Как найти площадь поверхности многограника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.

Изучение стереометрии начинается со знания формул. Для решения задач ЕГЭ по стереометрии нужны всего две вещи:

Формулы объёма — например, объём куба, объём призмы, объем пирамиды — и формулы площади поверхности.
Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

Куб		диагональ
Параллелепипед	$V=S_text{OCH}h, h -$ высота
Прямоугольный параллелепипед		$d=sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Призма	$V=S_text{OCH}h$	$S = 2S_text{OCH}+$
Пирамида	$V=frac{1}{3}S_text{OCH}h$	$S = S_text{OCH}+$

Проще всего найти объём куба — это куб его стороны. Вот, оказывается, откуда берётся выражение «возвести в куб».

Объём параллелепипеда тоже легко найти. Надо просто перемножить длину, ширину и высоту.

Объём призмы — это произведение площади её основания на высоту. Если в основании треугольник — находите площадь треугольника. Если квадрат — ищите площадь квадрата. Напомним, что высота — это перпендикуляр к основаниям призмы.

Объём пирамиды — это треть произведения площади основания на высоту. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный из её вершины к основанию.

Некоторые задачи по стереометрии решаются вообще без формул! Например, эта.

Задача 1.Объём куба равен . Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение:

Обойдёмся без формул! Просто посчитайте, сколько нужно таких четырёхугольных пирамидок, чтобы сложить из них этот куб

Очевидно, их 6, поскольку у куба 6 граней.

Стереометрия — это просто! Для начала выучите формулы объёма и площади поверхности многогранников и тел вращения. А дальше — читайте о приемах решения задач по стереометрии.

Разберем задачи, где требуется найти площадь поверхности многогранника.

Мы рассмотрим призмы и пирамиды. Начнем с призмы.

Площадь полной поверхности призмы можно найти как сумму площадей всех ее граней. А это площади верхнего и нижнего оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей боковых граней, которые являются прямоугольниками. Она равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.

Задача 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Многогранник на рисунке – это прямая призма с высотой 12.

$P_text{OCH}=8+6+6+2+2+4=28.$

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

(больший квадрат), (маленький прямоугольник), $S_text{OCH}=36+8=44$

Подставим все данные в формулу: и найдем площадь поверхности многогранника:

Ответ: 424.

Задача 3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Перевернем многогранник так, чтобы получилась прямая призма с высотой 1.
Площадь поверхности этой призмы находится по формуле:

$P_text{OCH}=4+5+2+1+2+4=18.$

Найдем площадь основания. Для этого разделим его на два прямоугольника и посчитаем площадь каждого:

(большой прямоугольник), $S_text{OCH}=16+2=18$ (маленький прямоугольник).

Найдем площадь полной поверхности:

Ответ: 54

Задача 4.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

Покажем еще один способ решения задачи.

Посмотрим, как получился такой многогранник. Можно сказать, что к «кирпичику», то есть прямоугольному параллелепипеду со сторонами 4, 1 и 3, сверху приклеен «кубик», все стороны которого равны 1.

И значит, площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4,1,3 и
куба со стороной 1, без удвоенной площади квадрата со стороной 1:

Почему мы вычитаем удвоенную площадь квадрата? Представьте себе, что нам надо покрасить это объемное тело. Мы красим все грани параллелепипеда, кроме квадрата на верхней его грани, где на него поставлен кубик. И у куба мы покрасим все грани, кроме этого квадрата.

Ответ: 42

Задача 5. . Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Пусть АВ = 5 см, ВС = 3 см, тогда $angle{ABC}=120^{circ}$

Из по теореме косинусов найдем ребро АС:

$AC^2=AB^2+BC^2-2cdot ABcdot BC cdot cos120^{circ}$

$AC^2=25+9-2cdot5cdot3cdotleft(-frac{1}{2}right)=47, ~AC = 7$

Отрезок АС – большая сторона , следовательно, большая боковая грань призмы.

Поэтому или откуда h=5.

Ответ: 75

Теперь две задачи на площадь боковой поверхности пирамиды.

Задача 6. Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13, ВС = 10; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней.

Проведем , тогда (по теореме о 3-х перпендикулярах), то есть DК – высота треугольника DВС.

– равнобедренный (по условию АВ = АС), то высота АК, проведенная к основанию ВС, является и медианой, то есть ВК = КС = 5.

