Как найти площадь половины равнобедренного треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Формула
Примеры вычисления площади равнобедренного треугольника

Формула

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника (рис. 1), необходимо вычислить произведение половины основания этого треугольника на его высоту:

$$mathrm{S}_{Delta}=frac{1}{2} a h_{a}$$

Напомним, что треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны. Равные стороны
называются боковыми сторонами рассматриваемого треугольника, а третья сторона — основанием.

Примеры вычисления площади равнобедренного треугольника

Пример

Задание. Найти площадь равнобедренного треугольника
$ABC$, если известно, что его основание равно
4 м, а высота, проведенная к этому основанию — 6 м.

Решение. Искомая площадь равна произведению высоты на основание, деленному на два:

$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{4 cdot 6}{2}=frac{24}{2}=12$ (м²)

Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=12$ (м²)

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 5 см, а основание 8 см.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2).

Проведем высоту $BH$. По свойству равнобедренного
треугольника она является и медианой. Поэтому

$A H=H C=frac{8}{2}=4$ (см)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме
Пифагора найдем его катет $BH$ :

$B H=sqrt{A B^{2}-A H^{2}}=sqrt{5^{2}-4^{2}}=sqrt{25-16}=sqrt{9}=3$ (cм)

А тогда искомая площадь

$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} A C cdot B H=frac{8 cdot 3}{2}=4 cdot 3=12$ (см²)

Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=12$ (см²)

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Площадь равнобедренного треугольника с прямым углом составляет 16 см кв.
Каким образом можно вычислить длину гипотенузы данной треугольной фигуры?

Обозначим через х катет имеющегося равнобедренного треугольника, имеющего
прямой угол. В этом случае его площадь будет представлять собой ½ длины
его катета, возведенную в квадратную степень. Это значит, что квадрат
катета равен двум площадям треугольника (2S). В нашем случае это:

2S = 2*16 = 32 см кв.

Для того чтобы найти длину катета, нужно извлечь корень квадратный из
числа 32:

х = 4*√2 см.

Теперь можно высчитать длину гипотенузы, которая будет равна:

х / sin45 = 8 см.

Ответ: Длина гипотенузы равна 8 см.

Имеется равнобедренный треугольник площадью 192 см кв. Его основание
составляет 32 см. Как можно вычислить периметр данной треугольной фигуры?

Дан треугольник АВС, в котором АВ=ВС и АС=32 см.

Проведем к основанию треугольника высоту ВН, также являющуюся медианой.

Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на
высоту:

S=АС*ВН/2

Из этой формулы можно выразить ВН:

ВН=2S/АС=2*192/32=12 см.

Известно, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны:

АВ=ВС=√(ВН²+(АС/2)²)=√(144+256)=20 см.

Теперь можно высчитать периметр (Р) треугольника АВС, который будет равен
сумме длин его сторон:

Р=2АВ+АС=40+32=72 см.

Ответ: Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 72 см.

Длина гипотенузы равнобедренного треугольника, имеющего прямой угол,
составляет 12 см. Как найти площадь данного треугольника?

Обозначим буквой х катет имеющегося треугольника. Тогда по теореме
Пифагора:

12²=x² + x², что равно 144=2х²

Отсюда находим значение х:

x²=72, x=√72

Зная длину катета равнобедренного треугольника, можно найти его площадь
(S):

S = √72 * √72/2 = 36 см кв.

Ответ: Площадь треугольника равна 36 см кв.

Дан равнобедренный треугольник, угол в основании которого составляет 25
градусов. Площадь данной фигуры равна 16 см кв. Есть еще один равнобедренный
треугольник с углом 130 градусов и площадью 4з см кв. Чему будет равно
отношение оснований этих двух треугольных фигур?

Разберемся с первым из треугольников. Так как он является равнобедренным,
то оба угла при его основании будут равны. Зная о том, что сумма всех
углов треугольника равна 180 градусом, мы можем найти третий угол
треугольника, находящийся при его вершине:

180-25-25=130 градусов.

Переходим ко второму треугольнику. Известно, что угол при его вершине
равен 230 градусом. Исходя из этого можно рассчитать величины его углов,
расположенных в основании фигуры:

(180-130)/2=25 градусов.

