Версия для печати и копирования в MS Word
Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Петя, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Пети, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 53,1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
Два друга Петя и Вася задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Петя и Вася сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 38 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 25 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно 100 см.
Спрятать решение
Решение.
Площадь поверхности зонта является суммой площадей восьми равнобедренных треугольников с основанием 38 см и высотой 53,1 см. Таким образом, 
см2, округлив значение до десятков, получим 8070 см2.
Ответ: 8070.
1
Длина зонта в сложенном виде равна 25 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6,2 см.
2
Вася предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что 
(рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
3
Вася нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле 
где R — радиус сферы, a h — высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Васи. Число 
округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
4
Рулон ткани имеет длину 35 м и ширину 80 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 29 зонтов, таких же, как зонт, который был у Пети и Васи. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1050 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1 — 5.
Решение: Обозначим за Х см длину спицы. Из условия известно, что треть длины спицы и ручка зонта составляют в сумме 25 см.
Составим уравнение: 1/3Х + 6,2 = 25,
1/3Х = 18,8,
Х = 18,8 * 3,
Х = 56,4 (см) — длина спицы зонта.
Ответ: 56,4.
Задание 2 (ОГЭ 2021 зонт)
Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Петя, сумму его поверхностей можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Пети, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 53,1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
Решение:
Площадь поверхности зонта состоит из 8 равных равнобедренных треугольников. Проведем высоту в треугольнике на рисунке 1. Найдем площадь одного треугольника.
S = 1/2ah = 1/2 * 38 * 53,1 = 1008,9 (кв. см).
Найдем площадь поверхности зонта.
S = 8 * 1008,9 = 8071,2 ≈ 8070 (см. кв.).
Ответ: 8070.
Задание 3 (ОГЭ 2021 зонт)
Вася предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что OC = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
OC = R.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Обозначим OA = x (радиус). Тогда OH = OC — HC = x — 25, AH = 50 см (половина AB из условия).
Применим теорему Пифагора.
OA2 = OH2 + AH2,
x2 = (x — 25)2 + 502,
x2 = x 2 — 50x + 625 + 2500,
50x = 3125,
x = 62,5 (см) — радиус сферы купола зонта.
Ответ: 62,5.
Задание 4 (ОГЭ 2021 зонт)
Вася нашел площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S = 2ПRh, где R — радиус сферы, а h — высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Васи. Число П округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Решение: S = 2ПRh = 2 * 3,14 * 62,5 * 25 = 9812,5 ≈ 9813 (кв. см).
Ответ: 9813.
Задание 5 (ОГЭ 2021 зонт)
Рулон ткани имеет длину 35 м и ширину 80 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 29 зонтов, таких же, как зонт, который был у Пети и Васи. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 1050 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Решение: 35 м = 3500 см.
Найдем площадь рулона ткани. S = 3500 * 80 = 280000 (кв. см).
Рассчитаем сколько ткани ушло на один зонт. 8 * 1050 = 8400 (кв. см).
8400 * 29 = 243600 (кв. см) — ткани нужно на пошив 29 зонтов.
280000 — 243600 = 36400 (кв. см) — обрезки.
Составим пропорцию для нахождения процентов ткани (x%), которая пошла на обрезки.
280000 — 100%
36400 — x%
Найдем неизвестный член пропорции.
х = (36400 * 100) / 280000 = 13%.
Ответ: 13.
Разбираем практико-ориентированные задания 1 — 5 ОГЭ (маркировка автомобильных шин) по математике 2021.
Две подруги Оля и Таня задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Оля и Таня сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 28 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 27 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – ровно 108 см.
Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)
Задание 1
Длина зонта в сложенном виде равна 27 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6,8 см.
Решение
Найдём треть длины спицы, отняв от длины всего зонта длину ручки:
27 см – 6,8 см = 20,2 см
Если это треть, то вся спица в 3 раза больше:
20,2·3 = 60,6 см
Ответ: 60,6.
Задание 2
«Поскольку зонт сшит из треугольников, – рассуждала Оля, – площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников». Вычислите площадь поверхности зонта методом Оли, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 59 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
Решение
По первому условию зонт состоит из 12 треугольников с основанием а = 28 см и высотой h = 59 см.
Площадь одного такого треугольника:
S_{Delta}=frac{1}{2}ah=frac{1}{2}cdot 28cdot 59=14cdot 59=826
Найдём площадь поверхности зонта, методом Оли, округлив до ДЕСЯТКОВ:
Sповерхности = 12·SΔ = 12·826 = 9912 ≈ 9910 см2
Ответ: 9910.
Задание 3
Таня предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС = R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Решение
Нам необходимо найти гипотенузу R в прямоугольном треугольнике АВО. АВ равно половине d:
AB = d/2 = 108/2 = 54
Т.к. по условию ОС = R, то:
ОВ = ОС – h = R – 27
По теореме Пифагора найдём ОА = R:
ОА2 = АВ2 + ОВ2
R2 = 542 + (R – 27)2
R2 = 2916 + R2 – 54R + 729
R2 – R2 + 54R = 3645
54R = 3645
R = 3645/54 = 67,5
Ответ: 67,5.
Задание 4
Таня нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S = 2πRh‚ где R – радиус сферы, а h – высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Тани. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
Решение
S = 2πRh
π ≈ 3,14
R = 67,5
h = 27
Найдём площадь и округлим до целого:
S = 2πRh = 2·3,14·67,5·27 = 54·3,14·67,5 = 11445,3 ≈ 11445 см2
Ответ: 11445.
Задание 5
Рулон ткани имеет длину 20 м и ширину 90 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 15 зонтов, таких же, как зонт, который был у Оли и Тани. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 850 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Решение:
Найдём площадь рулона ткани в см2:
S = 20м х 90см = 2000см х 90см = 180000 см2
Помня, что в одном зонте 12 треугольников найдём сколько ушло ткани на 15 зонтов:
S1 = 15·12·850 = 153000 см2
Найдём сколько см2 ткани рулона ушло в обрезки:
S2 = S – S1 = 180000 – 153000 = 27000 см2
Найдём сколько это процентов от начального рулона:
frac{27000}{180000}cdot 100%=frac{27}{180}cdot 100%=frac{3}{20}cdot 100%=frac{3 cdot 100}{20}%=frac{3 cdot 5}{1}%=15%
Ответ: 15.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 4.8 / 5. Количество оценок: 80
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
1. Длина зонта в сложенном состоянии равна 25 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6,2 см.
Представим условие задачи в виде формулы:
Обозначим длину спицы за х, подставим все величины в формулу и решим получившееся линейное уравнение:
Ответ: 56,4.
2. Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Петя, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Пети, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 53,1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты, проведенной к этому основанию.
Высота дана и равна 53,1. Основание, а оно же — расстояние между концами соседних спиц, тоже дано и равно 38.
Найдем площадь одного треугольника:
Не забываем, что зонт состоит из восьми таких треугольников, их общая площадь будет равна
1008,9 · 8 = 8071,2.
Осталось округлить это число до десятков. За десятки отвечает цифра 7; после нее стоит цифра 1, значит цифра 7 остается без изменений, а все числа после нее обращаются в 0. Таким образом, 8071,2 ≈ 8070.
Ответ: 8070.
3. Вася предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что ОС=R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Из условия задачи нам известны h = 25 и d = AC = 100.
Зонт — это симметричная вещица, поэтому АВ = ВС = 50.
Если ОС = R и h = 25, то ОВ = R — 25.
Рассмотрим треугольник АВО. Очевидно, что он прямоугольный. Через теорему Пифагора найдем R:
Ответ: 62,5.
4. Вася нашел площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле S=2πRh, где R – радиус сферы, а h – высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Васи. Число π округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
R = 62,5 — из предыдущей задачи;
h = 25 — высота сегмента и высота купола равны между собой.
S = 2 · 3,14 · 62,5 · 25 = 9812,5 ≈ 9813.
Ответ: 9813.
5. Рулон ткани имеет длину 35 м и ширину 80 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 29 зонтов, таких же, как зонт, который был у Пети и Васи. Каждый треугольник с учетом припуска на швы имеет площадь 1050 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошла в обрезки?
Один зонт состоит из восьми треугольников, тогда 29 зонтов будут состоять из 232 треугольников.
Если на один треугольник требуется 1050 см2 ткани, то на 232 треугольника нужно будет 1050 · 232 = 243 600 см2.
Площадь ткани в рулоне равна 3500 · 80 = 280 000 см2.
Площадь ткани, ушедшей в обрезки, равна 280 000 — 243 600 = 36 400 см2.
Пусть 280 000 см2 — 100%, а 36 400 — х%. Составим и решим пропорцию:
Ответ: 13.
А вы тоже находите проблему из ничего, как Вася и Петя?)
Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.
«Зонт»
Задачи с практическим содержанием
ПРИМЕРЫ
|
Два друга Максим и Влад задумались о том, как рассчитать площадь |
||
|
поверхности зонта. На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоми- нает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреть- ся, то видно, что купол зонта состоит из десяти отдельных клиньев, натянутых на каркас из десяти спиц (рис. 1). |
|
|
|
Рис. 1 |
||
|
Сферическая форма в раскрытом сос- тоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изго- товлен зонт. Максим и Влад сумели измерить расстоя- ние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 32 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 25 см, а расстояние d между концами спиц, обра- зующих дугу окружности, проходящей че- рез вершину зонта, – ровно 110 см. |
|
|
|
Рис. 2 |
|
1. Длина зонта в сложенном виде равна 25 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 5,8 см. |
Ручка зонта Рис. 3 |
25 5,8 = 25,0 5,8 19,2 (см)
19,23 57,6 (см) Ответ: 57,6 |
-
Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Максим, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вы- числите площадь поверхности зонта методом Максима, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, рав- на 57,2 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
|
|
Всего треугольников (клиньев) – 10 Площадь одного треугольника: S = 1 3257,2= 915,2 (см2) 1 2 Площадь всего зонта (10 треугольников): S10 = 915,210 = 9152 9150 (см2) Ответ: 9150 |
-
Влад предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что OC=R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
|
OC=R |
110:2=55 |
Найдем радиус по теореме Пифагора: R2 =(R 25)2 +552 R2 =R2 50R+625+3025 R2 R2 +50R = 3650 50R = 3650 R = 3650 :50 R = 73 (см) Ответ: 73 |
-
Влад нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сфери-
ческого сегмента по формуле
S=2Rh , где R – радиус сферы, а h – высота
сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Влада. Чис- ло округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
|
S= 2 Rh = 3,14 R = 73 см h = 25 см S= 23,147325 =11461(см2) Ответ: 11461 |
Важно! Если в ответе получится не целое число, его необходимо будет округлить до целого. Пример: S= 9746,56 9747 (см2) |
-
Рулон ткани имеет длину 20 м и ширину 140 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 26 зонтов, таких же, как зонт, который был у Максима и Влада. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 980 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
Общая площадь рулона ткани:
Sрулона =2000140=280 000 (см2)
Площадь ткани для одного зонта (10 треугольников):
S1 = 98010 = 9800 (см2)
Площадь ткани для 26 зонтов:
S26 = 980026 = 254 800 (см2)
Площадь ткани, ушедшей в обрезки:
Sобр =280 000254 800=25 200 (см2)
|
Ткань: 280 000 см2 100% Обрезки: 25 200 см2 x% |
|
|
280 000 100 25 200 x |
x 25 200100 252 = 9 (%) 280 000 28 |
Ответ: 9