Как найти площадь правильного шестиугольника зная сторону

На этой странице вы найдете калькуляторы и формулы, которые помогут найти и рассчитать площадь правильного шестиугольника по стороне или радиусам вписанной и описанной окружностей.

Шестиугольник представляет собой многоугольник, к которого все внутренние углы равны 120 градусов, а все стороны равны между собой.

Содержание:
  1. калькулятор площади правильного шестиугольника
  2. формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
  3. формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
  4. формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
  5. формула площади правильного шестиугольника через периметр
  6. примеры задач

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

Площадь правильного шестиугольника через длину стороны

S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2}

a — длина стороны шестиугольника

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

S = 2 sqrt{3}r^2

r — радиус вписанной окружности

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

S = dfrac{3 sqrt{3} R^2}{2}

R — радиус описанной окружности

Формула площади правильного шестиугольника через периметр

Площадь правильного шестиугольника через периметр

S = dfrac{P^2 sqrt{3}}{24}

P — периметр шестиугольника

Примеры задач на нахождение площади правильного шестиугольника

Задача 1

Найдите площадь правильного шестиугольника, радиус вписанной окружности которого равен 9 см.

Решение

Исходя из того, что из условия задачи нам известен радиус вписанной окружности, мы воспользуемся формулой.

S = 2 sqrt{3}r^2 = 2 sqrt{3} cdot 9^2 = 2 sqrt{3} cdot 81 = 162 sqrt{3} : см^2 approx 280.59223 : см^2

Ответ: 162 sqrt{3} : см^2 approx 280.59223 : см^2

Проверить правильность решения нам поможет калькулятор .

Задача 2

Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной равной 1 см.

Решение

Для этой задачи нам подойдет формула.

S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1}{2} = dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 approx 2.59808 : см^2

Ответ: dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 approx 2.59808 : см^2

Проверим ответ .

Как рассчитать площадь правильного шестиугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь правильного шестиугольника онлайн. Для расчета задайте длину стороны или радиус окружности.

Шестиугольник — многоугольник у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Через сторону


Площадь правильного шестиугольника

a:

Результат


Ответы:

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через сторону:

a — сторона шестиугольника.


Через радиус описанной окружности


Площадь правильного шестиугольника

r:

Результат


Ответы:

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

r — радиус описанной окружности.


Через радиус вписанной окружности


Площадь правильного шестиугольника

r:

Результат


Ответы:

Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

r — радиус вписанной окружности.

Калькулятор


Download Article


Download Article

A hexagon is a polygon that has six sides and angles. Regular hexagons have six equal sides and angles and are composed of six equilateral triangles. There are a variety of ways to calculate the area of a hexagon, whether you’re working with an irregular hexagon or a regular hexagon. If you want to know how to calculate the area of a hexagon, just follow these steps.

  1. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 1

    1

    Write down the formula for finding the area of a hexagon if you know the side length. Since a regular hexagon is comprised of six equilateral triangles, the formula for finding the area of a hexagon is derived from the formula of finding the area of an equilateral triangle. The formula for finding the area of a hexagon is Area = (3√3 s2)/ 2 where s is the length of a side of the regular hexagon.[1]

  2. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 2

    2

    Identify the length of one one side. If you already know the length of a side, then you can simply write it down; in this case, the length of a side is 9 cm. If you don’t know the length of a side but know the length of the perimeter or apothem (the height of one of the equilateral triangles formed by the hexagon, which is perpendicular to the side), you can still find the length of the side of the hexagon. Here’s how you do it:

    • If you know the perimeter, then just divide it by 6 to get the length of one side. For example, if the length of the perimeter is 54 cm, then divide it by 6 to get 9 cm, the length of the side.[2]
    • If you only know the apothem, you can find the length of a side by plugging the apothem into the formula a = x√3 and then multiplying the answer by two. This is because the apothem represents the x√3 side of the 30-60-90 triangle that it creates. If the apothem is 10√3, for example, then x is 10 and the length of a side is 10 * 2, or 20.