Очевидно, что треугольники являются подобными на основании равенства
углов.

Следует определить коэффициент подобия двух треугольных фигур. Квадрат
коэффициента подобия будет равен отношению площадей треугольников:

49/16=kˆ2

Отсюда выражаем k:

k=7/4

Коэффициент подобия представляет собой отношение основания первой подобной
треугольной фигуры ко второй. Это значит, что:

С/c=k = 7/4

Ответ: Отношение оснований двух треугольников равно 7/4.

Чему равна площадь равнобедренного треугольника с прямым углом при условии,
что длина его гипотенузы составляет с?

Площадь (S) треугольника с прямым углом составляет ½ часть произведения
его катетов. Принимая во внимание тот факт, что треугольник является
равнобедренным, можно утверждать, что длины его катетов равны. Их можно
обозначить через х. В этом случае формулу для расчета площади треугольника
можно записать в следующем виде:

S=½x*x=½x²

Согласно теореме Пифагора, действительной для прямоугольного треугольника:

с²=х²+х²=2x²

x²=½c²

Подставим в формулу площади получившееся равенство:

S=½*½с²=¼с² см.кв.

Ответ: Площадь равнобедренного треугольника равна ¼с² см кв.

Как можно рассчитать площадь равнобедренного треугольника, если длина его
высоты и основания – величины известные?

Площадь (S) любой треугольной фигуры рассчитывается путем деления пополам
произведения длины его основания (с) и высоты (h):

S = ½ c*h

Как найти площадь равнобедренного треугольника?

Площадь каждого треугольника, в том числе и равнобедренного,
рассчитывается как половина, взятая от произведения длины высоты
треугольника и его основания. Формула имеет следующий вид:

S=1/2 *a*h

Пусть а = 150 см.

Проводим высоту к основанию треугольника. Она же будет являться и медианой
по той причине, что треугольник равнобедренный. В результате образовался
треугольник с прямым углом и гипотенузой, длина которой равна 85 см. Один
из катетов треугольника равен h, а второй рассчитывается как а/2:

150/2=75 см.

Теперь можно рассчитать длину второго катета (на основании теоремы
Пифагора):

h=√85²-75²=√7225-5625=√1600=40 см.

Когда все необходимые для расчета площади треугольника величины известны,
можно найти ее значение:

S=1/2 *a*h=1/2 *150*40=3000 см.

Как можно найти площадь треугольника при условии, что он является
равнобедренным, и его периметр равен 100 см, а основание – 48 см?

Вычислим длину боковой стороны равнобедренного треугольника, отняв от его
периметра длину основания и разделив полученное число на 2:

(100-48):2=26 см.

Тогда площадь равнобедренного треугольника с заданными параметрами будет
равна:

S=b/4*√(4a²-b²)=12*√(2704-2304)=12*20=240 cм кв.

Чему равна площадь равнобедренного треугольника, длины сторон которого
составляют 10 см и 12 см (сумма длин его катетов)?

К основанию равнобедренного треугольника проведем высоту, делящую его на
две равные треугольные фигуры, каждая из которых имеет угол 90 градусов и
катет длиной 12/2 = 6 см. Гипотенуза подобных треугольников имеет длину 10
см.

В случае с прямоугольным треугольником может быть применима теорема
Пифагора, которая поможет найти катет, являющийся высотой треугольника:

h² = 10² — 6² = 64 см

Избавимся от квадратов:

h = 8 см.

Тогда площадь треугольника будет равна:

S = 12 * 8 : 2 = 48 см кв.

Как рассчитать площадь равнобедренного треугольника, если известно о том,
что длина его гипотенузы составляет 44 см?

Введем условные обозначения, согласно которым х – это длина одного из
катетов равнобедренного треугольника. В этом случае длина второго катета
тоже будет равна х. Зная длину гипотенузы, можно записать формулу теоремы
Пифагора для имеющегося треугольника:

х²+ х² = 44²

2х² = 1936

Отсюда можем найти значение х:

x=√968

Найдя длину катета равнобедренного треугольника, можно вычислить его
площадь (S), равную ½ произведения длин его катетов:

S = √968*√968/2 = 484 см кв.

