Как найти площадь правильного двенадцатиугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Площадь правильного двенадцатиугольника⁠

Какие правильные многоугольники, вписанные в единичную окружность, имеют рациональную площадь?
Оказывается, таких всего два — квадрат и правильный двенадцатиугольник.

Одно из красивых доказательств того, что площадь двенадцатиугольника равна трём квадратам радиуса
описанной окружности, принадлежит венгерскому математику Йожефу Кюршаку.

Четвертинка двенадцатиугольника разбивается на правильные треугольники и равнобедренные
с углами $15^circ$, $15^circ$ и $150^circ$. После перекладки получается фигура,
равная трём четвертям квадрата со стороной, равной диаметру описанной около двенадцатиугольника
окружности.

Если же известна длина стороны двенадцатиугольника, то вычислить его площадь позволяет разбиение
на 6 квадратов, 6 равносторонних треугольников между ними и центральный шестиугольник.

Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в единичную окружность, равна $frac{n}{2} cdot sinfrac{360^circ }{n}$.
Синус принимает рациональное значение только при $n=4$ (квадрат, $90^circ$)
и $n=12$ (двенадцатиугольник, $30^circ$).

Другие модели раздела «Площади фигур и равносоставленность»

Источник

Площадь правильного двенадцатиугольника — это число, характеризующее правильный двенадцатиугольник в единицах измерения площади.

Правильный двенадцатиугольник (додекагон) — это двенадцатиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n = 12;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α = π/12;

P₁₂ — периметр правильного двенадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₁₂ — площадь правильного двенадцатиугольника.

Формулы[править]

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=12:

${displaystyle S_{12}=3a^{2}ctg{frac {pi }{12}}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{12}=12S_{triangle }, S_{triangle }={frac {a^{2}}{4}}ctg{frac {pi }{12}}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{12}={frac {1}{2}}P_{12}r, P_{12}=12a, r={frac {a}{2}}ctg{frac {pi }{12}}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{12}=12R^{2}sin {frac {pi }{12}}cos {frac {pi }{12}}, R={frac {a}{2sin {frac {pi }{12}}}}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{12}=12r^{2}tg{frac {pi }{12}}, r=Rcos {frac {pi }{12}}}$

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/12:

${displaystyle S_{12}=3left(2+{sqrt {3}}right)a^{2}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{12}=12S_{triangle }, S_{triangle }={frac {2+{sqrt {3}}}{4}}a^{2}Leftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{12}={frac {1}{2}}P_{12}r, P_{12}=12a, r={frac {2+{sqrt {3}}}{2}}aLeftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{12}=3R^{2}, R={sqrt {2+{sqrt {3}}}}aLeftrightarrow }$

${displaystyle Leftrightarrow S_{12}=12left(2-{sqrt {3}}right)r^{2}, r={frac {sqrt {2+{sqrt {3}}}}{2}}R}$

где ${displaystyle sin {frac {pi }{12}}={frac {sqrt {2-{sqrt {3}}}}{2}}}$ , ${displaystyle cos {frac {pi }{12}}={frac {sqrt {2+{sqrt {3}}}}{2}}}$ , ${displaystyle tg{frac {pi }{12}}=2-{sqrt {3}}}$ , ${displaystyle ctg{frac {pi }{12}}=2+{sqrt {3}}.}$

Другие многоугольники[править]

Площадь равностороннего треугольника;
Площадь квадрата;
Площадь правильного пятиугольника;
Площадь правильного шестиугольника;
Площадь правильного восьмиугольника;
Площадь правильного десятиугольника;
Площадь правильного двенадцатиугольника;
Площадь правильного шестнадцатиугольника;
Площадь правильного двадцатиугольника;
Площадь правильного n-угольника.

Источник

A polygon is any closed two-dimensional figure with 3 or more straight (not curved) sides, and a 12-sided polygon is known as a dodecagon. A regular dodecagon is one with equal sides and angles, and it’s possible to derive a formula for calculating its area. An irregular dodecagon has sides of different lengths and different angles. A six-pointed star is an example. There’s no easy way to calculate the area of an irregular 12-sided figure unless you happen to have it plotted on a graph and can read the coordinates of each of the vertices. If not, the best strategy is to divide the figure into regular shapes for which you can calculate the area.

Calculating the Area of a Regular 12-Sided Polygon

To calculate the area of a regular dodecagon, you have to find its center, and the best way to do that is to scribe a circle around it that just touches each of its vertices. The center of the circle is the center of the dodecagon, and the distance from the center of the figure to each of its vertices is simply the radius of the circle (r). Each of the 12 sides of the figure is the same length, so denote this by s.

You need one more measurement, and that’s the length of a perpendicular line drawn from the midpoint of each side to the center of the 12-sided shape. This line is known as the apothem. Denote its length by m. It divides each section formed by the radius lines into two right-angled triangles. You don’t know m, but you can find it using the Pythagorean theorem.

The 12 radius lines divide the circle you scribed around the dodecagon into 12 equal sections, so at the center of the figure, the angle each line makes with the one next to it is 30 degrees. Each of the 12 sections formed by the radius lines is made up of a pair of right-angled triangles with hypotenuse r and one angle of 15 degrees. The side adjacent to the angle is m, so you can find it using r and the sine of the angle.

sin(15) = frac{m}{r} , text{ and solve for }m \ m = r × sin(15)

You can now find the area of each of the isosceles triangles inscribed in the dodecagon, because you know the length of the base – which is s – and the height, m. The area of each triangle is

begin{aligned} text{area} &= frac{1}{2} × text{ base} × text{ height} \ &= frac{1}{2} × s × m \ &= 1/2 × (s × r × sin(15)) end{aligned}

There are 12 such sections, so multiply by 12 to find the total area of the regular 12-sided shape:

text{ Area of regular dodecagon} = 6 × (s × r × sin(15))

Finding the Area of an Irregular Dodecagon

There is no formula for finding the area of an irregular dodecagon, since the lengths of the sides and the angles aren’t the same. It’s even difficult to pinpoint the center. The best strategy is to divide the figure into regular shapes, calculate the area of each one, and add them.

If the shape is plotted on a graph, and you know the coordinates of the vertices, there is a formula you can use to calculate area. If each point (n) is defined by (x_n, y_n), and you go around the figure in order, either clockwise or counterclockwise, to get a series of 12 points, the area is:

text{Area} = frac{| (x_1y_2 — y_1x_2) + (x_2y_3 — y_2x_3)+ … + (x_{11}y_{12} — y_{11}x_{12}) +(x_{12}y_1 — y_{12}x_1)|}{2}

Источник

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

Все категории
экономические
43,662
гуманитарные
33,654
юридические
17,917
школьный раздел
611,978
разное
16,905

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Источник

Для того, чтобы найти площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность, радиус которой составляет 8 сантиметров, следует вспомнить формулу.

По этой формуле имеем.

S = (R²n * sin (360° : n)) : 2, где S — это площадь соответствующего многоугольника, R — радиус описанной окружности, а n — количество углов данного многоугольника.

Теперь подставим в вышезаписанную формулу указанные в задании данные и вычислим площадь двенадцатиугольника.

S = (8² * 12 * sin (360° : 12)) : 2.

S = (64 * 12 * sin30°) : 2.

Вспомним, что sin30° равен 0,5.

S = 32 * 12 * 0,5.

S = 384 * 0,5.

S = 192 (см²).

твет: S = 192 см².

Источник