Как найти площадь полной поверхности правильного тетраэдра

Тетраэдром в стереометрии называется многогранник, который состоит из четырёх треугольных граней. Тетраэдр имеет 6 рёбер и по 4 грани и вершины. Если у тетраэдра все грани являются правильными треугольниками, то и сам тетраэдр называется правильным. Площадь полной поверхности любого многогранника, в том числе и тетраэдра можно рассчитать, зная площади его граней. Чтобы найти площадь полной поверхности тетраэдра, необходимо вычислить площадь треугольника составляющего его грань. Если треугольник равносторонний, то его площадь равна S = √3 * 4 / a², где a – ребро тетраэдра, тогда площадь поверхности тетраэдра находится по формуле S = √3 * a². >>

Если заметили в тексте опечатку, выделите ее и нажмите Ctrl+Enter

Площадь поверхности правильного тетраэдра

Тетраэдр — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, треугольная пирамида. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным.

Калькулятор площади поверхности правильного тетраэдра позволит найти площадь полной поверхности правильного тетраэдра, зная длину его ребра.

Поделиться страницей в социальных сетях:

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√».

Теория

(теоретические сведения см. также в уроке «Правильный тетраэдр»)

Правильный тетраэдр — это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице.



Где:

S — Площадь поверхности правильного тетраэдра

V — объем

h — высота, опущенная на основание

r — радиус вписанной в тетраэдр окружности

R — радиус описанной окружности

a — длина ребра

Практические примеры

Задача.

Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение.

Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны — она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a²√3 .

Тогда

S = 3√3

Ответ: 3√3

Задача.

Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение.

Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a

AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO² + OM² = AM²

OM² = AM² — AO²

OM² =  4² — ( 4√3 / 3 )²

OM² = 16 — 16/3

OM = √(32/3)

OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh

При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a²

V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 )

V = 16√2 / 3

Ответ: 16√2 / 3 см

0
 

 Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды |

Описание курса

| Пирамида и вписанный конус 

Вычисление площади правильной треугольной пирамиды

Площадь поверхности такой фигуры складывается из площадей основания многогранника и трех боковых граней. В записи на математический язык это выглядит так:

((1);S=S_{осн}+3times S_{бок})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Нахождение площади основания пирамиды

Поскольку правильный тетраэдр основан на треугольнике, для определения площади основания рассматриваемого многогранника воспользуемся формулой нахождения площади треугольника:

(S=frac12ah)

Значение переменных: a — длина стороны равностороннего треугольника, h — его высота.

Далее произведем подстановку формулы вычисления высоты правильного треугольника и получим искомое выражение:

((2);S_{осн}=frac{sqrt3}4a^2)

Вычисление площади боковых граней и полной поверхности

Боковые грани правильной треугольной пирамиды представлены тремя равнобедренными треугольниками. Выведем формулу расчета площади каждого из них из классического способа вычисления площади треугольника:

(S=frac12ah)

Здесь переменная a обозначает основание треугольника, h — его высоту.

Теперь выполним подстановку выражения, с помощью которого находится высота треугольника с одинаковыми бедрами, и получим уравнение определения площади равнобедренного треугольника:

((3);S_{бок}=frac{asqrt{b^2-frac{a^2}4}}2)

В этом случае b — это боковые ребра треугольника, равные между собой.

Подставим в выражение (1) формулы (2) и (3) и получим уравнение, с помощью которого рассчитывается площадь полной поверхности правильного тетраэдра:

(S=frac{sqrt3}4a^2+frac32times asqrt{b^2-frac{a^2}4})

Примеры задач с решением

Задача

Дано

Правильный тетраэдр MABC с вершиной М. Высота основания AK=3 см.

∠MAB=∠MAC=∠MBA=∠MBC=∠MAB=∠MCA=∠MCB=45°. Необходимо вычислить площадь пирамиды MABC.

Решение

В основании правильного тетраэдра лежит равносторонний треугольник с известной длиной высоты. Применим свойство правильного треугольника, состоящее в следующем:

(h=frac{sqrt3}2a)

Преобразуем данное выражение так, чтобы вывести формулу стороны a:

(a=frac h{frac{sqrt3}2})

Теперь найдем a:

(a=frac3{frac{sqrt3}2}=frac{3times2}{sqrt3}=frac6{sqrt3})

Подставим полученное выражение в формулу нахождения площади основания правильного многогранника с тремя боковыми гранями:

(S_{осн}=frac{sqrt3}4timesleft(frac6{sqrt3}right)^2=frac{sqrt3}4timesfrac{6^2}{sqrt3^2}=frac{36sqrt3}{4times3}=3sqrt3)

Далее необходимо найти площадь боковых граней тетраэдра. Для этого произведем вычисление высоты MK. Так как угол между гранью и основанием пирамиды равен 45°, то ∠OKM=45°, следовательно:

(frac{OK}{MK}=cosleft(45^circright)=frac{sqrt2}2)

По свойству правильного треугольника, отрезок OK равен радиусу вписанной в ΔABC окружности.

Найдем ее по соответствующей формуле:

(OK=r=frac{sqrt3}6a=frac{sqrt3}6timesfrac6{sqrt3}=frac{6sqrt3}{6sqrt3}=1)

Подставим найденную величину в отношение ОК к МК:

(frac{OK}{MK}=frac{sqrt2}2)

(frac1{MK}=frac{sqrt2}2)

Из данной пропорции выведем выражение, по которому можно определить длину высоты MK:

(MK=frac2{sqrt2})

Теперь, когда известны основание и высота равнобедренного треугольника, составляющего боковую грань пирамиды MABC, подставим значения в классическую формулу нахождения площади треугольника:

(S_{бок}=frac12ah=frac12timesfrac6{sqrt3}timesfrac2{sqrt2}=frac{1times6times2}{2timessqrt3timessqrt2}=frac{12}{2sqrt6}=frac6{sqrt6})

Суммируем площадь основания и боковых граней пирамиды:

(S_{MABC}=3sqrt3+3times6sqrt6=3sqrt3+18sqrt6)

Ответ, выраженный в квадратных сантиметрах: (3sqrt3+18sqrt6;(см^2))