    Advertisement

  3. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 3

    3

    Plug the value of the side length into the formula. Since you know that the length of one side of the triangle is 9, just plug 9 into the original formula. It will look like this: Area = (3√3 x 92)/2

  4. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 4

    4

    Simplify your answer. Find the value of equation and write the numerical answer. Since you’re working with area, you should state your answer in square units. Here’s how you do it:[3]

    • (3√3 x 92)/2 =
    • (3√3 x 81)/2 =
    • (243√3)/2 =
    • 420.8/2 =
    • 210.4 cm2
  5. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 5

    1

    Write down the formula for finding the area of a hexagon with a given apothem. The formula is simply Area = 1/2 x perimeter x apothem.[4]

  2. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 6

    2

    Write down the apothem. Let’s say the apothem is 5√3 cm.

  3. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 7

    3

    Use the apothem to find the perimeter. Since the apothem is perpendicular to the side of the hexagon, it creates one side of a 30-60-90 triangle. The sides of a 30-60-90 triangle are in the proportion of x-x√3-2x, where the length of the short leg, which is across from the 30 degree angle, is represented by x, the length of the long leg, which is across from the 60 degree angle, is represented by x√3, and the hypotenuse is represented by 2x.[5]

    • The apothem is the side that is represented by x√3. Therefore, plug the length of the apothem into the formula a = x√3 and solve. If the apothem’s length is 5√3, for example, plug it into the formula and get 5√3 cm = x√3, or x = 5 cm.
    • By solving for x, you have found the length of the short leg of the triangle, 5. Since it represents half the length of one side of the hexagon, multiply it by 2 to get the full length of the side. 5 cm x 2 = 10 cm.
    • Now that you know that the length of one side is 10, just multiply it by 6 to find the perimeter of the hexagon. 10 cm x 6 = 60 cm
  4. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 8

    4

    Plug all of the known quantities into the formula. The hardest part was finding the perimeter. Now, all you have to do is plug the apothem and perimeter into the formula and solve:

    • Area = 1/2 x perimeter x apothem
    • Area = 1/2 x 60 cm x 5√3 cm
  5. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 9

    5

    Simplify your answer. Simplify the expression until you’ve removed the radicals from the equation. State your final answer in square units.[6]

    • 1/2 x 60 cm x 5√3 cm =
    • 30 x 5√3 cm =
    • 150√3 cm =
    • 259. 8 cm2
  6. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 10

    1

    List the x and y coordinates of all the vertices. If you know the vertices of the hexagon, the first thing you should do is create a chart with two columns and seven rows. Each row will be labeled by the names of the six points (Point A, Point B, Point C, etc), and each column will be labeled as the x or y coordinates of those points. List the x and y coordinates of Point A to the right of Point A, the x and y coordinates of Point B to the right of Point B, and so on. Repeat the coordinates of the first point at the bottom of the list. Let’s say you’re working with the following points, in (x, y) format:[7]

    • A: (4, 10)
    • B: (9, 7)
    • C: (11, 2)
    • D: (2, 2)
    • E: (1, 5)
    • F: (4, 7)
    • A (again): (4, 10)
  2. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 11

    2

    Multiply the x coordinate of each point by the y coordinate of the next point. You can think of this as drawing a diagonal line to the right and downward one row from each x coordinate. List the results to the right of the chart. Then, add the results.[8]

    • 4 x 7 = 28
    • 9 x 2 = 18
    • 11 x 2 = 22
    • 2 x 5 = 10
    • 1 x 7 = 7
    • 4 x 10 = 40
      • 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125
  3. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 12

    3

    Multiply the y coordinates of each point by the x coordinates of the next point. Think of this as drawing a diagonal line from each y coordinate downward and to the left, to the x coordinate below it. Once you multiply all of these coordinates, add the results.[9]

    • 10 x 9 = 90
    • 7 x 11 = 77
    • 2 x 2 = 4
    • 2 x 1 = 2
    • 5 x 4 = 20
    • 7 x 4 = 28
    • 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221
  4. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 13

    4

    Subtract the sum of the second group of coordinates from the sum of the first group of coordinates.[10]
    Just subtract 221 from 125. 125 — 221 = -96. Now, take the absolute value of this answer: 96. Area can only be positive.

  5. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 14

    5

    Divide this difference by two.[11]
    Just divide 96 by 2 and you’ll have the area of the irregular hexagon. 96/2 = 48. Don’t forget to write your answer in square units. The final answer is 48 square units.

  6. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 15

    1

    Find the area of a regular hexagon with a missing triangle. If you know you’re working with a regular hexagon that is missing one or more of its triangles, then the first thing you need to do is find the area of the entire regular hexagon as if it were whole. Then, simply find the area of the empty or «missing» triangle, and that subtract that from the overall area. This will give you the area of the remaining irregular hexagon.[12]

    • For example, if you’ve found that the area of the regular hexagon is 60 cm2 and you’ve found that the area of the missing triangle is 10 cm2 simply subtract the area of the missing triangle from the entire area: 60 cm2 — 10 cm2 = 50 cm2.
    • If you know that the hexagon is missing exactly one triangle, you can also just find the area of the hexagon by multiplying the total area by 5/6, since the hexagon is retaining the area of 5 of its 6 triangles. If it’s missing two triangles, you can multiply the total area by 4/6 (2/3), and so on.
  2. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 16

    2

    Break up an irregular hexagon into other triangles. You may find that the irregular hexagon is actually composed of four triangles that are irregularly shaped. To find the area of the whole irregular hexagon, you need to find the area of each individual triangle and then add them up. There are a variety of ways to find the area of a triangle depending on the information that you have.[13]

  3. Image titled Calculate the Area of a Hexagon Step 17

    3

    Look for other shapes in the irregular hexagon. If you can’t simply pick apart a few triangles, look through the irregular hexagon to see if you can locate other shapes — maybe a triangle, a rectangle, and/or a square. Once you’ve outlined the other shapes, just find their areas and add them up to get the area of the entire hexagon.[14]

    • One type of irregular hexagon is comprised of two parallelograms. To get the areas of the parallelograms, just multiply their bases times their heights, just as you would do to find the area of a rectangle, and then add up their areas.
  4. Advertisement

Hexagon Area Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

  • Question

    I was only given the length of the diagonal. What do I do?

    Community Answer

    1/3rd of the length of the diagonal is the side of the hexagon. Using this, you can calculate the area.

  • Question

    I know the area, nothing else. I need a regular hexagon. What do I do?

    Donagan

    Assuming you’re looking for the length of a side, solve for s using the area formula in Method 1 above. Then plug in the known area.

  • Question

    What is the area of a regular hexagon where the length of each side is 7m?

    Community Answer

    The side is 1/2 of 7 = 3.5. The area of a regular hexagon is (3√3 *3.5^2)/2 =31.82 or 32 cm, approximately.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Article SummaryX

To calculate the area of a hexagon, use the formula a = 3 × square root of 3 × s^2 divided by 2, where a is the area and s is the length of a side of the hexagon. Just plug in the length of one of the sides and then solve the formula to find the area. If you don’t have one of the side lengths but you do have the apothem, you can use the formula a = 1/2 × perimeter × apothem, where a is the area. To learn more, like how to calculate the area of an irregular hexagon, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,404,581 times.

Did this article help you?

Правильный шестиугольник – это геометрическая фигура; правильный многоугольник с 6 равными углами и сторонами.

  • Общая формула вычисления площади

  • Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность

  • Примеры задач

Общая формула вычисления площади

Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:

Формула площади правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника

Формула получена следующим образом:

Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается так:

Формула площади равностороннего треугольника

Площадь правильного шестиугольника

Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:

Формула площади правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Сторона правильного шестиугольника равняется радиусу окружности, описанной вокруг него (a=r).

Описанная вокруг правильного шестиугольника окружность

Это значит, что формула площади может быть представлена в таком виде (а заменяем на r):

Формула площади правильного шестиугольника

Примеры задач

Задание 1
Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите его площадь.

Решение:
Используем первую формулу, в которой задействована длина стороны:
Вычисление площади правильного шестиугольника

Задание 2
Вычислите площадь правильного шестиугольника, ели радиус описанной вокруг нее окружности равен 15 см.

Решение:
Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):
Вычисление площади правильного шестиугольника


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников. Есть несколько способов найти площадь шестиугольника, в зависимости от того, имеете ли вы дело с правильным или неправильным шестиугольником. Из этой статьи вы узнаете, как именно находить площадь этой фигуры.

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 1

    1

    Запишите формулу. Так как правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, то формула образована из формулы нахождения площади равностороннего треугольника: Площадь = (3√3 s2)/ 2 где s — длина стороны правильного шестиугольника.[1]

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 2

    2

    Определите длину одной стороны. Если известна длина стороны, то просто запишите ее. В нашем случае длина стороны — 9 см. Если длина стороны неизвестна, но известен периметр или апофема (высота одного из шести равносторонних треугольников, перпендикулярная стороне), то можно найти и длину стороны. Вот, как это делается:

    • Если известен периметр, то просто разделите его на 6 и получите длину стороны. Если, например, периметр — 54 см, то, разделив 54 на 6, мы получим 9 см, длину стороны.[2]
    • Если известна только апофема, то длину стороны можно вычислить, подставив апофему в формулу a = x√3 и затем умножив ответ на 2. Это делается потому, что апофема представляет собой сторону x√3 образуемого ей треугольника с углами 30-60-90 градусов. Если, например, апофема — 10√3, то x — 10 и длина стороны будет равна 10 * 2 или 20.
  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 3

    3

    Подставьте значение длины стороны в формулу. Просто подставляем 9 в изначальную формулу. Получаем: площадь = (3√3 x 92)/2

  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 4

    4

    Упростите ответ. Решите уравнение и запишите ответ. Ответ должен быть указан в квадратных единицах, ведь мы имеем дело с площадью. Вот, как это делается:

    • (3√3 x 92)/2 =
    • (3√3 x 81)/2 =
    • (243√3)/2 =
    • 420.8/2 =
    • 210.4 см2

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 5

    1

    Запишите формулу. Площадь = 1/2 x периметр x апофему.[3]

  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 6

    2

    Запишите апофему. Скажем, она равна 5√3 см.

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 7

    3

    Используйте апофему для нахождения периметра. Апофема перпендикулярна стороне шестиугольника и создает треугольник с углами 30-60-90. Стороны такого треугольника соответствуют пропорции x-x√3-2x, где сторона короткой стороны, лежащей напротив угла в 30 градусов, представлена x, длина длинной стороны, лежащей напротив угла в 60 градусов, представлена x√3, а гипотенуза представлена 2x.[4]

    • Апофема — сторона, представленная x√3. Таким образом, подставляем апофему в формулу a = x√3 и решаем. Если, например, длина апофемы — 5√3, то подставляем это число в формулу и получаем 5√3 см = x√3, или x = 5 см.
    • Решая через x, мы нашли длину короткой стороны треугольника — 5 см. Эта длина представляет собой половину длины стороны шестиугольника. Умножив 5 на 2, мы получаем 10 см, длину стороны.
    • Подсчитав, что длина стороны равна 10, умножаем это число на 6 и получаем периметр шестиугольника. 10 см х 6 = 60 см.
  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 8

    4

    Подставьте все известные данные в формулу. Сложнее всего найти периметр. Теперь надо лишь подставить апофему и периметр в формулу и решить:

    • Площадь = 1/2 x периметр x апофему
    • Площадь = 1/2 x 60 см x 5√3 см
  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 9

    5

    Упрощайте ответ до тех пор, пока не избавитесь от квадратных корней. Окончательный ответ укажите в квадратных единицах.

    • 1/2 x 60 см x 5√3 см =
    • 30 x 5√3 см =
    • 150√3 см =
    • 259. 8 см2

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 10

    1

    Запишите координаты всех вершин по осям x и y. Если известны вершины шестиугольника, то первым делом надо начертить таблицу с двумя колонками и семью рядами. Каждый ряд будет назван по названию по одной из шести точек (точка А, точка В, точка С и так далее), каждая колонка будет названа по осям x или у, соответствующим координатам точек по этим осям. Запишите координаты точки А по осям x и у справа от точки, координаты точки В — справа от точки В и так далее. Внизу повторно укажите координаты первой точки. Для примера скажем, что мы имеем дело со следующими точками, в формате (x, у):[5]

    • A: (4, 10)
    • B: (9, 7)
    • C: (11, 2)
    • D: (2, 2)
    • E: (1, 5)
    • F: (4, 7)
    • A (снова): (4, 10)
  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 11

    2

    Умножьте координаты каждой точки по оси x на координаты по оси у следующей точки. Это можно представить себе так: мы проводим диагональ вниз и вправо от каждой координаты по оси x. Запишем результаты справа от таблицы. Затем сложим их.

    • 4 x 7 = 28
    • 9 x 2 = 18
    • 11 x 2 = 22
    • 2 x 5 = 10
    • 1 x 7 = 7
    • 4 x 10 = 40
      • 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125
  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 12

    3

    Умножьте координаты каждой точки по оси у на координаты по оси x следующей точки. Это можно представить себе так: мы проводим диагональ вниз и влево от каждой координаты по оси у. Перемножив все координаты, складываем результаты.

    • 10 x 9 = 90
    • 7 x 11 = 77
    • 2 x 2 = 4
    • 2 x 1 = 2
    • 5 x 4 = 20
    • 7 x 4 = 28
    • 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221
  4. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 13

    4

    Вычтите из первой суммы координат вторую сумму координат. Вычитаем 221 из 125 и получаем -96. Итак, ответ: 96, площадь может быть только положительной.

  5. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 14

    5

    Разделите разность на два. Делим 96 на 2 и получаем площадь неправильного шестиугольника. Окончательный ответ: 48 квадратных единиц.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 15

    1

    Найдите площадь правильного шестиугольника с отсутствующим треугольником. Если вы столкнулись с правильным шестиугольником, в котором отсутствует один или более треугольников, то прежде всего нужно найти его площадь, как если бы он был целым. Потом необходимо найти площадь «отсутствующего» треугольника и вычесть ее из общей площади. В итоге вы получите площадь имеющейся фигуры.[6]

    • Например, если мы выяснили, что площадь правильного треугольника — 60 см2, а площадь отсутствующего треугольника — 10 см2, то: 60 см2 — 10 см2 = 50 см2.
    • Если известно, что в шестиугольнике не хватает точно одного треугольника, то его площадь можно найти, умножив общую площадь на 5/6, так как мы имеем 5 и 6 треугольников. Если не хватает двух треугольников, то умножаем на 4/6 (2/3) и так далее.
  2. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 16

    2

    Разбейте неправильный шестиугольник на треугольники. Найдите площади треугольников и сложите их. В зависимости от имеющихся данных существует множество способов найти площадь треугольника.[7]

  3. Изображение с названием Calculate the Area of a Hexagon Step 17

    3

    Найдите в неправильном шестиугольнике какие-то другие фигуры: треугольники, прямоугольники, квадраты. Найдите площади составляющих шестиугольник фигур и сложите их.[8]

    • Один из видов неправильного шестиугольника состоит из двух параллелограммов. Для нахождения их площадей просто перемножьте основания на высоты и затем сложите их площади.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 128 781 раз.

Была ли эта статья полезной?

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти девушку если у меня вич
  • Как найти скорость другого пешехода
  • Как составить булеву функцию по логической схеме
  • Как найти периметр треугольника сао
  • Как найти расход электроэнергии информатика