Как найти площадь полукруга в прямоугольном треугольнике

1125 На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Площадь круга

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса с центром содержит точку и все точки плоскости, которые находятся от точки на расстоянии, не большем .

Впишем в окружность, ограничивающую круг, правильный — угольник А1А2А3….An:

Так как данный многоугольник целиком содержится в данном круге, то площадь данного круга больше площади данного многоугольника. Если мы в данный многоугольник впишем окружность радиуса , то площадь круга, ограниченного этой окружностью, меньше площади данного многоугольника , потому что данный круг полностью содержится в многоугольнике. Значит, мы можем записать, что

       (1)

Теперь неограниченно будем увеличивать число сторон многоугольника. Нам известно, что радиус вписанной в правильный многоугольник окружности, можно вычислить по формуле .

Если стремится к бесконечности, то отношение будет стремится к нулю, а значит будет стремится к единице, а значит, радиус вписанной окружности будет стремиться к радиусу описанной окружности .

Другими словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремится» к описанной окружности, а значит, площадь круга, ограниченного вписанной окружностью,  стремится к площади круга, ограниченного описанной окружностью, , значит, учитывая неравенство (1), получим, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника, площадь многоугольника  стремится к площади круга , ограниченного описанной около данного многоугольника окружностью.

Пусть — периметр многоугольника А1А2А3….An, тогда площадь данного многоугольника вычисляется по формуле

• Так как при неограниченном увеличении сторон многоугольника радиус вписанной окружности   стремится к радиусу описанной окружности , а периметр данного многоугольника стремится к длине окружности , а площадь многоугольника  стремится к площади круга . Значит,
• Итак, площадь круга радиуса вычисляется по формуле:

Советуем посмотреть:

1. Правильный многоугольник
2. Окружность, описанная около правильного многоугольника
3. Окружность, вписанная в правильный многоугольник
4. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности
5. Построение правильных многоугольников
6. Длина окружности
7. Площадь кругового сектора
8. Длина окружности и площадь круга

Правило встречается в следующих упражнениях:

• 7 класс
• Задание 1119, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1145, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1218, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1220, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1222, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 19, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1246, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1253, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1290, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

1. budu5.com, 2020
2. Пользовательское соглашение
3. Copyright
4. Нашли ошибку?
5. Связаться с нами

Площадь прямоугольника

Площади простых фигур, таких как квадратов и прямоугольников рассчитывать научились быстро. Для этого измеряют стороны прямоугольника.

Площадь прямоугольника находится по формуле: S = a ∙ b, где длину надо умножить на ширину фигуры.

Задание 1.

Постройте прямоугольник, длина которого 50 мм, а ширина 30 мм.

Можно ли длину и ширину данного прямоугольника выразить в сантиметрах?

Можно.

Найдите периметр прямоугольника. Р = (a + b) ∙ 2

Р = (5 + 3) ∙ 2 = 16 (см)

Ответ: 16 см

Имеет ли построенная вами фигура площадь?

Да. Прямоугольник имеет длину 5 см и ширину 3 см. Найдем, чему равна площадь прямоугольника по формуле S = a ∙ b.

S = 5 ∙ 3 = 15 см2

Ответ: площадь прямоугольника равна 15 кв.см.

Задание 2.

Чему равна площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 4 см? Рассуждаем так. Нам известна длина и ширина прямоугольника. Площадь равна произведению этих величин.

S = 5 ∙ 4 = 20 см2

Ответ: 20 кв.см.

Задание 3.

Рассмотрите следующий рисунок:

Как называется данная геометрическая фигура?

Многоугольник.

Как найти площадь этого многоугольника?

Найти площади отдельных прямоугольников.

Найдите площадь этого многоугольника разными способами.

Первый способ.

Решение.

Измеряем стороны большого прямоугольника.

Длина равна 3 см, а ширина 3 + 1 = 4 (см).

1) 4 · 3 = 12 (см2) – площадь большого прямоугольника.

Длина маленького прямоугольника 3 см, а ширина 1 см. Перемножим эти величины.

2) 3 · 1 = 3 (см2) – площадь маленького прямоугольника.

Теперь из большей фигуры вырезаем два маленьких белых прямоугольника.

3) S = 12 – 3 – 3 = 6 (см2) – площадь многоугольника.

Второй способ.

Решение.

1) 3 · 1 = 3 (см2) – площадь верхнего прямоугольника.

2) 3 · 1 = 3 (см2) – площадь второго прямоугольника.

3) S = 3 + 3 = 6 (см2) – общая площадь многоугольника.

Ответ: S = 6 см2

Как найти площадь круга через длину окружности

Для начала вспомним, как вычисляется длина окружности. Здесь, как и в других формулах для круга и окружности используется постоянная π. Нужно запомнить, что в математике и физике этот символ является непременным участником всех вычислений, связанных с кругом, окружностью, циклическими процессами, движением по дуге. В частности, длину окружности находим по формулам L=2 πR, или L= πD. Используя их, находим:

R=L/2 π; (1)

D=Lπ.  (2)

Используя запись 1 в формуле S = π∙r2 получаем:

S = π(L/2 π)2 = L/4 π.

Аналогичный результат получим, используя формулу 2.

Как вычислить площадь круга, описанного вокруг правильного многоугольника

В каждый круг легко вписать любой правильный многоугольник. Рассмотрим случаи с самыми простыми фигурами. Если в круг вписан квадрат, то формула будет выглядеть так:

S=​2​​π⋅a​2​​​​/2, где а – сторона квадрата.

Если в круг вписан равносторонний (правильный) треугольник, то формула будет выглядеть так:

S=π⋅​​​a​2/3.

Если в равностороннем треугольнике неизвестна длина стороны, но известна высота, то используем формулу:

S=π⋅(​​​2⋅h​​/3)​2​​.

Если треугольники неправильные, например, равнобедренные или разносторонние, то формулы получаются сложнее. Например, для вычисления площади по данным равнобедренного треугольника используется формула:

S=π⋅(​ a4/4⋅a​2​​−b​2​​​​)

В случае прямоугольного треугольника, мы используем формулу:

S=​π/4​​⋅(a​2​​+b​2)​​.

Если круг описан вокруг равнобедренной трапеции, то рассчитать площадь можно по более сложной формуле:

S=π⋅( a⋅d⋅c/​4⋅√​p⋅(p−a)⋅(p−d)⋅(p−c)​​​​​).

Как видим, задачу вычисления площади круга можно решить при помощи готовых формул, рассчитанных практически для любого случая, используя вписанные или описанные простые геометрические фигуры. Приведем еще несколько из готовых формул, на этот раз, для фигур, внутри которых находится круг неизвестного радиуса:

S=π⋅​​​a​2​​/12 – для равностороннего треугольника;

S=π⋅​​​b​2/4​​​​⋅(tg​α​/2​​​​)​2​​ — для равнобедренной трапеции;

S=π⋅(​а/2​​)​2​​=​π⋅а​2/4​​ — для квадрата.

Учитывая небольшой объем статьи, все формулы приводим без доказательств, как руководство для практического использования при решении геометрических или технических задач.

Часто возникает проблема определения площади полукруга. Это можно сделать очень просто, вычислив площадь полного круга и разделив ее на 2. Если использовать формулу, то выглядеть это будет так:

S = π∙r2/2, или

S= π∙ D2/4/2 = S= π∙ D2/8.

Для решения практических задач сложно пользоваться формулами, да и времени для этого найти не всегда получается. Лучше всего воспользоваться онлайн-калькуляторами на специализированных сайтах

Здесь важно правильно замерить нужные параметры в требуемых единицах. Нот для учеников и студентов такие сервисы не подходят — легкое получение готового результата отучает мыслить самостоятельно и никак не углубляет знаний

Общая формула

S = 0,5 * a * b⋅sin(α) , где a, b — стороны, α — угол между ними.

S = 0,5 * a * h, где a — основание, h — высота.

S = (a * b * c) : (4 * R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

S = r * (a + b + c) : 2, где a, b, c — стороны, r — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что (a + b + c) : 2 — это способ поиска полупериметра. Тогда формулу можно записать следующим образом:

S = r * p, где p — полупериметр.

S = a2 : 2 * (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β)), где a — сторона, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника.

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

S = √ p * (p − a) * (p − b) * (p − c)​, где a, b, c — стороны, p — полупериметр, который можно найти по формуле: p = (a + b + c) : 2