Каким образом возможно высчитать площадь равнобедренного треугольника через
стороны и длину его основания?

Располагая сведениями о длине основания (b) и стороны (a) треугольной
фигуры с равными катетами, возможно рассчитать площадь (S) этой фигуры. С
этой целью следует пользоваться приведенной ниже формулой:

S = b/4×√ 4× a²-b².

Возможно ли определить площадь равнобедренного треугольника через его
боковые стороны и образованный ими угол?

Информация о длине боковых сторон (а) треугольной фигуры с катетами равной
длины и размере угла (α), который образован этими катетами, позволит
определить площадь этой фигуры. В этом поможет следующая формула:

S = 1/2a2 * sin(α).

Как можно высчитать площадь равнобедренного треугольника при условии, что
известна длина его основания и угол?

Для расчета площади треугольной фигуры с катетами равной длины, при
условии, что известна их длина (а), основание (b) и угол, который
образован основанием и одним из катетов(α), используется следующая
формула:

S = ½ * a * b * sin(α)

Длина основания равнобедренного треугольника превышает длину его боковой
стороны на 3 см. Периметр данной треугольной фигуры равен 30 см. Как можно
высчитать длину основания данного равнобедренного треугольника?

Примем неизвестную длину основания равнобедренного треугольника за х. В
данном случае длина каждой из боковых сторон, которые в равнобедренном
треугольнике равны, будет составлять (х-3). Известно, что периметр (Р)
треугольника равен 30 см. Тогда:

Р = 3х-6 = 30 см.

Отсюда можно вывести х:

х = (30+6)/3 = 12 см.

Ответ: Длина основания равна 12 см.

Высота, проведенная в равнобедренном треугольнике, равна 15 см. Длина
основания данной фигуры превышает длину его боковой стороны на 15 см. Как
найти основание равнобедренного треугольника в этом случае?

Примем х за длину основания равнобедренного треугольника. Тогда длина его
боковой стороны будет составлять (х-15). Высота, проведенная в
треугольнике с прямым углом, также представляет собой его медиану, которая
делит его на две равных треугольных фигуры. Следует рассмотреть одну из
образовавшихся треугольных фигур. Для начала вычислим ее основания,
используя теорему Пифагора:

с2 = а2 + b2 = (15)²+(0,5x)²=(x-15)²

Из этого получается:

225-x²-30x+225-0,25x²

0=0,75x²-30x

x(0,75x-30)=0

x¹=0 см.

x=40 см.

Очевидно, что сторона треугольной фигуры не может иметь длину, равную 0см.
Поэтому можно сделать вывод о том, что ее длина составляет 40 см.

По какой формуле можно высчитать площадь равнобедренного треугольника?

Для ответа на поставленный вопрос следует провести высоту из вершины того
угла равнобедренного треугольника, который является противоположным его
основанию. После этого длину проведенной высоты (а) нужно умножить на
длину основания фигуры (b), а затем разделить полученное значение на два.
Формула расчета площади треугольной фигуры, которая является
равнобедренной, выглядит следующим образом:

S=a*b/2, или S=1/2a* b.

В равнобедренном треугольнике к его основанию проведена высота, длина
которой равна 1,2 см. Длина самого основания фигуры составляет 3,2 см. Как
рассчитать длину боковой стороны этого равнобедренного треугольника?

Вычислим половину длины основания данного равнобедренного треугольника:

3,2/2 = 1,6 см.

Имеется треугольник с прямым углом и катетами, длины которых равны 1,2 см
и 1,6 см. Требуется определить длину его гипотенузы. Ее можно вычислить,
используя теорему Пифагора:

с²=а²+в²

с² = 1,2² + 1,6² = 1,44 + 2,56 = 4

Осталось только извлечь корень квадратный из 4:

с=√4=2 см.

Ответ: Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 2 см.

Один из углов равнобедренного треугольника является тупым. Одна сторона
данной фигуры составляет 14 см, а другая – 8 см. Чему равно основание
треугольника с двумя равными сторонами?