Из прямоугольного получим:

$AK=sqrt{AB^2-BK^2}=sqrt{13^2-5^2}=sqrt{169-25}=sqrt{144}=12.$

Из прямоугольного имеем:

$DK=sqrt{DA^2+AK^2}=sqrt{9^2+12^2}=sqrt{81+144}=sqrt{225}=15.$

(по двум катетам), тогда $S_{ADB}=S_{ADC},$ следовательно

$=2S_{ADB}+S_{BDC},$ $=2cdotfrac{1}{2}cdot13cdot9+frac{1}{2}cdot10cdot15=117+75=192.$

Ответ: 192

Задача 8. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 24, боковые ребра равны 37. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Так как четырехугольная пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Площадь поверхности пирамиды равна

где р – полупериметр основания, h — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды), a – сторона основания.

Значит, полупериметр основания .

Апофему найдем по теореме Пифагора:

$h=sqrt{37^2-12^2}=sqrt{(37-12)(37+12)}=sqrt{25cdot49}=5cdot7=35$

Ответ: 2256

Как решать задачи на нахождение объема многогранника сложной формы?

Покажем два способа.

Первый способ

1.Составной многогранник достроить до полного параллелепипеда или куба.
2.Найти объем параллелепипеда.
3.Найти объем лишней части фигуры.
4.Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Второй способ.

1.Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2.Найти объем каждого параллелепипеда.
3.Сложить объемы.

Задача 9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.

1) Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

2) Найдем объем параллелепипеда – для этого перемножим его длину, ширину и высоту:

3) Найдем объем лишней части, то есть маленького параллелепипеда.

Его длина равна 9 – 4 = 5, ширина 4, высота 7, тогда его объем

4) Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

Ответ: 220.

Задача 10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 7, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.

Объем призмы равен $V=S_{OCH}cdot h$ , а так как призма прямая, то ее боковое ребро является и высотой, то есть h=6.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник c катетами 6 и 7, тогда площадь основания

$S_{OCH}=frac{1}{2}cdot ab=frac{1}{2}cdot6cdot7=21.$

Ответ: 126

Задача 11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд, у которого сторона в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Объем призмы равен $V = S_{OCH}cdot h$

Воду перелили в другой такой же сосуд. Это значит, что другой сосуд также имеет форму правильной треугольной призмы, но все стороны основания второго сосуда в 9 раз больше, чем у первого.

Основанием второго сосуда также является правильный треугольник. Он подобен правильному треугольнику в основании первого сосуда. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Если все стороны треугольника увеличить в 9 раз, его площадь увеличится в раз. Мы получили, что площадь основания второго сосуда в 81 раз больше, чем у первого.

Объем воды не изменился, Так как высота воды h_2 должна быть в 81 раз меньше, чем h_1. Она равна (см).

Ответ: 4

Задача 12. Объем параллелепипеда Найдите объем треугольной пирамиды ABDA_1.

Решение.
Опустим из вершины A_1 высоту A_1H Н на основание ABCD.

$=S_{ABCD}cdot A_1H$

$=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H$

Диагональ основания делит его на два равных треугольника, следовательно, $S_{ABD}=frac{1}{2}S_{ABCD}.$

Имеем:

$ABDA_1=frac{1}{3}S_{ABD}cdot A_1H=frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}S_{ABCD}cdot A_1H=frac{1}{6}V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=frac{1}{6}cdot21=3,5.$

Ответ: 3,5

Задача 13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а высота равна

Решение.
По формуле объема пирамиды, .

В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Его площадь равна $S_{OCH}=frac{a^2sqrt{3}}{4}.$

$S_{OCH}=frac{8^2sqrt{3}}{4}=frac{64sqrt{3}}{4}=16sqrt{3}.$

Объем пирамиды $V=frac{1}{3}cdot16sqrt{3}cdot6sqrt{3}=16cdot6=96.$

Ответ: 96

Задача 14. Через середины сторон двух соседних ребер основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, если объем призмы равен 32.

Решение.

По условию, призма правильная, значит, в ее основании лежит квадрат, а высота равна боковому ребру.

Пусть AD=x, тогда $S_{OCH}=x^2.$

Так как точки М и К – середины АD и DС соответственно, то $DM=DK=frac{x}{2}.$

$S_{MDK}=frac{1}{2}MDcdot DK=frac{1}{2}cdotfrac{x}{2}cdotfrac{x}{2}=frac{1}{8}x^2.$

Площадь треугольника MDK, лежащего в основании новой призмы, составляет $frac{1}{8}$ часть площади квадрата в основании исходной призмы.
Высоты обеих призм одинаковые. Согласно формуле объема призмы: $V=S_{OCH}cdot h$ , и значит, объем маленькой призмы в 8 раз меньше объема большой призмы. Он равен 32:8=4.

Ответ: 4

Докажем полезную теорему.

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство:

Плоскость перпендикулярного сечения призмы перпендикулярна к боковым ребрам, поэтому стороны перпендикулярного сечения призмы являются высотами параллелограммов.

$S=P_{perp}cdot l.$

Больше задач на формулы объема и площади поверхности здесь.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Формулы объёма и площади поверхности. Многогранники.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания,
берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта
готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием
сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом
администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта
и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы
принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без
письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой
зрения авторов.

Источник

СДАМ ГИА:

РЕШУ ЕГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

≡ Математика

Базовый уровень

Профильный уровень

Информатика

Русский язык

Английский язык

Немецкий язык

Французский язык

Испанский язык

Физика

Химия

Биология

География

Обществознание

Литература

История

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

24 мая

Обновлённая панель инструментов

22 мая

Беседы Решу ЕГЭ по подготовке к ЕГЭ

11 мая

Решение досрочных ЕГЭ по всем предметам

5 мая

Обновленный поиск заданий по ключевым словам

1 мая

Новый сервис: можно исправить ошибки!

29 апреля

Разместили актуальные шкалы ЕГЭ  — 2023

24 апреля

Учителю: обновленный классный журнал

7 апреля

Новый сервис: ссылка, чтобы записаться к учителю

30 марта

Решения досрочных ЕГЭ по математике

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Каталог заданий.
Площадь поверхности составного многогранника

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 2 № 25541

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Аналоги к заданию № 25541: 25543 25549 25545 … Все

Решение

1 комментарий

Видеокурс

Помощь

Тип 2 № 25561

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Аналоги к заданию № 25561: 25563 25569 512372 … Все

Источник: ЕГЭ по математике 10.06.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 601

Решение

Видеокурс

Помощь

Тип 2 № 25581

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Аналоги к заданию № 25581: 25583 25589 25585 … Все

Решение

1 комментарий

Видеокурс

Помощь

Тип 2 № 25601

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Аналоги к заданию № 25601: 25603 25609 505146 … Все

Решение

7 комментариев

Видеокурс

Помощь

Тип 2 № 25621

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Аналоги к заданию № 25621: 25623 25625 25629 … Все

Решение

3 комментария

Видеокурс

Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Источник

Площадь поверхности многогранника. В данной рубрике в опубликованных статьях «Общий обзор. Формулы стереометрии« и «Что ещё необходимо знать для решения по стереометрии« мы уже рассмотрели теоретические моменты, которые необходимы для решения.

В составе ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления просты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.

В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку, всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.

Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.

Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначьте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Используем оговоренный способ. Он нагляден. На листе в клетку строим все элементы (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.

Ответ: 72

Решите самостоятельно:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Ещё задачи 25881, 77155, 77156. В них приведены решения другим способом (без построения), постарайтесь разобраться — что откуда взялось. Также решите уже представленным способом.

* * *

Если требуется найти объём составного многогранника. Разбиваем многогранник на составляющие его параллелепипеды, записываем внимательно длины их рёбер и вычисляем.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Объем многогранника, изображенного на рисунке равен сумме объёмов двух многогранников с рёбрами 6,2,4 и 4,2,2

Ответ: 64

Решите самостоятельно:

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Посмотреть решение

Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Посмотреть решение

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Казалось бы, данные задачи можно вообще не рассматривать, они же просты и понятны. Но в их решении важна практика. Повторюсь, что ошибиться очень легко, попрактикуйтесь с подобными задачами и вы убедитесь.

В открытом банке задач много примеров аналогичных задач (смотрите здесь и здесь). Договоритесь с одноклассниками решить одни и те же задачи, затем сверьтесь.

Мы продолжим рассматривать задачи данной части, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник