граней (поверхностей) в виде равносторонних треугольников, к каждой из его вершин прилагается по четыре грани. Рассмотрим, что собой представляет тело, где встречается в природе, как вычисляется его площадь и объём.

Что такое октаэдр

Свойства октаэдра

1. В тело вписывается куб, вершины которого находятся в центрах граней куба.

1. Симметрия куба и вписанного (описанного) октаэдра совпадают.

1. Двойственен кубу.

1. Является полным усечением тетраэдра.

1. Имеет равные ребра и диагонали.

1. Состоит из равносторонних треугольников.

1. Диагонали тела взаимоперпендикулярны, в точке пересечения делятся на равные отрезки.

1. Октаэдр симметричен, причём 3 оси пролегают через противоположные вершины, 6 – через центры ребер.

1. Центр симметрии тела расположен в точке пересечения диагоналей.

1. Ребра равны по длине, поверхности – по площади.

Математические характеристики тела

Как вычислить площадь поверхности октаэдра

Площадь октаэдра равна сумме площадей составляющих его треугольников:

Здесь S_треуг – площадь треугольника.

После подстановки значения получится требуемый результат.

Если известна длина ребра, придётся вычислить площадь треугольников.

Подставляем значение в первое выражение:

Упрощаем: после сокращения дроби на четыре получается формула площади поверхности октаэдра:

2. S = 8 * S_треуг = 2 sqrt <3>a^2.

Существует ещё один способ проведения вычислений. Он менее точный чем предыдущие, однако позволяет обойтись без калькулятора. При приблизительном подсчёте 2 sqrt <3>равняется 3,464 или 3,46.

Здесь a – длина стороны треугольника (равны).

Для примера, имеется фигура октаэдр с длиной стороны 5 см.

S=2sqrt <3>a^2=2*sqrt <3>*5^2=2*sqrt <3>*25=50sqrt <3>approx 86,6 см.

Как вычислить объём правильного октаэдра

Объём показывает размер внутреннего пространства геометрического тела. Объем правильного октаэдра вычисляется, если знаете длину ребра геометрического тела, по формуле:

После проведения приблизительных расчётов frac<sqrt 2> <3>approx 0,47 формула принимает следующий вид :

Рассчитаем двумя методами на примере правильного многоугольника с гранью, равной 5 см:

V= 0,47 * a^3 = 0,47*125 approx 58,93

Значения совпали, во втором случае нужно выполнять гораздо меньше операций. Подходит он только, если не требуется исключительная точность – при округлении до 4-5 знаков после запятой точность снизится.

Развёртка

Октаэдр, как большинство гомерических тел, имеет развёртку поверхности – это плоская фигура, полученная путём совмещения поверхности модели с одной плоскостью без пересечения либо наложения граней друг на друга.

Рисунок развёртки октаэдра.

В природе насчитывается 11 разновидностей развёртки октаэдра, позволяющих создать его модель из бумаги или картона. Наиболее распространённая выглядит как восемь одинаковых треугольников. Шесть из них размещено в ряд, к третьему и четвёртому основаниям прилегает ещё по одному, их вершины направлены в противоположные стороны.

Октаэдр.

Октаэдр — один из 5-ти выпуклых правильных многогранников — Платоновых тел.

У октаэдра 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, к каждой его вершине сходятся 4 ребра.

На примере октаэдра легко проверить формулу Эйлера 6в+8г-12р=2. В каждой из вершин октаэдра сходятся 4 треугольника, т.о., сумма плоских углов у вершины октаэдра равна 240°. Из понятия правильного многогранника делаем вывод, что каждое ребра октаэдра имеет одинаковую длину, а грань — одинаковую площадь.

Обозначим длину ребра октаэдра как а, значит площадь полной поверхности октаэдра (S) и объём октаэдра (V) найдем из таких формул:

Радиус описанной сферы около октаэдра:

Радиус вписанной сферы около октаэдра:

Сумма длин всех ребер равна 24а.

Двугранный угол: α=2ϕ≈109,47°, где .

Свойства октаэдра.

Октаэдр легко вписывается в тетраэдр, при этом 4 из 8-ми граней октаэдра совместятся с 4-мя гранями тетраэдра, каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти ребер тетраэдра.

Октаэдр легко вписывается в куб (гексаэдр), при этом каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти граней куба.

В октаэдр легко вписать куб, при этом каждая из 8-ми вершин куба будут располагаться в центрах 8-ми граней октаэдра.

У правильного октаэдра есть симметрия O_h, которая совпадает с симметрией куба.

Развёртка октаэдра.

Симметрия октаэдра.

3 из девяти осей симметрии октаэдра проходят сквозь противолежащие

вершины, 6 — квозь середины ребер.

Центр симметрии октаэдра — точка пересечения осей симметрии октаэдра.

3 из девяти плоскостей симметрии тетраэдра проходят сквозь все 4 вершины октаэдра, которые лежат в одной плоскости.

6 плоскостей симметрии проходят через 2 вершины, которые не принадлежат одной грани, и середины противолежащих ребер.

Октаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Окто» означает восемь, «хедра» — означает грань (октаэдр – восьмигранник).

Поэтому на вопрос — «что такое октаэдр?», можно дать следующее определение: » Октаэдр это геометрическое тело из восьми граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .

Октаэдр имеет следующие характеристики:

• Тип грани – правильный треугольник;
• Число сторон у грани – 3;
• Общее число граней – 8;
• Число рёбер, примыкающих к вершине – 4;
• Общее число вершин – 6;
• Общее число рёбер – 12;

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Октаэдр имеет центр симметрии — центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Математические характеристики октаэдра

Октаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы октаэдра определяется по формуле:

, где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь октаэдра.

Радиус вписанной сферы октаэдра определяется по формуле:

Площадь поверхности октаэдра

Для наглядности, площадь поверхности октаэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон октаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 8. Либо воспользоваться формулой:

Объем октаэдра определяется по следующей формуле:

Октаэдр можно представить в виде двух правильных пирамид с четырехугольным основанием, соединенных друг с другом через это основание.

Вариант развертки

Октаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал октаэдр с «земным» элементом воздух, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали серый цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Классический вариант раскраски предполагает окраску октаэдра четырьмя различными цветами, причем таким образом, что каждая грань имеет свой цвет отличный от соседней и только противоположные не соприкасающиеся друг с другом грани окрашиваются в одинаковые цвета.

Вариант окраски представлен на рисунке. Вы можете скачать развертку с соответствующей раскраской граней.

Видео. Октаэдр из набора «Волшебные грани»

Вы можете изготовить модель октаэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».

Сборка многогранника из набора:

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал PRO)

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал PRO)

вращение готового многогранника:

Видео. Вращение правильных многогранников