Известно, что углы, расположенные у основания равнобедренного
треугольника, всегда являются острыми, иначе сумма всех трех углов
превышала бы 180 градусов. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что
тупой угол расположен у вершины данной треугольной фигуры.

Доказанным фактом является то, что та сторона фигуры, которая расположена
напротив тупого угла, имеет большую длину, чем сторона, лежащая против
острого угла треугольника. Это позволяет утверждать, что длина основания
данного треугольника больше длины его боковой стороны. По причине того,
что треугольная фигура является равнобедренной, и известны длины двух ее
сторон (8 см и 14 см), можно говорить о том, что неизвестная сторона будет
составлять 8 см или 14 см. Если предположить, что длина неизвестной
стороны равна 14 см, тогда длина основания будет составлять 8 см, что
невозможно, так как противоречит утверждению о расположении больших сторон
напротив тупых углов. Это означает, что длина третьей стороны треугольника
равна 8 см, а основание в данном случае составляет 14 см.

Равнобедренный треугольник имеет сторону длиной 29 см. Высота, проведенная в
нем, составляет 21 см. Чему равно основание треугольника с указанными
параметрами?

Для решения данной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора:

с²=а²+в²

Отсюда можно выразить квадрат длины неизвестной стороны, который будет
равен разности квадратов известной стороны и высоты:

29²-21² = 400.

Для того чтобы узнать длину основания равнобедренного треугольника, нужно
извлечь корень квадратный из числа 400, а затем умножить полученное число
на 2:

√400*2 = 20*2 = 40 см.

Ответ: Длина основания равнобедренного треугольника равна 40 см.

Читать дальше: как найти площадь равностороннего треугольника.

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

источники:

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika

Источник

Как найти площадь равнобедренного треугольника? Это можно сделать с помощью любой из формул для площади треугольника. Свойства равнобедренного треугольника эти формулы могут несколько видоизменить.

I. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к этой стороне высоту.

$[S = frac{1}{2}a{h_a}]$

$[S = frac{1}{2}b{h_b}]$

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой. Поэтому FC=1/2 BC, то есть

$[{S_{Delta ABC}} = FC cdot AF.]$

Этот факт стоит использовать, например, если нужно найти площадь равнобедренного треугольника, и известны его боковая сторона и высота, проведенная к основанию. В этом случае из прямоугольного треугольника треугольника AFC по теореме Пифагора найдем FC,

$[FC = sqrt {{b^2} - h_a^2} ,]$

а затем сразу же — площадь

$[S = {h_a}sqrt {{b^2} - h_a^2} .]$

II. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

$[S = frac{1}{2}{b^2}sin alpha ]$

$[S = frac{1}{2}absin gamma ]$

III. Площадь треугольника по трем сторонам ищут по формуле Герона. Поскольку в равнобедренном треугольнике две стороны равны, формула Герона для равнобедренного треугольника приобретает вид:

$[ = sqrt {p(p - a){{(p - b)}^2}} = ]$

Полупериметр

$[p = frac{{a + 2b}}{2} = frac{a}{2} + b,]$

поэтому

$[S = (frac{a}{2} + b - b)sqrt {(frac{a}{2} + b)(frac{a}{2} + b - a)} = ]$

$[ = frac{a}{2}sqrt {(frac{a}{2} + b)(b - frac{a}{2})} = frac{a}{2}sqrt {{b^2} - {{(frac{a}{2})}^2}} = ]$

$[ = frac{a}{2}sqrt {{b^2} - frac{{{a^2}}}{4}} .]$

Специально запоминать эту формулу не нужно — практически, это формула из пункта I.

IV. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности равна произведению радиуса на полупериметр.

Для равнобедренного треугольника

$[S = pr = (frac{a}{2} + b)r.]$

V. Площадь треугольника через радиус описанной окружности для равнобедренного треугольника приобретает вид:

$[S = frac{{a{b^2}}}{{4R}}.]$

Источник

Формула площади равнобедренного треугольника

по основанию и высоте

(S_bigtriangleup = frac{1}{2} b*h)

(b) — основание
(h) — высота

по двум сторонам

(S_bigtriangleup = frac{b}{4} sqrt{ 4a^2-b^2})

(b) — основание
(a) — стороны
(h) — высота

если в равнобедренном треугольнике прямой угол

(S_bigtriangleup = frac{1}{2} a^2)

(a) — равные стороны, между которыми 90°

Примеры

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 10, а основание 12.

