Как найти площадь поворота

Содержание:

Тригонометрические функции произвольного угла

Угол поворота

До недавнего времени говоря об угле мы имели в виду угол, полученный между двумя неподвижными сторонами. Угол также можно рассматривать как измерение поворота. Например, радиус колеса, расположенного по горизонтали при вращении вокруг неподвижной оси, через определённое время относительно начального положения образует некоторый угол. К тому же значение угла зависит от направления поворота. Любой угол можно рассматривать как фигуру, полученную вращением луча вокруг начальной точки.

Начальное положение луча соответствует одной стороне угла, конечное положение — другой стороне. При вращении луча на координатной плоскости относительно начала координат в направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки, можно получить различные углы.

Начальная сторона угла поворота совпадает с положительным направлением оси абсцисс. Сторону, полученную при вращении относительно начала координат (вершины угла), назовём конечной стороной. Принято считать, что если поворот происходит в направлении против часовой стрелки, то угол имеет положительное значение, при повороте в направлении по часовой стрелке, угол имеет отрицательное значение,

положительный угол отрицательный угол

Координатные оси разбивают координатную плоскость на 4 четверти. Значение угла, в зависимости от того, в какой четверти расположена его конечная сторона, меняется в определенном интервале.

Конечная сторона угла может совершить один или несколько оборотов относительно начала координат. Один полный оборот соответствует углу 360°. Существует бесконечное число углов поворота, у которых начальная и конечная стороны совпадают. Например, конечные стороны углов 30°и 390° совпадают. В общем, для углов поворота и (здесь произвольное целое число) конечные стороны совпадают.

Радианная и градусная мера угла

Пример 1. Нарисуйте угол заданной величины. Определите какой четверти принадлежит конечная сторона угла.

Пример 2. На координатной плоскости покажите и запишите градусные меры двух положительных и одного отрицательного угла поворота, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 60°.

Радианное измерение углов

Угол в один радиан-это центральный угол, у которого длина дуги равна радиусу. Радианная мера угла есть отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности: . Величина угла, выраженная в радианах не зависит от длины радиуса (объясните, воспользуясь подобием фигур на рисунке).

Пример 1. Сколько радиан составляет центральный угол, длина дуги которого равна 12 см, если радиус окружности равен 4 см?

Решение: 1 радиан соответствует длине дуги 4 см. Дуге длиной 12 см будет соответствовать угол 12 : 4 = 3 радиан. Длина окружности . Если центральный угол, соответствующий дуге окружности радиуса равен 1 радиану, то дуге, равной; соответствует центральный угол . Ниже показаны радианные меры углов поворота.

Радианная мера одного целого оборота равна , градусная мера 360°. То есть, радиан = 360°. Отсюда можно установить следующую связь между радианной и градусной мерой. Преобразование радиан в градусы:

Преобразование градусов в радианы:

Таким образом, рад = 180°. Обозначение «рад’ часто опускают. Вместо рад = 180° обычно пишут = 180°. Отсюда получаем, что

Используя соответствующие радианные и градусные меры углов, расположенных в первой четверти, можно найти увеличенные в разы значения других углов. Например, если 30° = , тогда 150° =

Пример 2. Выразите углы, заданные в градусах радианами, а углы, заданные радианами в градусах, а) 60° ; б)

Решение.

а)60° = радиан — радиан 1,047 радиан

б) радиан

Пример 3. Выразите углы, конечная сторона которых совпадает с углом 45°, в градусах и радианах.

Решение: Конечная сторона угла 45°совпадает с углами 405° и 315°, а также существует бесконечно много углов, конечные стороны которых совпадают с конечной стороной угла 45°: ;

,

или,

.

В радианах это можно записать как

и т.д. Все углы, конечные стороны которых совпадают с углом в общем виде записываются так:

Пример, а)

Все углы поворота, конечные стороны которых совпадают с углом

можно найти но формуле .

Как видно, в заданном интервале, расположен всего один угол 425°. Пример. д) Все углы поворота, конечные стороны которых, совпадают с этим углом можно найти по формуле .

Интервалу принадлежат углы

Длина дуги

Запишем формулу нахождения длины дуги, соответствующей центральному углу окружности радиуса . Используя радианную меру длину окружности можно найти ещё проще. По определению радиана, если , тогда длина дуги равна произведению радиуса и радианной меры угла: Длина дуги окружности находится с радиусом в прямо пропорциональной зависимости.

Площадь сектора

Центральному углу соответствует сектор площадь которого равна . Учитывая что радиальная мера центрального угла равна и обозначив её через , запишем формулу нахождения площади сектора . Пример 1. Длина секундной стрелки часов равна 12 см. Определите длину дуги, которую описывает конец секундной стрелки за 15 секунд.

Решение. Секундная стрелка за 60 минут совершают один полный оборот. Это соответствует радианам. 15 секунд соответствуют части полного оборота: радиан. То есть, минутная стрелка за 15 секунд чертит дугу, соответствующую центральному углу . Длина этой дуги:

Пример 2. Найдите площадь и периметр закрашенного сектора на рисунке, если радиус круга равен 8 см. Закрашенной части круга соответствует центральный угол:

Площадь сектора равна:

(см²).

Периметр сектора равен сумме длин двух радиусов и длины дуги: (см)

Линейная скорость и угловая скорость

Скорость при движении по окружности, например, скорость движения произвольной точки Р колеса, которое вращается вокруг точки О, может быть вычислена двумя способами.

В первом случае, её можно найти используя расстояние и время. Эта скорость называется линейной скоростью. Во втором случае — используя угол поворота (центральный угол). Эта скорость называется угловой скоростью.

Если тело движется но окружности, то линейная скорость равна отношению пройденного пути (длины дуги окружности) к промежутку времени.

Если тело движется по окружности, то угловая скорость равна отношению угла поворота к промежутку времени.

Здесь (в радианах) — угол вращения за промежуток времени . Между линейной и угловой скоростью существует следующая связь:

линейная скорость = угловая скорость

Пример 3. Карусель совершает за минуту 8 полных оборотов.

а)Чему равна угловая скорость карусели за минуту(в радианах)?

б)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 3 м от центра окружности?

в)На сколько метров за минуту передвигается лошадь, которая находится на расстоянии 2 м от центра окружности?

Решение:

а) Один целый оборот при вращении соответствует центральному углу . За 8 оборотов этот угол равен . Угловая скорость за минуту равна радиан/мин.

б)Если лошадь находится на расстоянии 3 м от центра, то она движется по окружности радиуса 3 м.

Линейная скорость:м/мин

в)Если лошадь находится на расстоянии 2 м от центра, то она движется по окружности радиуса 2 м.

Линейная скорость:м/мин

Тригонометрические функции

Тригонометрические отношении для угла зависят только от значения угла.

Пусть конечная сторона угла а при повороте пересекается с окружностью радиусом г, центр которой находится в начале координат, в точке Р(х; у).

Отношение ординаты точки Р к длине радиуса называется синусом угла :

Отношение абсциссы точки Р к длине радиуса называется косинусом угла :

Отношение ординаты точки Р к абсциссе называется тангенсом угла :

(здесь , то есть точка Р не расположена на оси ординат)

Отношение абсциссы точки Р к ординате называется котангенсом угла : (здесь , то есть точка Р не расположена на оси абсцисс)

Косинусом угла называется обратное значение для синуса:

(здесь )

Секансом угла называется обратное значение для косинуса:

(здесь )

Пример 1. Точка А (- 3; 4) расположена на конечной стороне угла поворота .

а) Изобразите решение примера.

б) Определите значения тригонометрических отношений для угла поворота .

Решение:

а)

б)

Координаты точки на окружности

Если заданная точка Р окружности находится на конечной стороне угла поворота , то она имеет координаты .

Пример 2. По данным рисунка найдите координаты точки Р.

Точка Р находится во II четверти и косинус отрицательный.

Для некоторых углов, конечная сторона расположена на одной из координатной оси. В этом случае, градусная мера угла поворота равна: или радиан, или радиан, или радиан, или радиан.

В этом случае координаты х или у равны или нулю, или абсолютному значению длины радиуса.

Пример 3. Найдём значения тригонометрических отношений для:

а) а = 90° ; б) а = 180°; в) а = 270° .

При всех допустимых значениях, каждому значению , соответствует единственное значение . Поэтому тригонометрические отношения являются функциями угла и называются тригонометрическими функциями.

Так как , то знак косинуса совпадает со знаком х.

Так как , то знак синуса совпадает со знаком у.

Тригонометрические функции произвольного угла. Нахождение значений тригонометрических функций произвольного угла при помощи острого угла

Чтобы вычислить тригонометрические отношения для углов больше 90°, удобно использовать тригонометрические отношения острого угла.

Для любого угла поворота существует образованный конечной стороной и прямой, содержащий ось абсцисс.

Используя соответствующие острые углы можно определить тригонометрические отношения для любого произвольного угла. Эти значения можно вычислить точно для углов 30°, 45°, 60°, а для остальных острых углов — при помощи калькулятора.

Пример 1. Для следующих углов, определите острые углы:

а) б)

Решение:

а) конечная сторона угла 300° расположена в IV четверти. Соответствующий острый угол равен: 360°- 300° = 60°

б) конечная сторона угла расположена в III четверти. Соответствующий

острый угол равен:

Пример 2. Найдём значение основных тригонометрических функций для угла . Шаги решения:

1.Найдём наименьший положительный угол, конечная сторона которого совпадает с заданным углом и дополняет его до 360°: -135° + 360° = 225°

2.Для угла 225° найдём соответствующий острый угол 225° — 180° = 45°.

3.Определим какой четверти принадлежит угол -135° — угол III четверти.

4.Найдём значение тригонометрических функций для угла 45° и учтём знак этих функций в III четверти. Получим:

Тригонометрические функции для произвольного угла можно определить следующим образом:

•определяем соответствующий острый угол;

•находим значение тригонометрических функций для этого угла;

•определяем знак значения тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Так как конечные стороны углов и совпадают, то значения тригонометрических функций этих углов одинаковы. Если угол изменяется на целое число оборотов, то значение тригонометрических функций не меняется.

Заметим, что если угол меняется на пол оборота, то значения тангенса и котангенса не изменяются.

На самом деле, если углу поворота соответствует точка , а углу поворота (или ) соответствует точка , то :

В общем случае выполняются равенство:

Пример 3. Найдём допустимые значения , если . Так как в I и во II четвертях синус положителен.

, значит если , то

Абсцисса этой точки

Тогда или

Единичная окружность и тригонометрические функции

Значения тригонометрических функций зависят только от значения угла и не зависят от радиуса окружности. Поэтому, не нарушая общности, можно принять . Окружность, центр которой находится в начале координат, с радиусом равным единице, называется единичной окружностью. Координаты точки, принадлежащей окружности удовлетворяют уравнению .

Если точка является точкой пересечения единичной окружности и конечной стороны угла поворота , то между ней и тригонометрическими функциями существует следующая связь: Таким образом, координаты точки принадлежащей единичной окружности, можно записать как: .

Также по заданным координатам можно найти следующие тригонометрические функции: . Зная, что при определённом повороте на единичной окружности, можно найти соответствующие координаты точки.

Для этого надо выполнить следующие шаги:

1) На единичной окружности отметим точки, соотвегствующие углу поворота , найдём координаты этих точек по формуле: .

2)Для некоторой точки, принадлежащей единичной окружности, например ,определите координаты симметричной точки. Как видно но рисунку, существует 3 точки, симметричные точке А, которые расположены во II, III и IV четвертях.

Точка В симметрична точке А относительно оси у, точка С — относительно начала координат, а точка D — относительно оси х. Абсолютные значения координат этих точек равны и отличаются только знаком.

3)Таким образом, можно определить координаты новых точек, зная координаты точки, принадлежащей I четверти. Т.е. получаем единичную окружность, на которой отмечены углы поворота и координаты точек.

• Заказать решение задач по высшей математике

Единичная окружность и тригонометрические функции произвольного угла

Так как координаты точек на единичной окружности удовлетворяют условиям , то Наибольшее значение и равно 1, а наименьшее значение равно -1.

Пример 1. Для угла поворота вычислите значения основных тригонометрических функций.

Решение: Конечная сторона угла поворота расположена в III четверти. Этому углу соответствует острый угол . Точка пересечения конечной стороны угла с единичной окружностью симметрична точке относительно начала координат и соответствует точке .

Тогда ,

Пример 2. Точка А, с абсциссой расположена в III четверти и пересекается с единичной окружностью на стороне угла .

а)Найдём ординату точки А.

б)Изобразим рисунок, соответствующий условию и для угла найдём значения шести тригонометрических функций.

Решение:

а), . Так как точка расположена в III четверти .

б),,,,

,.

Пример 3. Найдём наибольшее и наименьшее значение выражения .

Решение:

Таким образом, для выражения a НМЗ равно 1, а НБЗ равно 5.

Формулы приведения

Если объект находится в I четверти, то симметричный ему относительно оси у объект находится во II четверти. Симметричный последнему относительно оси х, объект находится в III четверти, и он совпадает с объектом, симметричным начальному объекту из I относительно начала координат. Обратите внимание, что отображение относительно оси у и отображение, относительно оси х, совпадают с поворотом на 180°.

При отображении относительно оси х, точка расположенная на конечной стороне угла изменяет координаты, как показано на рисунке.

То есть, при этом знак меняет только координата у. Таким образом, так как косинус зависит от х он не меняется, зато меняется знак синуса. Отсюда, для углов можно записать следующие зависимости между тригонометрическими функциями.

То есть, синус, тангенс и котангенс нечётные функции, косинус-чётная.

Пример 1:

Конечные стороны углов поворота и 360° — симметричны относительно оси х. То есть .

Отсюда получаем:

Запишем для углов и 90° — прямоугольного треугольника с острым углом тригонометрические отношения:

При попарном сравнении равенств можно увидеть следующую связь-между значениями тригонометрических функций углов и 90° — .

Повернём конечную сторону угла поворота ещё на 90°. При этом точка Р(х; у), расположенная на стороне преобразуется в точку . По определению тригонометрических функций:

Запишем эти формулы в следующем виде:

Как видно но рисунку отображения относительно оси у и оси х эквивалентны повороту на 180°. Изменение координат, можно записать следующим образом:

Как видно по рисунку, при повороте угла а на 180° конечная сторона расположена в противоположных четвертях, но на одной прямой.

Пример 2.

Для получения аналогичных формул тригонометрических функций угла поворота достаточно записать и применить последовательность соответствующих формул.

Например:

Теперь запишем соответствующие формулы для угла поворота . Например:

При помощи полученных формул можно найти значения тригонометрических функций произвольного угла, зная значения для соответствующего острого угла. Эти формулы называются формулами приведения. Для формул приведений можно легко увидеть следующую закономерность

1)Если аргумент имеет вид или , то функция преобразуется в «сопряжённую» функцию (то есть синус в косинус или наоборот, а тангенс в котангенс или наоборот) угла .

2)Если аргумент имеет вид 180° ± или 360° ± , то функция преобразуется в одноимённую функцию угла .

В каждом из обоих случаев, знак полученной в результате преобразования функции имеет одинаковое значение со знаком острого угла в соответствующей четверти.

Тригонометрические тождества

Для острого угла прямоугольного треугольника покажите, что , выполнив следующие шаги:

1)Запишите теорему Пифагора:

2)Каждую из сторон равенства разделите на с²:

3)Примените свойство степени:

4) Примите во внимание, что:

Связь между тригонометрическими функциями одного и того же угла

Тождество можно доказать и при помощи координат точки, принадлежащей единичной окружности.

По координатам точки на единичной окружности и по определениям тригонометрических функций имеем:

Для всех значений , при которых

Для всех значений , при которых

Из данных равенств имеем,что если для угла одновременно выполняются условия и , то справедливо тождество

Разделив обе чаете равенства поочередно на и на будем иметь:

Полученные выше равенства являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами. На основании основных тригонометрических можно написать:

При помощи основных тригонометрических тождеств можно упрощать тригонометрические выражения и вычислять модуль значения всех остальных функций, зная значение одной из них.

Пример 1. Используя основные тригонометрические тождества, докажите,что:

Доказательство:

Пример 2. Зная, что и угол принадлежит III четверти, найдите

остальные тригонометрические функции.

Из формул получаем:

Так как угол принадлежит III четверти, то

Тогда:

Формулы сложения

Практическая работа .

1)Покажем по шагам, равенство выражения

a)Для значений и, вычислим значения выражения в левой части.

б)Для значений и, вычислим значения выражения в правой части.

2)Как можно вычислить значение тригонометрических функций для угла 15°, используя разность значений углов 45° и 30°(15° = 45° — 30°)?

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов. Сначала докажем тождество

На рисунке

а)для угла координаты точки Р₁, взятой на единичной окружности равны , а для угла координаты точки Р₂ равны . Разместим углы — , как показано на рисунке б).

Тогда, для угла координаты точки Р_з будут . Из того, что (по признаку СУС ) следует, что .

Доказательство тождества

учитывая, что

справедливость тождества доказана.

Доказательство тождества

no формулам приведения группируя

no формуле косинуса разности с учётом формул приведения.

Доказательство тождества :

Пример 1. Найдём значение выражения если

Решение.

Пример 2.

Найдём значение выражения если

.

Решение.

Известно что . Если углу соответствует острый угол , то . Так как противолежащий катет равен 3, а гипотенуза 5, тогда прилежащий катет равен и учитывая, что угол III четверти, получим:.

Аналогично, если зная, что , получаем,

что .

Можно записать формулы сложения для тангенса и котангенса:

no определению no формулам сложения

Аналогичным образом можно показать, что :

Следствия из формул сложения

Практическая работа.

Преобразуйте сумму в произведение, выполнив следующие шаги:

1)

решив систему уравнений найдите такие углы, чтобы их сумма была равна 70°, а разность

2)Запишите следующее 70° = 40° + 30°, 10° = 40° — 30° и упростите

Преобразование суммы(разности) в произведение

Формулы преобразования произведения

Справедливость данных тождеств можно показать при помощи формул сложения:

почленно складываем почленно складываем

Следующее тождество можно доказать аналогичным образом.

Тригонометрические функции двойного аргумента

Формулы сложения позволяют выразить через тригонометрические функции угла .

Таким образом, получаем тождества, которые называются формулами двойного аргумента:

Формулы половинного аргумента

Имеем, что

Отсюда: Заменяем в данной формуле на получаем:

Для половинных аргументов справедливы тождества. Знак в правой части в данном равенстве зависит от того, в какой четверги находится угол .

Пример 1. Упростим выражение .

Решение.

Пример 2. He используя калькулятор, вычислим значения и , зная, что угол принадлежит IV четверти и

Решение.

Пример 3. Найдём значений .

Решение:

Используем формулу половинного аргумента

угол I четверти и в этой четверти косинус положителен.

Упрощение тригонометрических выражений

Пример 1. Раскроем скобки и упростим выражение.

Пример 2. Разложим на множители и упростим выражение.

Пример 3. Упростим рациональное выражение, содержащее тригонометрические функции.

Пример 4. Освободим знаменатель от радикала

Здесь .

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Радиус — что это такое и как найти радиус окружности

Через длину стороны

Формула для нахождения длины окружности через радиус:

, где r — радиус окружности.

Найти радиус круга, зная окружность

Окружность круга P

Результат

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Вычисление радиуса

Радиус можно посчитать разными способами.

Если известен диаметр

Этот способ самый простой. Диаметр равен двум радиусам. Поэтому радиус будет высчитываться по формуле r=d/2.

Если известна длина окружности круга

Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.

Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:

Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.

Если известна площадь круга

Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:

В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.

Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.

Способ расчета радиуса круга:

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где P – длина окружности, pi – число π, равное примерно 3.14

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где S – площадь круга, pi – число π, равное примерно 3.14

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

• r — искомый радиус окружности.
• a — сторона описанного квадрата.

Как посчитать радиус зная длину окружности

Чему равен радиус (r) если длина окружности C?

Формула

r = C /_2π , где π ≈ 3.14

Свойства радиуса

В отношении радиуса действуют несколько важных правил:

1. Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
2. У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.

Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.

Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.

По площади сектора и центральному углу

• Например, если площадь сектора равна 50 см 2 , а центральный угол равен 120 градусов, формула запишется следующим образом: .

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах , получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах , получаем

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Связанные определения

• Центральный угол в окружности — это угол , образованный двумя радиусами.
• Радиус кривизны кривой — это радиус окружности, имеющей с этой кривой касание второго порядка.

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

В случае, когда величина α выражена в градусах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Уравнение окружности

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

Углы между двумя хордами

Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

• r — искомый радиус окружности.
• S — площадь треугольника.
• p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Основные свойства касательных к окружности

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Обобщения

Радиусом множества , лежащего в метрическом пространстве с метрикой , называется величина . Например, радиус n-размерного гиперкуба со стороной s равен

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

• R — искомый радиус окружности.
• d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
• a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Площадь круга, онлайн расчет

Как найти площадь круга по формуле через радиус либо диаметр круга.

Площадь круга, онлайн расчет

Вместо заключения

Чтобы еще больше понять, насколько важно понятие РАДИУС, вспомните инструмент, с помощью которого можно начертить окружность. Это циркуль и выглядит он вот так.

Пользоваться им просто. Ножка с острым концом ставится в центр будущей окружности. А ножка с грифелем прочерчивает линию. А расстояние, на котором они будут друг от друга, и есть РАДИУС.

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Рассматривается известный способ вычисления площади сферического полигона по сферическому избытку. Предлагается расширение этого подхода на поверхность эллипсоида. Приводится пример программной реализации на языке Питон.

[править] Общие положения

Определим полигон как простой многоугольник — участок поверхности, ограниченный замкнутой полилинией без самопересечений.

Полилиния в свою очередь — ломаная, образованная отрезками геодезических линий.

Геодезическая линия на плоскости — это прямая; геодезическая линия на сфере — дуга большой окружности.

[править] Полный поворот контура

В общем случае определение площади многоугольника на искривлённой поверхности — нетривиальная задача. Нужно интегрировать по поверхности с пределами, заданными неявно. К счастью, математика может предложить обходные пути решения задачи.

Представим себе точку, движущуюся вдоль контура полигона. Вершины являются точками поворота. Внутренний угол при вершине θ равен разности азимутов направлений α в предыдущую и следующую вершины, а поворот есть угол τ, смежный внутреннему:

На евклидовой плоскости, обойдя любой замкнутый контур без самопересечений, точка совершает поворот ровно на одну окружность — 360°, или 2π радиан. В случае многоугольника этот поворот складывается из суммы поворотов в вершинах.

На поверхности с ненулевой гауссовой кривизной общий поворот отличается от 2π на величину избытка или недостатка, пропорционального кривизне поверхности и площади фигуры.

[править] Площадь полигона на сфере

[править] Сферический избыток

В общем случае кривизна поверхности меняется в каждой точке, но не на сфере! Кривизна сферы постоянна, и площадь замкнутой фигуры однозначно соотносится с полным поворотом контура.

Отличие полного поворота от 2π радиан называется сферическим избытком или эксцессом ε, который пропорционален площади полигона S:

где R — радиус сферы.

[править] Алгоритм вычисления площади

Пусть n-угольник задан координатами вершин φ_i, λ_i, где φ_i — широта i-ой вершины, λ_i — долгота, i = 1, … , n.

1. Для каждой стороны из решения обратной геодезической задачи для её конечных вершин находим прямые и обратные азимуты α_{i, i+1} и α_{i+1, i}.
2. Для каждой вершины по азимутам α_{i, i−1} в предыдущую и α_{i, i+1} в последующую вершины находим поворот τ_i и добавляем его к полному повороту τ.
3. Вычисляем сферический избыток ε.
4. Вычисляем площадь полигона S.

[править] Радиус сферы

В геодезической и картографической практике в качестве модели Земли принимают эллипсоид вращения, характеризуемый величинами экваториального радиуса a и сжатия f. Соответствующая сфера должна иметь такую же площадь, как и принимаемый за основу эллипсоид. Такая сфера называется эквивалентной (authalic sphaera по латыни).

Ниже мы приведём формулы вычисления радиуса эквивалентной сферы по параметрам эллипсоида. Пока же поближе посмотрим на пару-тройку популярных программных пакетов.

MapInfo вычисляет площади на сфере по умолчанию. Несложные эксперименты («реверс-инжиниринг») показывает, что радиус сферы не зависит от того, на каком эллипсоиде построена координатная система обрабатываемых данных, — он всегда равен 6370997 метров ровно. Анализ используемых земных эллипсоидов показывает, что это соответствует радиусу эквивалентной сферы эллипсоида Кларка 1866 года, определяемого величинами экаториального радиуса a = 6378206.4 м и полярного радиуса b = 6356583.8 м; точное значение радиуса R_auth = 6370997.2406 м, округлённое до метра — 6370997 м.

Выбор именно этого радиуса не случаен: эллипсоид Кларка 1866 пока ещё широко используется в странах Северной Америки в картографических и кадастровых целях.

В большинстве своём программы GIS не вычисляют площадей на сфере. Тем не менее, в картографических целях ArcGIS включает два эллипсоида с характерными названиями: “Authalic sphere (ARCINFO)” (код “SPHEROID[«Sphere_ARC_INFO»,6370997,0]”) и более новый “Authalic sphere” (код “SPHEROID[«Sphere»,6371000,0]”).

В пакете PROJ.4 также имеется эллипсоид “sphere”: параметры “a=6370997.0”, “b=6370997.0”, описание “Normal Sphere (r=6370997)”.

[править] Площадь малого полигона

Если полигон настолько мал, что сферический избыток сравним с погрешностью его вычисления, можно перейти к вычислениям площади на плоскости.

Для промежуточной по размерам зоны имеется следующий вариант решения проблемы. Полигон разбивается на сферические треугольники, как показано на рисунке пунктирными линиями. Решаются обратные задачи для каждой линии, из чего находятся длины сторон a, b, c и внутренние углы A, B, C каждого треугольника. После этого эксцессы ε_j треугольников вычисляются, например, по первой формуле Каньоли:

В итоге находится суммарный эксцесс ε = ∑ε_j и вычисляется площадь S.

В учебниках сферической тригонометрии можно найти и другие формулы вычисления сферического избытка в треугольнике.

[править] Площадь полигона на эллипсоиде

[править] Параметры эллипсоида

Обычно эллипсоид задаётся такими параметрами, как экваториальный радиус a и сжатие f. Часто в качестве второго параметра приводят полярный радиус b. Эти величины связаны простыми соотношениями:

Из основных параметров выводятся другие: полярный радиус кривизны c, эксцентриситет e, второй эксентриситет e′:

[править] Классический способ

Можно получать площади интегрированием по поверхности. Это сложно, поскольку пределы интегрирования в полигоне заданы неявно, но вполне реализуемо численными методами.

Однако можно воспользоваться тем фактом, что средний по азимутам радиус кривизны поверхности эллипсоида является медленно меняющейся функцией широты:

В классическом способе для данной территории поверхность эллипсоида представляется сферой с радиусом, равным радиусу кривизны R на средней широте этой территории. Если территория имеет значительное простирание по широте, придётся её разбивать на более мелкие фигуры. Таким образом, мы вновь обращаемся к технике работы с малыми полигонами, описанной чуть выше.

Классический способ издавна использовался при обработке измерений в геодезических сетях. Геодезистам не приходилось искуственно разбивать полигоны на треугольники, они уже были разбиты: в вершинах находились геодезические пункты, углы и/или длины сторон в каждом треугольнике измерялись. Отличалась только цель вычисления сферического избытка: он определялся не для установления площади, а для нахождения теоретической суммы углов в треугольниках.

Характерные размеры треугольников определялись дальностью видимости между сигналами — вышками, установленными над центрами, — и составляли первые десятки километров, т.е. десятые доли процента от радиуса Земли.

При обработке вычислялся общий радиус кривизны по средней широте территории работ. Этого было достаточно для нахождения сферического избытка. Однако для нахождения площадей точнее будет вычислять радиус кривизны индивидуально для каждого треугольника по широте его центра.

Для огромной территории, заданной контуром без готового разбиения на достаточно мелкие фигуры, применение классического метода затруднительно.

[править] Эквивалентное отображение

Речь идёт об отображении поверхности эллипсоида на сферу. В математической картографии это распространённый подход, поскольку математика на сфере намного проще, чем на эллипсоиде. В данном случае необходимо совершить отображение, при котором сохраняются площади объектов — эквивалентное отображение. Площадь эквивалентной сферы равна площади поверхности эллипсоида. Приведём пару представлений радиуса этой сферы R_auth:

При эквивалентном отображении долгота на эллипсоиде λ равна долготе на эквивалентной сфере, а геодезической широте на эллипсоиде φ соответствует так называемая эквивалентная широта на сфере β:

Ряд такого вида называется тригонометрическим.

[править] Алгоритм вычисления площади

Пусть n-угольник задан координатами вершин φ_i, λ_i, где φ_i — широта i-ой вершины, λ_i — долгота, i = 1, … , n.

Алгоритм вычисления площади на эллипсоиде с использованием эквивалентного отображения совпадает с алгоритмом для сферы, только в начале вставим переход от геодезических широт к эквивалентным.

1. Для каждой вершины по геодезической широте φ_i вычисляем эквивалентную широту β_i.
2. Для каждой стороны из решения обратной геодезической задачи для её конечных вершин находим прямые и обратные азимуты α_{i, i+1} и α_{i+1, i}.
3. Для каждой вершины по азимутам α_{i, i−1} в предыдущую и α_{i, i+1} в последующую вершины находим поворот τ_i и добавляем его к полному повороту τ.
4. Вычисляем сферический избыток ε.
5. Вычисляем площадь полигона S.

[править] Замечания

Важно помнить, что геодезическая линия на эллипсоиде не отображается в дугу большой окружности на сфере. Правда, отличие становится заметным лишь при длинах сторон, сравнимых с размерами Земли. Так, при самом неудачном положении линии длиной 4 тысячи километров «провисание» в середине приближается к пяти километрам. Для линий, вытянутых вдоль меридианов, «провисание» отсутствует.

В каждую длинную сторону, не являющуюся отрезком меридиана, следует вставлять дополнительные вершины. Для этого надо решать одну обратную и много прямых геодезических задач, только не на сфере, а на эллипсоиде, используя алгоритмы сфероидической геодезии. Только после этого можно пересчитывать геодезические широты промежуточных узлов в широты эквивалентные. Чем короче полученные отрезки, тем меньше расхождение между дугой большой окружности на эквивалентной сфере и отображением геодезической линии. Можно сделать процедуру вставки итеративной, т.е. добавлять точки до сходимости площади в пределах заданной точности.

К счастью, береговые линии и границы государств обычно образованы сравнительно короткими отрезками полилиний. А длинные границы полярных владений вытянуты вдоль меридианов, которые являются геодезическими линиями.

Отрезки параллелей, напротив, геодезическими линиями не являются. Вдоль геодезической линии поворот по определению равен нулю. Параллель же является кривой линией на поверхности. Замечательно, что кривизна её постоянна, что даёт простую зависимость поворота вдоль отрезка параллели от широты и разности долгот:

Вместе с тем фактом, что азимуты начальных и конечных направлений параллелей всегда равны 90° либо 270°, это позволяет легко вычислять повороты контуров, составленных частично отрезками геодезических, а частично отрезками параллелей. В частности, если территория является сфероидической трапецией, ограниченной отрезками двух меридианов и двух параллелей, получаем следующую формулу вычисления площади:

где λ₁ и λ₂ — долготы западной и восточной границ, β₁ и β₂ — эквивалентные широты южной и северной границ.

[править] Программная реализация

Создадим скрипт на языке Питон, предназначенный для вычисления площади полигона на эллипсоиде. Используем эквивалентное отображение эллипсоида на сферу, на которой и будет вычисляться площадь.

Эллипсоид зададим большой полуосью a и сжатием f. Скрипт должен работать и для сферы; в этом случае в качестве a задаётся радиус сферы, а f приравнивается нулю.

Данные должны будут читаться из файла.

[править] Вспомогательные функции

Создадим несколько функций. Во-первых, нам понадобится реализация степенного ряда:

# степенной ряд
def powSeries(x, p1, p2, p3):
    return (p1 + (p2 + p3 * x) * x) * x

Она облегчит нам вычисление радиуса эквивалентной сферы и коэффициентов тригонометрического ряда:

# инициализация эквивалентной сферы
def init(a, f):
    b = a * (1. - f)
    e2 = f * (2. - f)
    R_auth = b * math.sqrt(1. + powSeries(e2, 2./3., 3./5., 4./7.))
    to_auth_2 = powSeries(e2, -1./3., -31./180., -59./560.)
    to_auth_4 = powSeries(e2, 0., 17./360., 61./1260.)
    to_auth_6 = powSeries(e2, 0., 0., -383./45360.)
    return (R_auth, to_auth_2, to_auth_4, to_auth_6)

Наконец, подготовим реализацию тригонометрического ряда:

# тригонометрический ряд
def trigSeries(x, t2, t4, t6):
    return x + t2 * math.sin(2. * x) + t4 * math.sin(4. * x) + t6 * math.sin(6. * x)

Эти функции можно найти в архиве Auth.zip в файле auth.py. Также в архиве находится файл sph.py, необходимый для решения обратной геодезической задачи на сфере.

[править] Программа

Напишем программу вычисления площади полигона.

В примере задаются параметры эллипсоида WGS 84, по которым вычисляются радиус эквивалентной сферы и коэффициенты тригонометрического ряда для пересчёта геодезической широты в эквивалентную.

Далее программа читает из файла данных вершины полигона, представленные парами геодезических координат λ, φ, и по приведённому выше алгоритму вычисляет площадь.

# -*- coding: utf-8 -*-
# вычисление площади сфероидического полигона
from sys import argv
import math
import sph
import auth
 
script, fname = argv
 
a, f = 6378.137, 1./298.257223563 # большая полуось и сжатие
 
# инициализировать эквивалентную сферу
r_auth, to_auth_2, to_auth_4, to_auth_6 = auth.init(a, f)
 
fp = open(fname, 'r')
tau = 0.
i = 1
for line in fp:
    # прочитать долготу и широту
    lon, lat = map(float, line.split(" "))
    lon = math.radians(lon)
    lat = math.radians(lat)
 
    # вычислить эквивалентную широту
    lat = auth.trigSeries(lat, to_auth_2, to_auth_4, to_auth_6)
    if i > 1:
        # вычислить прямой азимут Qi - Qi+1
        dist, azi1 = sph.inverse(lat1, lon1, lat, lon)
        if i == 2:
            # запомнить азимут Q1 - Q2
            azi0 = azi1
        else:
            # вычислить поворот в i-й вершине
            tau_i = 0.5 - (azi2 - azi1) / 2. / math.pi
            # нормализовать величину поворота
            tau_i = tau_i - math.floor(tau_i + 0.5)
            # добавить поворот к сумме поворотов
            tau = tau + tau_i
        # вычислить обратный азимут Qi+1 - Qi
        dist, azi2 = sph.inverse(lat, lon, lat1, lon1)
    lon1, lat1 = lon, lat
    i = i + 1
fp.close()
 
# вычислить поворот в 1-й вершине
tau_i = 0.5 - (azi2 - azi0) / 2. / math.pi
# нормализовать величину поворота
tau_i = tau_i - math.floor(tau_i + 0.5)
# добавить поворот к сумме поворотов
tau = tau + tau_i
 
# вычислить площадь
area = 2. * math.pi * (1. - math.fabs(tau)) * r_auth ** 2
print "%g" % area

Код программы находится в архиве Auth.zip в файле area.py.

Чтобы скрипт был предельно прост, не выполняются некоторые необходимые проверки. Поэтому к данным предъявляются такие требования:

• последняя точка должна совпадать с первой;
• точки не должны дублироваться.

По координатам, использованным при построении рисунка, подготовим файл данных polygon.dat:

18 -10.812317
-18 10.812317
18 26.565051
-18 52.622632
54 52.622632
54 10.812317
18 -10.812317

Выполним скрипт в консоли:

$ python area.py polygon.dat

Вывод программы:

3.39532e+07

Поскольку большая полуось задавалась в километрах, результат получен в квадратных километрах.

Посмотрев на рисунок, легко заметить, что длины сторон нашего полигона сравнимы с радиусом сферы, и упомянутый выше эффект «провисания» линий может повлиять на точность вычисления площади.

[править] Ссылки

• Задачи на сфере: обратная геодезическая задача
• Earth radius
• Краткий справочник по сферической тригонометрии
• Latitude Developments Connected with Geodesy and Cartography with Tables including a Table for Lambert equal-area Meridional Projection
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия