Как найти площадь поверхности сферы решение - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Download Article

The surface area of a sphere is the number of square units (cm², square inches, square feet — whatever your measurement) that are covering the outside of a spherical object.^[1] Discovered by the Greek philosopher and mathematician Aristotle thousands of years ago, the equation is relatively simple, even if its origins are not. To find the surface area of a sphere, use the formula (4πr²), where r = the radius of the circle.

1
Know the parts of the equation, Surface Area = 4πr². This nearly ancient formula is still the easiest way to determine the surface area of a sphere.^[2] Using almost any calculator, you can plug in the radius to get the surface area of your sphere.
- r, or «radius: The radius is the distance from the center of the sphere to the edge of that sphere.
- π, or «pi:» This incredible number (equalling roughly 3.14) represents the ratio between a circle’s circumference and diameter, and is useful in all equations with circles and spheres. It is commonly shortened as π = 3.1416, but there are an infinite number of decimals.^[3]
- 4: For somewhat complex reasons, the surface area of a sphere is always 4 times as large as the area of a circle with the same radius.
2
Find the radius of the sphere. Sometimes your problem will supply you the radius, and other times you will have to find it yourself. If you are given the diameter of a circle, simply divide the diameter by 2 to get the radius.^[4] For example, a sphere of diameter 10 inches has a radius of 5 inches.
- Advanced Tip:If you only know the volume of a sphere, you need to do a little more work to get the radius. Divide the volume by 4π, then multiply that answer by 3. Finally, take the cube root of this answer.^[5]
Advertisement
3

Square the radius by multiplying it by itself. You can either do this by manually multiplying (5² = 5 * 5 = 25) or by using your calculator’s «square» function (sometimes labeled as «x²«).^[6]
4
Multiply this result by 4. While you can multiply either 4 or pi first, it is generally easier to start with 4 since there are no decimals to multiply yet.^[7]
- If our radius is 5, like above, you would be left with 4 * 25 * π, or 100π.
5
Multiply the results by pi (π). If your problem says «exact value», write the symbol π after your number and call it done. Otherwise, use the approximation π=3.14 or your calculator’s π button.^[8]
- 100 * π = 100 * 3.14
- 100π = 314
6
Remember to add you units to the final answer. Is your sphere’s surface area 314 inches big, or 314 miles (505 km) big? The units need to be written as «units²,» because this denotes area, otherwise known as «square units».^[9]
- The full answer to the sphere in the pictures is: Surface Area = 314 units².
- The units you use are always the same ones used to measure the radius. If the radius is in meters, the answer will be in meters.
- Advanced Tip: We square the units because area measures how many flat squares we could fit on the surface of the sphere. Say we measure the practice problem in inches. This means on a sphere where r=5, we could fit 314 squares on the surface of the sphere if the sides of every square are 1 inch long.
7
Practice with an example. If the radius of a sphere is 7 centimeters, what is the surface area of that sphere?
- 4πr²
- r = 7
- 4 * π * 7²
- 49 * 4 * π
- 196π
- Answer: Surface Area = 615.75 centimeters², or 615.75 square centimeters.
8
Understand surface area. The surface area of a sphere is the area covering the outside of the sphere — think of it as the rubber covering a kickball or the surface of the earth. Because it is curved, it is much harder to measure the surface area of a sphere than a box, so we need an equation to determine the area.^[10]
- Rotating a circle around its axis (the center point) will produce a sphere. Think of spinning a coin on the table and how it appears to form a sphere. While it won’t be explained here, this is where our equation comes from.
- Advanced Tip: Spheres have a smaller surface area per volume than any other shape — that means it can hold more things in a smaller area than any other shape.

Add New Question

Question

How do I find the volume of a sphere?

Volume = (4/3) π r³.
Question

What is the circumference of a sphere?

Pi multiplied by the diameter.
Question

How do I find the area of half a sphere?

Divide total area by 2.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

If your radius includes a square root, like 3 √ 5, remember to square coefficient squares and the radical. (3 √ 5)² becomes 9×5 which gives 45.

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To find the surface area of a sphere, use the equation 4πr2, where r stands for the radius, which you will multiply by itself to square it. Then, multiply the squared radius by 4. For example, if the radius is 5, it would be 25 times 4, which equals 100. If the problem calls for an exact answer, then leave the answer as 100π. If the answer doesn’t need to be exact, multiply by 3.14 to get the surface area. Be sure to label your answer as the appropriate units squared. If you want to learn how to find the radius of a sphere, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 330,816 times.

Did this article help you?

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь шара (сферы) и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления площади шара/сферы
- 1. Через радиус
- 2. Через диаметр
Примеры задач

Формула вычисления площади шара/сферы

1. Через радиус

Площадь (S) поверхности шара/сферы равняется произведению четырех его радиусов в квадрате и число π.

S = 4 π R²

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

2. Через диаметр

Как известно, диаметр шара/сферы равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь поверхности фигуры можно, используя такой вид формулы:

S = 4 π (d/2)²

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см)² = 615,44 см².

Задание 2
Площадь поверхности сферы равна 200,96 см². Найдите ее диаметр.

Решение:
Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:

Источник

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
что такое шар и его элементы;
уравнение сферы;
формула для нахождения площади поверхности сферы;
взаимное расположение сферы и плоскости;
теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Определение

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Определение

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Определение

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Уравнение сферы

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Определение

Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Определение

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Определение

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС²=R², то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR² – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR².

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR². Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

Ответ: 36

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Решение:

Площадь сферы равна S_сф=4πR². То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r² =100, то есть r=10.

Ответ: 10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Решение:

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

p=0,5(AB+BC+AC)=21

S=84.

С другой стороны, S=p·r.

Отсюда r=4.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Используем соотношение:

h=3.

Ответ: 3.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Решение:

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

По условию задачи R=10.

Используем соотношение:

h=6.

Ответ: 6.

Источник

Загрузить PDF

Вывод формулы для вычисления площади поверхности сферы – непростая задача. Однако сама формула проста – S = 4πr².

Шаги

1
Определите радиус.
- Если дан диаметр, разделите его на 2, чтобы получить радиус.
- Если дан объем, разделите его на пи, полученное значение умножьте на 3, а затем полученное значение разделите на 4; из полученного значения извлеките кубический корень.
2

Возведите радиус в квадрат (то есть умножьте самого на себя).
3

Полученный результат умножьте на 4.
4

Полученный результат умножьте на пи (π). Вы можете записать в ответе знак «π», либо подставить вместо него число 3,14 и найти численное значение площади поверхности сферы.

Реклама

Пример

r = 5
5²=25
25×4=100
S = 100π или 314,2

Советы

Если значение радиуса включает квадратный корень, например 3√5, то при возведении такого значения в квадрат вы получите: (3√5)² = 9 × 5 = 45.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 5850 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Статья будет полезна школьникам и будущим абитуриентам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ.

Содержание

Формула объема шара через радиус: значение
Формула объема шара через диаметр: значение
Примеры вычисления объема шара, через радиус и диаметр шара: описание
Формула полной поверхности шара, сферы через радиус: значение
Формула полной поверхности шара, сферы через диаметр: значение
Примеры вычисления площади поверхности, сферы шара, через радиус и диаметр шара: описание
Как найти объем шара через площадь поверхности шара, сферы: пример решения задачи
Видео: ЕГЭ математика. Объем и площадь поверхности тел вращения.