Решение: Воспользуемся формулой подсчета по двум сторонам (S_bigtriangleup = frac{b}{4} sqrt{ 4a^2-b^2} = frac{10}{4} sqrt{ 4*12^2-10^2} = 54,5 )

Как найти площадь равнобедренного треугольника, зная, что основание равно 30, а высота, проведенная к основанию — 12.

Используем формулу (S_bigtriangleup = frac{1}{2} b*h = frac{1}{2} 30*12 = 180) . Ответ 180.

Чему равно основание равнобедренного треугольника, если нам известно, что его площадь равна 180, а высота, проведенная к основанию равна 30.

Решение: Используем первую формулу, из нее следует что (b = frac{S*2}{h} = 180*2/30 = 12)

b — основание
S — площадь треугольника
h — высота

Источник

Загрузить PDF

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. Равные (боковые) стороны пересекают третью сторону (основание) под одним углом, а точка пересечения равных сторон находится над серединой основания. В этом можно убедиться с помощью линейки и двух карандашей одинаковой длины: если наклонить треугольник в одну или другую сторону, кончики карандашей не соединятся. Такие свойства равнобедренного треугольника позволяют вычислить его площадь всего лишь по нескольким известным величинам.

1
Выясните, как найти площадь параллелограмма. Квадраты и прямоугольники являются параллелограммами, как и любая другая четырехсторонняя фигура, у которой противоположные стороны параллельны. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = bh,^[1] где «b» – основание (нижняя сторона параллелограмма), «h» – высота (расстояние от верхней до нижней стороны; высота всегда пересекает основание под углом 90°).
- В квадратах и прямоугольниках высота равна боковой стороне, так как боковые стороны пересекают верхнюю и нижнюю стороны под прямым углом.
2

Сравните треугольники и параллелограммы. Между этими фигурами существует простая связь. Если любой параллелограмм разрезать по диагонали, получатся два равных треугольника. Аналогично, если сложить два равных треугольника, получится параллелограмм. Поэтому площадь любого треугольника вычисляется по формуле: S = ½bh, что составляет половину площади параллелограмма.
3
Найдите основание равнобедренного треугольника. Теперь вы знаете формулу для вычисления площади треугольника; осталось выяснить, что такое «основание» и «высота». Основание (обозначается как «b») – это сторона, которая не равна двум другим (равным) сторонам.
- Например, если стороны равнобедренного треугольника равны 5 см, 5 см, 6 см, в качестве основания выберите сторону, которая равна 6 см.
- Если все стороны треугольника равны (равносторонний треугольник), в качестве основания выберите любую сторону. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника, но его площадь вычисляется так же.^[2]
4
Опустите перпендикуляр на основание. Сделайте это из вершины треугольника, которая противоположна основанию. Помните, что перпендикуляр пересекает основание под прямым углом. Такой перпендикуляр является высотой треугольника (обозначается как «h»). Как только вы найдете значение «h», вы сможете вычислить площадь треугольника.
- В равнобедренном треугольнике высота пересекает основание точно посередине.
5
Посмотрите на половину равнобедренного треугольника. Обратите внимание, что высота разделила равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Посмотрите на один из них и найдите его стороны:
- Короткая сторона равна половине основания: ${frac {b}{2}}$ .
- Вторая сторона – это высота «h».
- Гипотенуза прямоугольного треугольника является боковой стороной равнобедренного треугольника; обозначим ее как «s».
6
Воспользуйтесь теоремой Пифагора. Если известны две стороны прямоугольного треугольника, его третью сторону можно вычислить по теореме Пифагора: (сторона 1)² + (сторона 2)² = (гипотенуза)². В нашем примере теорема Пифагора запишется так: $({frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ .
- Скорее всего, теорема Пифагора вам известна в такой записи: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Мы употребляем слова «сторона 1», «сторона 2» и «гипотенуза», чтобы предотвратить путаницу с переменными из примера.
7

Вычислите значение «h». Помните, что в формуле для вычисления площади треугольника есть переменные «b» и «h», но значение «h» неизвестно. Перепишите формулу, чтобы вычислить «h»:
8

В формулу подставьте известные значения и вычислите «h». Эту формулу можно применить к любому равнобедренному треугольнику, стороны которого известны. Вместо «b» подставьте значение основания, а вместо «s» – значение боковой стороны, чтобы найти значение «h».
9
Подставьте значения основания и высоты в формулу для вычисления площади треугольника. Формула: S = ½bh; подставьте в нее значения «b» и «h» и вычислите площадь. В ответе не забудьте написать квадратные единицы измерения.
- В нашем примере основание равно 6 см, а высота равна 4 см.
- S = ½bh
  S = ½(6 см)(4 см)
  S = 12 см².
10

Рассмотрим более сложный пример. В большинстве случаев вам будет дана более трудная задача, чем рассмотренная в нашем примере. Чтобы вычислить высоту, нужно извлечь квадратный корень, который, как правило, не извлекается нацело. В этом случае запишите значение высоты в виде упрощенного квадратного корня. Вот новый пример:

Реклама

1
Вычислите площадь по боковой стороне и прилежащему углу. Если вы знакомы с тригонометрическими функциями, площадь равнобедренного треугольника можно вычислить по боковой стороне и прилежащему углу. Например:^[3]
- Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см.
- Угол θ между двумя равными сторонами равен 120°.
2
Разделите равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Для этого опустите перпендикуляр (высоту) из вершины треугольника, которая образована двумя равными сторонами, на основание.
- Высота делит угол θ ровно пополам. Таким образом, один из углов прямоугольного треугольника равен ½θ, а в нашем примере (½)(120) = 60°.
3
Вычислите высоту «h» с помощью тригонометрических функций. К прямоугольному треугольнику можно применить следующие тригонометрические функции: sin (синус), cos (косинус) и tg (тангенс). В нашем примере известна гипотенуза «s»; нужно найти «h», то есть катет, прилежащий к известному углу. Вспомните, что косинус = прилежащий катет/гипотенуза.
- cos(θ/2) = h/s
- cos(60°) = h/10
- h = 10cos(60º)
4
Вычислите значение второго катета. Теперь мы не знаем значение второго катета прямоугольного треугольника; обозначим его как «x». Вспомните, что синус = противолежащий катет/гипотенуза.
- sin(θ/2) = x/s
- sin(60º) = x/10
- x = 10sin(60°)
5

Обратите внимание, что второй катет прямоугольного треугольника равен половине основания равнобедренного треугольника. То есть b = 2x, потому что высота (первый катет) разделила основание пополам (на два катета, каждый из которых равен значению «x»).
6

Подставьте значения «h» и «b» в формулу для вычисления площади. Теперь, когда вы знаете основание и высоту, подставьте их в формулу S = ½bh:
7
Запишите универсальную формулу. Теперь, когда вы познакомились с полным процессом вычисления площади равнобедренного треугольника, можно пользоваться универсальной формулой, которая позволит сократить этот процесс. Если вы повторите описанный процесс без числовых значений и упростите ряд выражений, вы получите следующую универсальную формулу:^[4]
- $S={frac {1}{2}}s^{2}sintheta$
- s – одна из двух боковых (равных) сторон.
- θ – угол между двумя боковыми (равными) сторонами.
Реклама

Советы

Если дан равнобедренный прямоугольный треугольник (с двумя равными катетами и прямым углом), вычислить его площадь очень просто. Один катет будет основанием, а второй – высотой, поэтому формула S = ½bh запишется так: S=½s², где s – катет.
Из квадратного корня можно извлечь два значения – положительное и отрицательное, но в геометрических задачах отрицательным значением можно пренебречь. Например, высота треугольника не может быть отрицательной.
В некоторых задачах будут даны другие величины, например, основание и один угол равнобедренного треугольника. В этом случае действуйте так же: разделите равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника, а затем найдите высоту с помощью тригонометрических функций.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 25 570 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник