Как найти площадь поверхности четырех угольной пирамиды - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Формула площади правильной пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной пирамиды
- 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

S_полн. = S_бок. + S_осн.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.

3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основание: квадрат.


Площадь	Формула
основание	S_осн. = a²
боковая поверхность	S_бок. = 2aL

полная	S_полн. = a² + 2aL

microexcel.ru

4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Основание: правильный шестиугольник

Источник

{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL + S}

На странице вы найдете онлайн-калькуляторы, которые помогут найти площадь полной и боковой поверхности правильной пирамиды, а также треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамиды. Кроме того приводятся формулы, по которым вы можете произвести расчет самостоятельно.

калькулятор площади поверхности пирамиды
формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему
формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и боковую грань
формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и высоту
формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему
формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему
формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
примеры задач

Познакомьтесь с важными понятиями, которые необходимо знать для расчета площади поверхности пирамиды.

Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания.

Площадь полной поверхности пирамиды — это сумма площадей боковых граней и площади основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды — это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Апофема — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания.

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему

{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL+S}

P — периметр основания пирамиды

L — апофема пирамиды

S — площадь основания пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{полн} = dfrac{na}{2} {Bigg( dfrac{a}{2 \tg ( dfrac{180°}{n})} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 \tg ( dfrac{180°}{n})} Bigg) ^2} Bigg)}}

a — сторона основания пирамиды

h — высота пирамиды

n — число сторон основания

Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему

{S_{полн} = dfrac{a^2 sqrt{3}+6aL}{4}}

a — сторона основания пирамиды

L — апофема пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

{S_{полн} = dfrac{a^2 sqrt{3}+6a sqrt{b^2 — dfrac{a^2}{4}}}{4}}

a — сторона основания пирамиды

b — боковая грань пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{полн} = dfrac{3a}{2} {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} Bigg) ^2} Bigg)}}

a — сторона основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

{S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}}}

a — сторона основания пирамиды

b — боковая грань пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{полн} = 2a {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} Bigg)}}

a — сторона основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему

{S_{полн} = a^2+2aL}

a — сторона основания пирамиды

L — апофема пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему

{S_{полн} = dfrac{3sqrt{3}a^2}{2}+3aL}

a — сторона основания пирамиды

L — апофема пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

{S_{полн} = dfrac{3sqrt{3}a^2}{2}+3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}

a — сторона основания пирамиды

b — боковая грань пирамиды

Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{полн} = 3a {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2} Bigg)}}

a — сторона основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему

{S_{бок} = dfrac{1}{2}PL}

P — периметр основания пирамиды

L — апофема пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{бок} = dfrac{na}{2} sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( dfrac{180°}{n})} Bigg) ^2} }

a — сторона основания пирамиды

h — высота пирамиды

n — число сторон основания

Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему

{S_{бок} = dfrac{3}{2}aL}

a — сторона основания пирамиды

L — апофема пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

{S_{бок} = dfrac{3a sqrt{b^2 — dfrac{a^2}{4}}}{2}}

a — сторона основания пирамиды

b — боковая грань пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{бок} = dfrac{3a}{2} sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} Bigg) ^2}}

a — сторона основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему

{S_{бок} =dfrac{1}{2}PL}

P — периметр основания пирамиды

L — апофема пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему

{S_{бок} = 2aL}

a — сторона основания пирамиды

L — апофема пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

{S_{бок} = 2a sqrt{b^2 — dfrac{a^2}{4}}}

a — сторона основания пирамиды

b — боковая грань пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2}}

a — сторона основания пирамиды

h — высота пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему

{S_{бок} = 3aL}

a — сторона основания пирамиды

L — апофема пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань

{S_{бок} = 3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}

a — сторона основания пирамиды

b — боковая грань пирамиды

Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту

{S_{бок} = 3a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2}}

a — сторона основания пирамиды

h — высота пирамиды

Примеры задач на нахождение площади поверхности пирамиды

Задача 1

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60см, боковые ребра равны 78см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение

Так как пирамида правильная четырехугольная, то воспользуемся соответствующей формулой площади поверхности через сторону основания и боковую грань.

S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}} = 60^2 + 2 cdot 60 sqrt{78^2- dfrac{60^2}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084- dfrac{3600}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084 — 900} = 3600 + 120 sqrt{5184} = 3600 + 120 cdot 72 = 3600 + 8640 = 12240 : см²

Ответ: 12240 см²

Проверим полученный ответ с помощью калькулятора .

Задача 2

Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной 6см и апофемой 10см.

Решение

Из условия мы знаем апофему и сторону правильной треугольной пирамиды, поэтому нам потребуется эта формула.

S_{бок} = dfrac{3}{2}aL = dfrac{3}{2} cdot 6 cdot 10 = dfrac{3}{2} cdot 60 = 90 : см²

Ответ: 90 см²

Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .

Задача 2

Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды сторона основания 6см и высота 4см.

Решение

Подставим значения в формулу и произведем расчет.

S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 2 cdot 6 sqrt{4^2+ Bigg( dfrac{6}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 60 : см²

Ответ: 60 см²

Проверка .

Источник

Полная площадь боковой поверхности пирамиды состоит из суммы площадей его боковых граней.

В четырехугольной пирамиде различается два вида граней – четырехугольник в основании и треугольники с общей вершиной, которой образуют боковую поверхность.
Для начала потребуется рассчитать площадь боковых граней. Для этого можно использовать формулы площади треугольника, а можно также воспользоваться формулой площади поверхности четырехугольной пирамиды (только в случае, если многогранник правильный). Если пирамида правильная и в ней известна длина ребра a основания и проведенной к нему апофемы h, то:

$S_bok={1/2}ah$

Если по условиям даны длина ребра c правильной пирамиды и длина стороны основания a, то можно найти значение по следующей формуле:
$S_bok={1/2}a sqrt{c^2-{{a^2}/4}}$
Если же дана длина ребра в основании и противолежащий ей острый угол у вершины, то можно рассчитать площадь боковой поверхности по соотношению квадрата стороны a к удвоенному косинусу половины угла α:
$S_bok={a^2}/{2*cos{{alpha}/2}}$
Рассмотрим пример расчета площади поверхности четырехугольной пирамиды через боковое ребро и сторону основания.

Задача: пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Длина ребра b = 7 см, длина стороны основания a = 4 см. Подставим заданные значения в формулу:
$S_bok={1/2}*4*sqrt{7^2-{{4^2}/4}}={1/2}*4*sqrt{49-4}=13,4{cm}^2$

Мы показали расчеты площади одной боковой грани для правильной пирамиды. Соответственно. Чтобы найти площадь всей поверхности необходимо умножить результат на количество граней, то есть на 4. Если пирамида произвольная и ее грани не равны между собой, то рассчитать площадь необходимо для каждой отдельной стороны. Если в основании лежит прямоугольник или параллелограмм, то стоит вспомнить их свойства. Стороны у этих фигур попарно параллельны, а соответственно грани пирамиды будут также попарно одинаковы.
Формула площади основания четырехугольной пирамиды напрямую зависит от того, какой четырехугольник лежит в основании. Если пирамида правильная, то площадь основания рассчитывается по формуле площади квадрата, если в основании лежит ромб, то потребуется вспомнить, как находится площадь ромба. Ели же в основании лежит прямоугольник, то найти его площадь будет довольно просто. Достаточно знать длины сторон основания. Рассмотрим пример расчета площади основания четырехугольной пирамиды.

Задача: Пусть дана пирамида, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами a = 3 см, b = 5 см. К каждой из сторон из вершины пирамиды опущена апофема. h-a=4 см,h-b=6 см. Вершина пирамиды лежит на одной линии с точкой пересечения диагоналей. Найдите полную площадь пирамиды.
Формула площади четырехугольной пирамиды состоит из суммы площадей всех граней и площади основания. Для начала найдем площадь основания:

$S_osn=3*5=15{cm}^2$
Теперь рассмотрим грани пирамиды. Они попарно одинаковы, потому что высота пирамиды пересекает точку пересечения диагоналей. То есть, в нашей пирамиде есть два треугольника с основанием a и высотой h-a, а также два треугольника с основанием b и высотой h-b. Теперь найдем площадь треугольника по известной формуле:
$S_a={1/2}*3*4=6{cm}^2$
$S_b={1/2}*5*6=15{cm}^2$
Теперь выполним пример расчета площади четырехугольной пирамиды. В нашей пирамиде с прямоугольником в основании, формула будет выглядеть так:

$S_poln=15+2*6+2*15=15+12+30=57{cm}^2$

Источник

Download Article

The surface area of any pyramid can be found by adding the surface area of the base to the surface area of the lateral faces. When working with regular pyramids, you can find the surface area using a formula, as long as you know how to find the area of the base of the pyramid. Since the base can be any polygon, it is helpful to know how to find the area of shapes such as pentagons and hexagons. When working with the common, regular square pyramid, however, calculating the total surface area is a simple calculation, provided you know the slant height of the pyramid and the side length of the square base.

1
2

Plug the perimeter of the base into the formula. If you aren’t given the perimeter but know the length of one edge of the base, you can calculate the perimeter by multiplying the length of one edge by the number of edges.

Advertisement
3
Plug the value of the slant height into the formula. Make sure you are using the slant height, not the perpendicular height. The problem should provide the slant height. If you don’t know the slant height, you cannot use this method.
- For example, if the slant height of a hexagonal pyramid is 12 cm, your formula will look like this: $SA={frac {24times 12}{2}}+B$ .
4

Calculate the area of the base. How you do this will depend on the shape of the base. To learn more about finding the area of a polygon, read Find the Area of Regular Polygons.

EXPERT TIP

Grace Imson is a math teacher with over 40 years of teaching experience. Grace is currently a math instructor at the City College of San Francisco and was previously in the Math Department at Saint Louis University. She has taught math at the elementary, middle, high school, and college levels. She has an MA in Education, specializing in Administration and Supervision from Saint Louis University.

Grace Imson, MA
Math Instructor, City College of San Francisco

Our Expert Agrees: The surface area of a pyramid is equal to the sum of the areas of all of the faces. First, you have to get the area of the base, then add the area of the lateral sides, which is one face times the number of sides.
5
Plug the area of the base into the formula. Make sure you substitute for the variable .
- For example, if the area of the hexagonal base is 41.57 sq. cm., your formula for surface area will now look like this: $SA={frac {24times 12}{2}}+41.57$ .
6

Multiply the perimeter of the base and the slant height of the pyramid. Then, divide by two. This will give you the lateral surface area of the pyramid.
7

Add the two values together. The sum will be the lateral surface area, plus the base surface area, providing you with the total surface area for the pyramid, in square units.

1
2
3

Square the side length of the base. This will give you the surface area of the base.
4

Multiply the side length of the base by the slant height and divide by two. Then, multiply by 4. This will give you the lateral surface area of the pyramid.
5

Add the base surface area and the lateral surface area. This will give you the total surface area of the pyramid, in square units.

Add New Question

Question

How do you find the lateral area of hexagonal pyramid, given the height and length of each side?

Use the base times height for the rectangles, and the altitude times base of the hexagonal face times three.
Question

How would you calculate the surface area of pyramid that does not have a square base?

Use the formula (p x h/2) + (B), where p is the perimeter of the base, h is the slant height of the pyramid, and B is the area of the base. Below are some articles on finding the area of a pentagon and hexagon, two common pyramid bases:

http://www.wikihow.com/Find-the-Area-of-a-Pentagon
http://www.wikihow.com/Calculate-the-Area-of-a-Hexagon
Question

How do I double the lateral surface area of a square pyramid?

One way would be to double either the length of the sides of the base or the slant height (but not both).

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Things You’ll Need

Writing utensil
Paper
Calculator (optional)
Ruler (optional)

About This Article

Article SummaryX

To find the surface area of a pyramid, start by multiplying the perimeter of the pyramid by its slant height. Then, divide that number by 2. Finally, add the number you get to the area of the pyramid’s base to find the surface area. To learn how to find the surface area of a square pyramid, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 388,084 times.

Did this article help you?

Источник

Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной a, боковыми гранями являются четыре равнобедренных треугольника с основанием a и равными бедрами b.

Площадь правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания — квадрата пирамиды и площади четырех треугольников боковых граней.

[ S = S_{осн} + 4 S_{бок} ]

Раскроем формулу (1) подставив в нее площадь квадрата и площадь равнобедренных треугольников

[ S = a^2 + 2 a sqrt{b^2-frac{a^2}{4}} ]

Вычислить, найти площадь правильной четырехугольной пирамиды

Площадь правильной четырехугольной пирамиды	стр. 325

Источник