Как найти площадь поверхности правильной четырех пирамиды

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

• Формула площади правильной пирамиды
  • 1. Общая формула

  • 2. Площадь правильной треугольной пирамиды

  • 3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

  • 4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

S_полн. = S_бок. + S_осн.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

L (апофема) – перпендикулярная линия, опущенная из вершины пирамиды на ребро основания. Т.е. апофема пирамиды является высотой (h) ее боковой грани.

3. Площадь правильной четырехугольной пирамиды

Основание: квадрат.

Площадь	Формула
основание	Sосн. = a2
боковая поверхность	Sбок. = 2aL
полная	Sполн. = a2 + 2aL

microexcel.ru

4. Площадь правильной шестиугольной пирамиды

Основание: правильный шестиугольник

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина  пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), можете посмотреть.

В типовых заданиях, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами пока не встречал.

Кстати, на проекте youclever неплохой визуальный гид по пирамиде: с красивыми картинками, основными формулами и свойствами. Подходит тем, кто лучше воспринимает информацию визуально. Там весь учебник по геометрии такой — мало задач, но много понятных рисунков.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись формулой Герона:

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды,  стороны основания которой равны 6 и высота равна 4. 

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой  равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Посмотреть решение

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

где φ — двугранный угол при основании

Отсюда площадь полной поверхности правильной пирамиды может быть найдена по формуле:

Еще одна формула боковой поверхности правильной пирамиды:

  P — периметр основания, l — апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее  как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Изучая объемные фигуры в курсе стереометрии, школьники часто сталкиваются с задачей определения площади их поверхности. Успешное решение этой задачи возможно, если четко представлять, с какой фигурой ведется работа. Данная статья посвящена вопросу определения площади поверхности правильной пирамиды (четырехугольной).

Описание фигуры

Начнем раскрытие вопроса статьи с определения правильной четырехугольной пирамиды. Под ней в геометрии понимают фигуру в пространстве, которая образована одним квадратом и четырьмя одинаковыми равнобедренными треугольниками (при определенных параметрах фигуры эти треугольники могут быть равносторонними). Пример рассматриваемой фигуры показан ниже.

Вам будет интересно:Егерские полки – прообраз современного спецназа

Каждый равнобедренный треугольник пересекается по боковым граням с двумя соседними треугольниками, и по грани основания — с квадратом. Кроме того, все четыре треугольника пересекаются в одной точке, которая носит название главной вершины пирамиды. Помимо нее, фигура имеет еще четыре вершины, но все они принадлежат основанию.

Четырехугольной эта пирамида называется потому, что ее основание является четырехугольником. А правильной она считается потому, что это основание представляет собой квадрат, и сама фигура является прямой. Последнее означает, что опущенный с вершины перпендикуляр на квадрат пересекает его точно в геометрическом центре.

Что собой представляет площадь поверхности правильной пирамиды (четырехугольной)

Многим будет нелегко ответить на этот вопрос. Действительно, мы рассматриваем объемную фигуру, а когда говорят о площадях, то имеют в виду силуэт на плоскости. В связи со сказанным в геометрии для вычисления площадей пространственных объектов используют их плоские развертки.

Развертку рассматриваемой пирамиды получить несложно. Предположим, что у нас имеется бумажная фигура с квадратным основанием. Возьмем ножницы и отрежем от нее квадрат. Затем разрежем вдоль бокового ребра (отрезок пересечения треугольников) пирамидальную поверхность и развернем ее в плоскую интерпретацию. В результате этих действий у нас получится плоская фигура, подобная той, что показана на рисунке.

Таким образом, отвечая на вопрос, как найти площадь правильной четырехугольной пирамиды, следует сказать, что для этого нужно сложить площадь квадрата и площади четырех одинаковых треугольников.

Формулы для нахождения величины

Из планиметрии известно, что расчет площади производится с учетом знания линейных параметров плоской фигуры. В нашем случае речь идет о двух типах объектов: равнобедренном треугольнике и квадрате.

Обозначим сторону четырехугольника буквой a, а высоту треугольника hb (она называется апофемой пирамиды). Тогда для площади So квадрата можно записать:

So = a2

Площадь же треугольника S3 будет равна:

S3 = 1 / 2 * a * hb

Поскольку треугольников с площадью S3 в рассматриваемой пирамиде четыре штуки, то формула площади поверхности правильной пирамиды (четырехугольной) примет вид:

S = So + 4 * S3 = a2 + 4 / 2 * a * hb = a * (a + 2 * hb)

При решении некоторых задач вместо апофемы hb может быть известен другой линейный параметр пирамиды — высота h. Поэтому будет полезным, если мы здесь приведем формулу для S через параметры a и h.

Решить поставленную задачу можно, если увидеть внутри пирамиды треугольник прямоугольный, и рассчитать гипотенузу-апофему по следующей формуле:

hb = √(h2 + a2 / 4)

Подставляя это выражение в записанную выше формулу для S, получаем:

S = a * (a + 2 * √(h2 + a2 / 4))

Это выражение выглядит несколько сложнее, чем первое. Тем не менее, оно чаще используется при рассмотрении геометрических проблем с четырехугольной пирамидой.

Записанные формулы для площади рассматриваемой фигуры можно не запоминать, важно лишь ясно представлять развертку пирамиды и уметь находить площадь треугольника.

Использование формулы площади четырехугольной пирамиды на примере сооружения Хеопса

Конечно же, речь идет о пирамиде Хеопса — самой знаменитой каменной постройки за всю известную нам историю. Рассчитаем площадь поверхности этого гиганта, используя следующие данные о нем:

• среднее значение длины стороны основания равно 230,363 метра;
• начальная высота сооружения составляла 146,50 метра.

Чтобы найти искомую площадь, следует воспользоваться второй формулой, приведенной в предыдущем пункте статьи. Сделаем это:

S = a * (a +2 * √(h2 + a2 / 4)) = 230,3632 + 230,363 * 2 * √(146,502 + 230,3632 / 4) ≈ 138 927 м2

Чтобы понять, насколько огромно рассчитанное значение, сравним его с параметрами футбольного поля (5 000 м2). Полная площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды Хеопса почти в 28 раз больше величины площадки для игры.

Жду ваши вопросы и мнения в комментариях

Спрятать решение