Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелипипеда - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.

Формула вычисления площади
Пример задачи

Формула вычисления площади

Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:

S = 2 (ab + bc + ac)

Формула получена следующим образом:

Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
- два основания: со сторонами a и b;
- четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).

Пример задачи

Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.

Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см².

Источник

Определение прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольным параллелепипедом называется трехмерное тело, у которого противоположные грани параллельны и являются прямоугольниками. Проще говоря, прямоугольный параллелепипед представляет собой вытянутый куб.

Онлайн-калькулятор площади поверхности параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед можно охарактеризовать тремя числами — длинами его сторон: aa, bb, cc.

Формула площади поверхности параллелепипеда

Чтобы найти полную площадь поверхности параллелепипеда, нужно сложить площади всех его граней. Граней у параллелепипеда шесть, поэтому:

S=S1+S2+S3+S4+S5+S6S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6

Но так как противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны между собой, то: S1=S2S_1=S_2, S3=S4S_3=S_4, S5=S6S_5=S_6.

Поскольку гранями данного параллелепипеда являются прямоугольники, то их площади равны соответственно:

S1=S2=abS_1=S_2=ab
S3=S4=bcS_3=S_4=bc
S5=S6=acS_5=S_6=ac

Итак, полная площадь поверхности параллелепипеда:

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

S=2(ab+bc+ac)S=2(ab+bc+ac)

Из этой формулы следует, что если a=b=ca=b=c, то получим: S=6a2S=6a^2. Это и есть формула для площади поверхности куба со стороной aa.

Пример 1

Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2 см.2text{ см.}, 4 см.4text{ см.}, 6 см.6text{ см.}

Решение

a=2a=2
b=4b=4
c=6c=6

S=2(ab+bc+ac)=2(2⋅4+4⋅6+2⋅6)=88 (см. кв.)S=2(ab+bc+ac)=2(2cdot4+4cdot6+2cdot6)=88text{ (см. кв.)}

Ответ: 88 см. кв.88text{ см. кв.}

Пример 2

Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда высотой 3 см.3text{ см.}, в основании которого лежит квадрат со стороной 1 см.1text{ см.}

Решение

a=b=1a=b=1
c=3c=3

S=2(ab+bc+ac)=2(1+3+3)=14 (см. кв.)S=2(ab+bc+ac)=2(1+3+3)=14text{ (см. кв.)}

Ответ: 14 см. кв.14text{ см. кв.}

Не знаете, где заказать задачу по геометрии? Обратитесь к нашим экспертам в данной области!

Тест по теме «Площадь поверхности параллелепипеда»

Источник

{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}

Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда необходимо знать длины трех его ребер. Для вычисления площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используется формула, в которой сумма попарных произведений ребер параллелепипеда умножается на 2. По другому формулу можно трактовать как произведение площадей трех граней параллелепипеда (так как произведение ребер — это площадь грани). Кроме того на странице вы найдете калькулятор, с помощью которого в режиме онлайн можно найти площадь полной и боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.

В дополнение на сайте можно найти объем параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.

Ребро — сторона прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина и высота — это ребра прямоугольного параллелепипеда.

Содержание:

калькулятор площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда
формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда
примеры задач

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

{S_{полн} = 2(ab+bc+ac)}

a — длина прямоугольного параллелепипеда

b — ширина прямоугольного параллелепипеда

c — высота прямоугольного параллелепипеда

Формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

{S_{бок} = 2(ac+bc)}

a — длина прямоугольного параллелепипеда

b — ширина прямоугольного параллелепипеда

c — высота прямоугольного параллелепипеда

Примеры задач на нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

Задача 1

Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 2 4 и 5.

Решение

Для нахождения площади поверхности воспользуемся первой формулой. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты параллелепипеда и произведем вычисления.

S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(2 cdot 4 + 4 cdot 5 + 2 cdot 5) = 2(8 + 20 + 10) = 2(38) = 76 : см^2

Ответ: 76 см²

Проверим ответ с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3см 5см и 6см.

Решение

Задача аналогична предыдущей, поэтому повторим действия, подставив новые значения измерений параллелепипеда.

S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(3 cdot 5 + 5 cdot 6 + 3 cdot 6) = 2(15 + 30 + 18) = 2(63) = 126 : см^2

Ответ: 126 см²

Для проверки ответа используем калькулятор .

Задача 3

Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда измерения которого равны 9м 24м 11м.

Решение

Еще одна типовая задача. Для ее решения также воспользуемся первой формулой.

S_{полн} = 2(ab+bc+ac) = 2(9 cdot 24 + 24 cdot 11 + 9 cdot 11) = 2(216 + 264 + 99) = 2(579) = 1158 : см^2

Ответ: 1158 см²

Проверка .

Задача 4

Найдите площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда у которого a=4см, b=5см, c=7см.

Решение

В этой задаче нам необхожимо найти площадь боковой поверхности. Поэтому мы будем использовать для ее решения вторую формулу.

S_{бок} = 2(ac+bc) = 2(4 cdot 7 + 5 cdot 7) = 2(28 + 35) = 2(63) = 126 : см^2

Ответ: 126 см²

Как всегда ответ можно проверить с помощью калькулятора .

Источник

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 495.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 495.

В 5 классе в курсе математики изучается тема прямоугольного параллелепипеда. Сегодня мы поговорим о формулах для нахождения площади боковой поверхности и площади полной поверхности этой фигуры, которые наиболее часто вызывают затруднения у учеников.

Материал подготовлен совместно с учителем первой категории Камушковой Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики — 27 лет.

Определения

Параллелепипед – это фигура в пространстве, которая состоит из шести четырехугольников.

Каждый четырехугольник – это грань параллелепипеда. Среди граней различают четыре боковые и два основания. Если в основании фигуры находится прямоугольник, то многогранник называется прямоугольным параллелепипедом.

Стороны граней – это ребра. У параллелепипеда всего 12 ребер.

Параллелепипед имеет 8 вершин, для их обозначения используют заглавные латинские буквы.

Если две грани не имеют общего ребра, то они называются противоположными. Так как каждая грань прямоугольного параллелепипеда – это прямоугольник, у которого противоположные стороны равны, то и противоположные грани прямоугольного параллелепипеда также равны.

Длина ребер определяет основные характеристики прямоугольного параллелепипеда: площадь, периметр, объем.

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед

Примеры таких фигур мы часто встречаем в нашей жизни: кирпич, коробка, системный блок компьютера.

Математическая фигура – прямоугольный параллелепипед активно используется в искусстве, архитектуре и прочих областях.

Различают несколько видов параллелепипедов, с основанием в виде квадрата, параллелограмма или прямоугольника.

Формула для нахождения площади

Для того, чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, необходимо вычислить по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем просуммировать получившиеся значения.

$S = ab$;

$S = ac$; где a, b, c – стороны фигуры.

Рис. 2. Прямоугольный параллелепипед

А так как противоположные грани равны, то есть $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, их сумма и будет площадью боковой поверхности многоугольника.

$S= 2(ab + ac)$

Соответственно, чтобы вычислить площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо сложить площадь боковой поверхности и две площади основания. В итоге получится формула площади прямоугольного параллелепипеда.

$S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$

Иногда для уточнения возле знака площади пишут краткое обозначение например, S п.п. – площадь полной поверхности, либо S б.п. – площадь боковой поверхности. Это помогает во время выполнения задания не перепутать нужные данные.

Пример задания

Найти площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если длина и ширина основания 4 см и 3 см соответственно, а высота равна 2 см.

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b, c

Решение:

S п.п. = 2(ab + ac + bc)

S п.п. = 2(4*3 + 4*2 + 3*2) = 52 см²

Таким образом, S п.п. = 52 см².

Для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда используют те же единицы измерения, в которых были приведены длины ребер. Если длины ребер прямоугольного параллелепипеда даны в разных единицах измерения, то их нужно перевести в одинаковые.

Что мы узнали?

Мы познакомились с элементами прямоугольного параллелепипеда: грани, ребра, основание. А также ознакомились с формулами для нахождения площади его боковой и полной поверхности, которые можно использовать для решения заданий.