Практические советы от экспертов: как найти площадь неправильных фигур и сложных поверхностей
При работе с геометрическими фигурами и поверхностями, возникают случаи, когда они не имеют простой формы, как, например, круг, квадрат или треугольник. В таких случаях найти площадь фигуры или поверхности затруднительно, но есть несколько методов, которые помогут решить эту задачу.
Неправильные фигуры
Метод 1: Разбиение на простые фигуры
Если неправильная фигура может быть разложена на несколько простых фигур, то площадь фигуры можно найти, вычислив площадь каждой простой фигуры и сложив их.
Метод 2: Использование координат
Если можно определить координаты вершин фигуры, то можно использовать формулу для нахождения площади многоугольника. Для этого нужно разбить фигуру на множество треугольников. После этого площадь каждого треугольника вычисляется формулой Герона. Площадь всей неправильной фигуры равна сумме площадей всех треугольников.
Метод 3: Использование интегралов
Использование интегралов требует более серьезной математической подготовки. Однако, это может быть полезно при работе с очень сложными и изогнутыми фигурами. В этом случае площадь фигуры находится путем интегрирования определенной функции на определенном интервале.
Сложные поверхности
Метод 1: Разбиение на простые поверхности
Если сложная поверхность может быть разбита на несколько простых поверхностей, то площадь поверхности можно вычислить путем нахождения площади каждой простой поверхности и их суммирования.
Метод 2: Использование теоремы Гаусса-Боннэ
Этот метод применим для вычисления площади поверхностей, которые имеют сложную форму, но которые можно охарактеризовать определенным полем. Теорема Гаусса-Боннэ гласит, что поверхностный интеграл от поля, которое проходит через поверхность, равен полному потоку поля через поверхность. При наличии точных данных о полях и их потоке, можно воспользоваться этой теоремой для вычисления площади поверхности.
Метод 3: Использование теоремы Стокса
Теорема Стокса является дополнением теоремы Гаусса-Боннэ. Эта теорема говорит о том, что криволинейный интеграл от поля, которое проходит по контуру поверхности, равен поверхностному интегралу от ротора векторного поля через поверхность. Если известно векторное поле и его ротор, можно воспользоваться этой теоремой для вычисления площади поверхности.
Заключение
Найдение площади неправильных фигур и сложных поверхностей может быть непростой задачей, но описанные методы помогут решить эту задачу. В любом случае, для решения таких задач нужна серьезная математическая подготовка и понимание основных понятий геометрии и их применения.
Как найти площадь неправильной фигуры
В школьном курсе геометрии ученики в основном считают площади правильных многоугольников. Между тем, для решения множества практических задач нередко приходится иметь дело с неправильными геометрическими фигурами. С этой проблемой человек сталкивается и при определении размеров дачного участка или придомовой территории, и при расчете количества ткани для шитья, и еще во многих случаях. Высчитать площадь неправильной фигуры можно несколькими способами.
Вам понадобится
- — неправильная геометрическая фигура;
- — измерительные инструменты;
- — прозрачный пластик;
- — линейка;
- — угольник;
- — шариковая ручка.
Инструкция
Рассмотрите геометрическую фигуру и определите, какие ее параметры вам известны. Это могут быть длины сторон или углы. В зависимости от заданных параметров и выберите способ определения площади. Например, разделите ее на несколько фигур, формулы вычисления площади которых вы знаете. Один из самых распространенных методов — провести диагонали из одного угла ко всем остальным вершинам. В этом случае вам нужно знать формулу вычисления площади произвольного треугольника. Но никто не запрещает разделить заданную фигуру и на другие многоугольники. Например, при расчете площади пола в комнате с нишей удобнее разделить неправильную фигуру на два прямоугольника или квадрата.
Для определения площади не слишком большой детали можно воспользуйтесь палеткой. Ее можно сделать самому. Отрежьте прямоугольный кусок любого прозрачного пластика. Разделите его на квадраты, площадь которых вам известна — например, 1х1 или 0,5х0,5 см. Линейка и угольник должны быть точными. Наложите палетку на деталь. Сосчитайте полные квадратики, затем — неполные. Количество неполных квадратов разделите на 2 и приплюсуйте результат к числу целых. Чем мельче деления на палетке — тем точнее будет результат. Аналогично можно посчитать и площадь участка. Роль палетки будет выполнять сетка из квадратов со стороной 1х1 м, начерченная на земле или отмеченная колышками с протянутыми между ними шнурами. Можно ограничиться и разметкой территории на полосы. .
С крупными площадями можно поступить и иначе. Возьмите максимально точный план участка или придомовой территории. Определите масштаб. Воспользуйтесь одним из предложенных способов. Затем полученное количество квадратных сантиметров переведите в нужный масштаб.
Полезный совет
При изготовлении плоских деталей из металла можно вычислить их площадь по эталону с помощью взвешивания. Вырежьте саму деталь и эталон — квадратик, площадь которого удобно рассчитать. Делать их необходимо из одного и того же материала, причем толщина листа должна быть одинаковой и при этом незначительной. Вычислите соотношение масс, а по ней — неизвестную площадь. Однако это не очень точный способ и применять его можно только в крайних случаях.
Любую неправильную фигуру можно представить в виде графика. Каждая точка имеет свои координаты. Представьте каждый отрезок как график функции. Площадь участка от абсциссы до него являет собой определенный интеграл. Высчитайте все интегралы. Площадь фигуры определите с помощью разности интегралов с большим и меньшим значением. Это довольно трудоемкий метод, но он дает наибольшую точность.
Источники:
- http://matemonline.com/rubrika/%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB/
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Introduction: Measuring Area of Irregular Shapes
This instructable combines a few mathematical tricks to enable you to calculate the area of irregular shapes.
I come from a farming background. One of the things we often had to do, was measure the area of a section of land in order to calculate how much fertiliser was required.
This can be done from maps, (E.g. using Google Maps measure tools) but this doesn’t take into account variations in height. Our farm was in a moderately hilly area, and often the real area of a paddock was 20% more than what the maps said.
This instructable could also be used to measure area of irregular plane shapes, as well as surface area of 3D shapes.
Step 1: Heron’s Formula — Calculating the Area of a Single Triangle.
Heron’s formula is a way to calculate the area of ANY triangle, knowing the lengths of it’s three sides, a, b and c. More information can be found at http://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula
Firstly, calculate the semiperimeter. This is just half of the triangle’s perimeter.
s = (a + b + c) / 2
In our example,
s = (6.56 + 6.01 + 5.76)/2
s = 9.165
——————————————————————
Then, calculate the following differences:
s — a
s — b
s — c
E.g.
s — a = 9.165 — 6.56 = 2.605
s — b = 9.165 — 6.01 = 3.155
s — c = 9.165 — 5.76 = 3.405
——————————————————————
Finally, substitute your answers into the following equation:
A = sqrt( s * (s-a) * (s-b) * (s-c) )
(Multiply the three differences together, along with the semiperimeter, and then take the square root.)
A = sqrt( 9.165 * 2.605 * 3.155 * 3.405)
A = sqrt( 256.482)
A = 16.015
This gives the area of a single triangle.
Step 2: Triangulating a Complex Shape
To use Heron’s formula on a complex shape, all we have to do is split the shape up into a series of triangles, and measure all the edges.
This can be done using Delaunay Triangulation for highest efficiency, but any set of triangles will work. http://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation
Basically, quadrilaterals are split along their shortest diagonals. This will ensure that your triangles aren’t thin and narrow.
Once you have your shape split into triangles and all the edges are measured, calculate Heron’s Formula for each triangle, and then add the areas together for a total.
Step 3: Using a Spreadsheet to Make Life Easier.
Rather than calculate each triangle by hand, you can save yourself some effort by using a spreadsheet. I have attached an example in OpenOffice and Excel formats.
All you have to do is add in values of a,b and c for each triangle, and it will calculate areas and give you a total.
Edit:
I have included versions of the spreadsheet, that have all but the a,b and c cells protected. There is no password, and it’s up to individuals if they want the normal or the protected versions. 
To make it a little more clear, the protected versions just prevent you from accidentally erasing or changing the formulas, but they only go up to 30 triangles.
The normal versions should allow people to adjust the spreadsheet if they want to.
You can thank sonogo for this excellent suggestion.
Step 4: Getting Measurements
To get measurements over moderate to large distances, you can use string-lines or measuring (surveyor’s) wheels. (I’m a bit surprised I can’t find an instructable for how to make one.)
Alternatively, with a bit of practice with a measuring tape, you can learn how to stride regular 1m (*sigh* or for the irredeemably Imperialist, 1 yard) steps, and pace out rough distances.
The advantages of this method are that:
— there is nothing saying that the triangles have to all lie in the same plane. As long as each triangle section is moderately flat, this method will work with any 3D surface.
— you only need to measure distances. No angles are required. Methods requiring angles can be sensitive to errors of 1/2 a degree over large area. This gives good approximations even if your distances are out by 1 to 2 metres.
If you wanted to measure the surface area of a small 3D shape, you could use string lines to draw triangles over it’s surface, and then measure the length of each edge.
Когда вы впервые начинаете вычислять площадь, вы получаете простые формы с четко определенными формулами для нахождения их площади: например, круги, треугольники, квадраты и прямоугольники. Но что происходит, когда вы сталкиваетесь с формой, которая не вписывается легко в эти категории? Пока вы не войдете в дивный новый мир интегральных исчислений, лучший способ найти область неправильных форм — это разделить их на формы, с которыми вы уже знакомы.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Самый простой способ вычислить площадь неправильной формы — это разделить ее на знакомые фигуры, вычислить площадь знакомых фигур, а затем сложить эти вычисления площади, чтобы получить площадь неправильной формы, которую они составляют.
-
Соберите свои инструменты
-
Подразделить неправильную форму
-
Найти размеры подразделенных фигур
-
Рассчитать площадь каждой подразделенной формы
-
Обратите внимание, как вы переносите единицы измерения — в данном случае, дюймы — на протяжении всех расчетов. Всегда записывайте свои единицы измерения. В противном случае это одна из самых распространенных ошибок, но также и одна из самых простых, которую можно избежать.
-
Всего областей подразделяемых форм
-
Вместо того, чтобы делить неправильную форму на что-то знакомое, можете ли вы добавить кусок, чтобы сделать его чем-то знакомым? Например, представьте, что ваша фигура выглядит как квадрат, но с одним углом, отрезанным под углом. Можете ли вы «добавить» треугольник в этот отрезанный угол, чтобы превратить его в аккуратный квадрат? Если да, вы можете рассчитать площадь всего квадрата, а затем вычесть площадь треугольника, который вы только что добавили. В результате вы получите площадь неправильной формы, с которой вы начали.
Соберите формулы для форм, с которыми вы уже знакомы. Наиболее распространенные формы и их формулы включают в себя:
Площадь квадрата или прямоугольника = l × w (где l — длина, а w — ширина)
Площадь треугольника = 1/2 ( b × h) (где b — основание треугольника, а h — его вертикальная высота)
Площадь параллелограмма = b × h (где b — основание параллелограмма, а h — его вертикальная высота)
Площадь круга = π_r_ 2 (где r — радиус круга)
Используйте свое воображение, чтобы разделить имеющуюся неправильную форму на более привычные формы. Иногда рисуя форму, затем добавляя линии для подразделений, вы можете визуализировать ее и отслеживать соответствующие измерения для каждого измерения. Например, представьте, что вам нужно найти область пятигранной формы, которая не является шестиугольником, но имеет три перпендикулярные стороны, противоположные «точке». Немного подумав, вы можете разделить это на прямоугольник, который упирается в треугольник, с треугольником, образующим «точку» фигуры.
Вернитесь к формулам площади, чтобы узнать размеры, необходимые для расчета площади каждой подразделенной фигуры. В этом случае вам понадобится базовая и вертикальная высота треугольника, а также длина и ширина (или две соседние стороны) прямоугольника. Если вы работаете над математической задачей в школе, вы, вероятно, получите хотя бы некоторые из этих измерений и, возможно, потребуется использовать некоторую базовую алгебру или геометрию, чтобы найти пропущенные измерения. Если вы работаете в реальном мире, вы можете заполнить некоторые измерения физическими измерениями.
Заполните размеры в формуле площади для каждой подразделенной фигуры. Например, если треугольник имеет основание 6 дюймов и высоту по вертикали 3 дюйма, его формула площади:
1/2 ( b × h ) = 1/2 (6 дюймов × 3 дюйма) = 1/2 (18 дюймов 2) = 9 дюймов 2
Если прямоугольник имеет длину 6 дюймов (что также является стороной, составляющей основание треугольника) и высоту 4 дюйма, его формула площади:
l × w = 6 в × 4 в = 24 в 2
подсказки
Добавьте области подразделенных форм; общая площадь неправильной формы, с которой вы начали. Чтобы завершить этот пример, площадь треугольника 9 в 2, а площадь прямоугольника 24 в 2. Итак, ваша общая площадь:
9 в 2 + 24 в 2 = 33 в 2
подсказки
Как найти площадь фигуры неправильной формы?
1) разбить многоугольник на треугольники, прямоугольники; 2) вычислить площади полученных фигур; 3) найти сумму всех площадей полученных фигур.
Как найти площадь трехмерной фигуры?
2 Часть 2 из 2: Вычисление площади поверхности трехмерных фигур
- Куб: S = 6s2, где s – сторона куба.
- Конус: S = π x r x s + πr2, где r – радиус, s – образующая.
- Шар (сфера): S = 4πr2, где r – радиус.
- Цилиндр: S = 2πr2 + 2πrh, где r – радиус, h – высота.
- Пирамида: = b2 + 2bh, где b – сторона основания, h – высота.
Как находить площади разных фигур?
Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Как найти площадь с разными сторонами?
Если вы знаете неравные стороны и угол между этими сторонами (θ), то площадь дельтоида вычисляется с помощью тригонометрии по формуле: Площадь = (сторона1 х сторона2) х sin (угол), или S = (a × b) × sin(θ), где θ — угол между неравными сторонами.
Как найти площадь фигуры по клеткам 4 класс?
Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно:
- На данную фигуру наложить палетку. …
- Сосчитать, сколько целых клеток- квадратных единиц — содержится в фигуре. …
- Сосчитать, сколько нецелых квадратных единиц содержится в фигуре.
Как найти площадь по периметру?
Для вычисления периметра используется формула: где n – количество сторон многоугольника, a – длина стороны. Для определения площади используется выражение: S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n).
Как найти площадь и периметр фигур?
К разным фигурам применяйте различные формулы.
- Квадрат: периметр = 4 * сторона.
- Треугольник: периметр = сторона 1 + сторона 2 + сторона 3.
- Неправильный многоугольник: периметр равен сумме всех сторон многоугольника.
- Круг: длина окружности = 2 х π х радиус = π х диаметр.
Как найти площадь поверхности многогранника?
Решение. Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Так как все грани этого многогранника — прямоугольники, то для нахождения площади каждой грани мы используем формулу площади прямоугольника: S=ab, где a и b — длины двух смежных сторон прямоугольника.
Как найти площадь фигуры 5 класс?
1:075:03Рекомендуемый клип · 49 сек.5 класс, 18 урок, Площадь. Формула площади прямоугольника — YouTubeYouTube
Как найти площадь квадрата 4 класс?
Если известна длина стороны Умножаем ее на то же число или возводим в квадрат. S = a × a = a2, где S — площадь, a — сторона.
Как узнать площадь прямоугольника с разными сторонами?
Чтобы узнать площадь прямоугольника, можно найти квадрат диагонали и любой стороны, из первого числа вычесть второе, найти корень из результата, и на полученное число умножить длину известной стороны. Вуаля!
Как найти площадь фигуры по клеткам?
- достроить фигуру до прямоугольника
- найти площади полученных дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника
- из площади прямоугольника вычесть площади всех «лишних» фигур.
27 мар. 2016 г.
Как найти примерную площадь?
Вычисление площади фигур произвольной формы, используя палетку….Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно:
- На данную фигуру наложить палетку. …
- Сосчитать, сколько целых клеток- квадратных единиц — содержится в фигуре. …
- Сосчитать, сколько нецелых квадратных единиц содержится в фигуре.
Как найти площадь квадрата по его периметру?
S = Р2 : 16, где Р — это периметр. Периметр любого четырехугольника равен сумме длин всех его сторон.
Как найти площадь сложного прямоугольника?
Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину. Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины. Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т. д.
Как найти периметр неправильной фигуры?
И как же найти периметр этих фигур? Для того, чтобы найти периметр многоугольника надо сложить длины всех его сторон. Периметр обозначается заглавной латинской буквой Р.
Чему равна площадь фигур?
Площади геометрических фигур / math5school.ru
| Прямоугольник | Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон. |
| Квадрат | Площадь квадрата равна квадрату его стороны. |
| Квадрат | Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали. |
•1 янв. 2017 г.