Как найти площадь правильного вписанного треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника: $h=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2} a.$
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: $r=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6} a.$
Радиус описанной окружности в два раза больше: $R=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 3} a.$
Площадь правильного треугольника: $S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 4} a^2.$

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна sqrt{3} . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности $r=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6} a=0,5$ .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}$ высоты.

Ответ: .

. Сторона правильного треугольника равна sqrt{3} . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен $genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 6}a$ .

Ответ: .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

В задачах часто найти правильное решение можно зная площадь треугольника. Выбор формулы для этого действия зависит от его характеристик.

Что такое равносторонний или правильный треугольник

Для треугольника, как для геометрической фигуры, обязательным условием является наличие трех сторон, образующих три угла. В зависимости от соотношения длин сторон и величин углов треугольники подразделяются на:

равносторонние;
разносторонние;
прямоугольные;
равнобедренные.

Треугольник, имеющий все стороны одинаковой длины, носит название равностороннего.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

треугольник

Источник: ru-static.z-dn.net

Второе название такой фигуры — «правильный». Это самый простой правильный многоугольник, в котором биссектриса полностью совпадает с медианой и высотой.

Одной из важных характеристик равностороннего треугольника является та, что все три его внутренних угла равны и составляют 60^о каждый. Это еще раз подтверждает, что сумма внутренних углов треугольника равна 180^о.

В любой равносторонний треугольник может быть вписана окружность. При этом ее центральная точка непременно совпадет с тем местом, в котором пересекаются высота и медиана этого треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через сторону, формула

Учитывая названные свойства треугольника с равными сторонами, высчитать его площадь можно несколькими способами:

через длину стороны:
через высоту;
используя треугольник, вписанный в окружность.

Чтобы понять формулы для вычисления, рассмотрим рисунок:

высота

Источник: kalk.top

На данном рисунке условные обозначения следующие:

рисунок

Источник: kalk.top

Чтобы находить площадь равностороннего треугольника через его сторону, можно использовать формулу:

формула

Источник: kalk.top

Высота h, являющаяся одновременно биссектрисой и медианой, делит нижнюю сторону на две половины. Длину одной половину можно выразить (a/2).

Кроме этого, она образует два прямоугольных треугольника, один из которых рассмотрим отдельно:

красный

Источник: interneturok.ru

Используя теорему Пифагора, получаем равенство:

Формулы

Источник: interneturok.ru

Из приведенных выражений легко вывести формулу для нахождения площади, если известна длина стороны:

Источник: interneturok.ru

Доказательство данной формулы настолько очевидно, что может быть легко восстановлено в памяти в любой момент.

Площадь равностороннего треугольника через высоту, формула

Рассчитать такую величину, как площадь треугольника со сторонами одной длины, можно не только зная это значение, но и используя саму высоту.

Согласно теореме о площади любого треугольника, она равна произведению двух величин: длины стороны и высоты, которая к ней проведена. Для равностороннего треугольника такое утверждение также справедливо.

(S=(1/2)ah)

В ходе доказательства этой формулы используется алгоритм построения из имеющегося треугольника параллелограмма, нахождения его площади и деления пополам.

Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность

круг

Источник: www.resolventa.ru

Основанием для выведения формулы площади равностороннего треугольника через радиус описанной вокруг него окружности, является утверждение, что:

В треугольнике с равными сторонами центр окружности, в которую вписан этот треугольник, является точкой пересечения его медианы, высоту и биссектрисы одновременно.

Тогда равенство (2/3h=R) подтверждено.

Следовательно, формулировка выражения для нахождения площади через радиус описанной окружности выглядит так:

Источник: www.resolventa.ru

Примеры решения задач

Задача 1

Периметр равностороннего треугольника составляет 36 см. Какова площадь данной геометрической фигуры?

Решение.

Первым действием будет нахождение длины стороны через известных периметр: 36:3=12 (см)

Второе действие основано на формуле: (S=(a2√3)/4 = 144√3/4=36√3)

Ответ: (36√3)

Задача 2

Площадь равностороннего треугольника равна (25√3). Какова длина его стороны?

Решение: Используя формулу площади равностороннего треугольника через известную длину стороны, получаем выражение:

(S=(a2√3)/4)

(25√3=(a2√3)/4)

(25=a2)

a=5

Ответ: сторона треугольника равна 5.

Задача 3

Площадь равностороннего треугольника равна (49√3). Чему равна высота этой фигуры?

Решение.

Первым действием находим длину его стороны:

(S=(a2√3)/4)

(49√3=(a2√3)/4)

(49=a2)

a=7

Во втором действии применяем формулу: (h=a√3/2=7√3/2=3,5√3)

Ответ: высота равна (3,5√3)

Задача 4

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего трегольника, равен 10. Найти площадь этого треугольника и длину его стороны.

Решение:

В первом действии применяем формулу:

(S=3√3/4*R2)

(S=300√3/4=75√3)

С другой стороны:

(S=a2√3/4)

(75√3=a2√3/4)

Сокращая √3, получаем: (4a2=75)

a=√18,75

Источник

Как найти площадь равностороннего треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить площадь равностороннего треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

длину равных сторон (a)
высоту (h)
радиус описанной окружности (R)
радиус вписанной окружности (r)
периметр треугольника (P)

Введите их в соответствующие поля и узнаете площадь равностороннего треугольника (S).

Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная длину равных сторон

Чему равна площадь равностороннего треугольника если длина стороны ?

Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известна длина сторон (a)?

Формула

Пример

Если сторона a = 2 см, то:

S = √3 /₄ ⋅ 2² = 1.732 /₄ ⋅ 4 ≈ 1.732 см 2

Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная его высоту

Чему равна площадь равностороннего треугольника если его ?

Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известна его высота (h)?

Формула

Пример

Если высота h = 3 см, то:

Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная радиус описанной окружности

Чему равна площадь равностороннего треугольника если радиус описанной окружности ?

Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен радиус описанной окружности (R)?

Формула

Пример

Если радиус описанной окружности R = 4 см, то:

S = 3 ⋅ √3 /₄ ⋅ 4² = 3 ⋅ 1.732 /₄ ⋅ 16 = 1.299 ⋅ 16 ≈ 20.784 см 2

Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная радиус вписанной окружности

Чему равна площадь равностороннего треугольника если радиус вписанной окружности ?

Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен радиус вписанной окружности (r)?

Формула

Пример

Если радиус вписанной окружности r = 1 см, то:

S = 3⋅ √ 3 ⋅ 1² = 3 ⋅ 1.732 ⋅ 1 ≈ 5.196 см 2

Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная его периметр

Чему равна площадь равностороннего треугольника если его периметр ?

Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен его периметр (P)?

Формула

Пример

Если периметр P = 8 см, то:

S = √3 /₃₆ ⋅ 8² = 1.732 /₃₆ ⋅ 64 ≈ 3 см 2

Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это самый простой правильный многоугольник из возможных. При нахождении его площади возникают частные варианты его расчета. Важно знать и понимать признаки и свойства этого вида фигур, для более легкого вычисления этого параметра. Все методы, представленные ниже, достаточно просты в применении, и не потребуют глубокого осмысления….

Признаки и свойства фигуры

Для того чтобы рассчитать его площадь необходимо понимать свойства и признаки, которыми он обладает. Можно выделить следующие основные признаки этой фигуры:

Значение величины его углов одинаково во всех случаях и равняется 60 градусам, вне зависимости от размера сторон.
Биссектриса, высота и медиана выпущенные из одного угла будут совпадать.
Любая сторона равностороннего треугольника равна двум другим.
Центр правильного треугольника будет являться центром для вписанной и описанной окружности.
Является частным случаем равнобедренного треугольника.

Важно! Если хотя бы один из этих признаков соблюдается, значит, треугольник является равносторонним. Равносторонний треугольник

Дополнительно этот частный случай фигуры обладает следующими свойствами:

Расчет через сторону

Существует множество способов расчета площади этой фигуры. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Применяются в зависимости от условий, представленных задаче. Самая популярный способ найти искомое значение для равностороннего треугольника вычисляется через произведение половины сторон и синуса угла между ними, выглядит это следующим образом: , где, a и b – стороны, α – угол между ними.

В случае с равносторонним, этот способ упрощается в значительной степени. Для этого нужно обратиться к рассмотренным выше признакам и свойствам. Исходя из того, что все углы этой фигуры равны, и равняются 60 градусам. Синус 60 градусов, согласно таблице Брадиса, равняется , преобразовав исходное выражение получаем следующее значение: .

Учитывая то, что все стороны этой фигуры равны, то преобразованное выражение даст такой результат: .

Данная формула отлично подойдет в случае, если известна величина стороны этой фигуры. В таком виде вычислять данный показатель гораздо легче и быстрее.

Те, кто помнит формула Герона, знают, как найти площадь этой фигуры. В процессе преобразования выражение изменится в представленное выше. Площадь этой фигуры по Герону рассчитывается так: , где, a, b, c —стороны, а p — полупериметр ( ). Преобразовывается данное выражение достаточно просто. Необходимо подставить вместо значения p расчет полупериметра и постепенно начать сокращать выражение. Сумму сторон можно представить в виде суммы трех одинаковых сторон и довести сокращения до конца. Математически это выглядит так:

Полученная формула площади и представленные ниже функции могут быть использованы только, в случае, если фигура является правильной, в ином случае не будет давать правильный ответ.

Вычисление площади треугольника по его стороне

Расчет по высоте

Найти площадь равностороннего треугольника можно также, если известна его высота и сторона. Половина длины высоты умножается на сторону, выбрана может быть любая высота и сторона, ведь согласно свойствам, они все одинаковые: , где a – это длина стороны. Ее легко запомнить, однако, на практике она применяется достаточно редко.

Если в задаче указана информация о том, что треугольник является равносторонним и известна величина высоты. А чему равна длина стороны неизвестно, то можно воспользоваться формулой, позволяющей ее рассчитать. Найти сторону можно разделив двойную величину высоты на корень квадратный из трех, математически выглядит следующим образом: . После этого применяется формула площади, где расчеты производятся через сторону, она описана в предыдущем пункте.

Для того чтобы не делать лишних расчетов можно вывести формулу этого показателя сразу же через высоту. Квадрат высоты делится на корень квадратный из трех. Она будет выглядеть так: . В этом случае можно не применять формулу равнобедренного треугольника через сторону.

Вычисление площади треугольника по его стороне и высоте

Расчет через окружности

В математике популярен также прием расчета, рассматриваемого в статье, значения через помещение фигуры в окружность или наоборот. Такая окружность называется описанной. Если она находится внутри, то она называется вписанной. Именно в этом разделе возникает большинство вопросов, как найти площадь равностороннего многоугольника с тремя углами.

Описанная окружность обязательно должна проходить через все вершины, вписанная должна проходить через стороны только в одной точке по касательной.

Чертеж равностороннего треугольника, описанного или вписанного в окружность

Если в условии задачи дан радиус вписанной и описанной окружности, то из них также можно составить выражение, так как вместе они дадут суммарную длину высоты. Как рассчитывается площадь при ее помощи, показано выше: h = R + r .

Преобразовав формулу , применив расчет высоты h = R + r, можно получить следующее значение: . Данную формула можно упростить еще больше, ведь радиус описанной окружности можно выразить через радиус вписанной. Согласно свойствам этих окружностей R = 2r, где r — это радиус вписанной окружности, R — это радиус описанной. Соответственно площадь правильного треугольника будет высчитываться так: .

Если же будет дан размер радиуса описанной окружности, то выражение будет выглядеть следующим образом: .

Использование этих свойств пригодится для расчета стороны фигуры. Для того чтобы ее найти можно воспользоваться выражением для описанной окружности, и для вписанной.

Учитывая радиус описанной окружности можно найти искомое значение при помощи возведения стороны в куб, после чего результат делится на радиус, увеличенный в 4 раза. Математически его можно записать следующим образом: .

Процесс расчета, чему равен показатель площади равностороннего треугольника через любую из предложенных формул не должен вызывать особых затруднений. Для того чтобы успешно справиться с этой задачей не нужно запоминать все указанные способы, достаточно запомнить основные общие формулы расчета, а также свойства и признаки этой фигуры.

Внимание! Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться несколькими способами, результаты должны совпасть.

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность

Применив логическое мышление, расчеты с легкостью преобразовываются в частные случаи, коих гораздо больше. Нецелесообразно забивать голову большим количеством нерелевантной информации, лучше развивать причинно-следственную связь для преобразования выражений.

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

источники:

http://tvercult.ru/nauka/chemu-ravna-i-kak-nayti-ploshhad-ravnostoronnego-treugolnika

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/pravilnyj-treugolnik-i-ego-ploshhad/

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления площади равностороннего треугольника

Формула

Чтобы найти площадь равностороннего треугольника (рис. 1), нужно квадрат его стороны умножить на
$sqrt{3}$ и поделить на четыре, то есть

$$mathrm{S}_{Delta}=frac{a^{2} sqrt{3}}{4}$$

Эту формулу легко получить из общей
формулы для площади треугольника

$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a b sin alpha$$

при условии, что $a=b$ (так как треугольник равносторонний) и
$alpha=60^{circ}$ (угол равностороннего треугольника).

Напомним, что треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Примеры вычисления площади равностороннего треугольника

Пример

Задание. Найти площадь равностороннего треугольника
$ABC$, если известно, что его сторона равна 2 дм.

Решение. Подставив заданное значение в формулу, будем иметь:

$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{2^{2} cdot sqrt{3}}{4}=frac{4 cdot sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$ (дм²)

Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=sqrt{3}$ (дм²)

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти площадь равностороннего треугольника
$ABC$, если его высота равна 3 м.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2).

Так треугольник равносторонний, то его высота $BH$ является и
медианой, а это означает, что $AH=HC$ .

Пусть $HC=x$, тогда $AC=2HC=2x=BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник
$BHC$. Записываем для него теорему Пифагора:

$$B C^{2}=B H^{2}+H C^{2}$$
$$(2 x)^{2}=2^{2}+x^{2}$$

Решаем полученное уравнение относительно $x$ :

$4 x^{2}-x^{2}=9 Rightarrow 3 x^{2}=9 Rightarrow x^{2}=3 Rightarrow H C=x=sqrt{3}$ (м)

Отсюда получаем, что

$A C=2 x=2 sqrt{3}$ (м)

А тогда искомая площадь

$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{(2 sqrt{3})^{2} cdot sqrt{3}}{4}=frac{12 sqrt{3}}{4}=3 sqrt{3}$ (м²)

Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=3 sqrt{3}$ (м²)

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Как можно вычислить площадь равсностороннего треугольника?

Согласно формуле, по которой вычисляется площадь S треугольника с равными
сторонами, она равна:

S = √3/4*а, в которой а – это длина стороны фигуры.

Площадь можно также найти следующим образом:

S = a*h/2, где h – это высота.

Высоту можно вычислить, используя теорему Пифагора:

h = а² — (а/2)².

Как можно рассчитать площадь равностороннего треугольника, если известно,
что площадь треугольной фигуры, отсекаемой от него средней линией,
составляет 6 см. кв.?

Обозначим имеющийся треугольник с равными сторонами как АВС. Обозначим
длину стороны как а, и получим, что АВ=ВС=АС=а. Среднюю линию обозначим
как МК. Тогда Sмвк = 6 см. кв.

В случае с равносторонним треугольником:

S = а²√3/4

Зная свойство средней линии треугольника, можно записать следующее
равенство:

МК = АС/2 = а/2.

В этом случае площадь отсекаемого треугольника равна:

Sмвк = (а/2)²*√3/4 = а²√3/16 см.кв.

В условии дано, что Sмвк = 6 см.кв., тогда:

а²√3/16 = 6

а² = 96/√3.

Площадь равностороннего треугольника:

S = а²√3/4 = (96√3)/(4√3) = 96/4 =24 см.кв.

Как можно вычислить площадь равностороннего треугольника при условии, что
его периметр составляет 24 см.?

Найдем сторону равносторонней треугольной фигуры, разделив его периметр на
3:

а = 24:3 = 8 см.

Тогда площадь этой фигуры равна:

S =1/2a²sin 60° = 1/2*64*√3/2 = 16√3 см.кв.

Что представляет собой формула площади равностороннего треугольника?

Обозначив одну из сторон равносторонней треугольной фигуры как а, а
высоту, проведенную к ней, — как h, то формула расчета площади этой фигуры
будет выглядеть так:

S=ah/2.

Принимая во внимание то, что все стороны данной треугольной фигуры равны,
то его высоту можно выразить через сторону и вычислить, используя теорему
Пифагора:

h² = а²-(а/2)² = h² = а²- а²/4 = 3а²/4

h = (а√3)/2

Тогда площадь данной фигуры равна:

S = ½ a* h = ½ a*(а√3)/2 = (a²√3)/4

Как выразить длину стороны а из формулы площади равностороннего
треугольника?

Для расчета площади треугольника, длины всех сторон которого равны,
используется формула:

S=a²√3/4

Перенесем 4 в правую часть равенства:

4S=a²√3.

Тогда:

a² = 4S/√3

а = √4S/√3.

Какая формула используется для вычисления площади равностороннего
треугольника с длиной стороны а?

Если известно, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то
его площадь рассчитывается так:

S = а²√3/4.

Каким образом можно привести доказательство теоремы о площади
равностороннего треугольника?

Треугольник имеет два катета – АВ и ВС. Его гипотенуза – ВС. Так как
фигура является равносторонней, то АВ = АС.

Требуется доказать, что площадь треугольной фигуры, стороны которой
одинаковы, равна произведению длин его катетов, разделенному на два.

Превратим имеющийся треугольник в квадрат, проведя перпендикуляр из его
углов, и получим что:

ΔВАС = ΔВСD.

Площадь квадрата равна:

S = а*b.

Диагональ квадрата ВС является гипотенузой треугольника, которая делит
квадрат на 2 равные части. Из этого следует, что площадь треугольника
равна половине площади квадрата. Что и требовалось доказать.

Как вычислить площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 9 см.?

Имеется треугольник АВС с равным сторонами.

ВН = 9 см.

Площадь данной фигуры находится по формуле:

S=1/2*АС*ВН,

в которой АС – основание треугольной фигуре, по длине равное любой из
сторон (равносторонний Δ), ВН – высота.

Предположим, что АС = 2а см. Тогда:

АН = АС/2 = ½*2а = а см.

Согласно теореме Пифагора:

АВ² = ВН²+АН².

В данном случае:

(2а)² = 9²+а²

Переносим а² в правую часть уравнения:

4а²-а² = 81

Упрощаем:

3а² = 81.

Отсюда:

а² = 81/3 = 27

а=√27=√9×3=3√3 см.

Теперь можно найти площадь:

S=1/2*9*3√3=1/2*27/√3=27√3/2=13,5√3 см.кв.

Какому числу равна площадь равностороннего треугольника с основанием длиной
6 см.?

Известна формула расчета площади треугольника:

S=1/2*h*b.

Проведем высоту h, которая в равностороннем треугольнике представляет
собой также биссектрису и медиану.

Воспользуемся теоремой Пифагора для вычисления высоты:

h = √(36-9) = √27 см.

Тогда:

S = h*3 = 3√27 см.кв.

Возможно ли привести доказательство того, что площадь равностороннего
треугольника равна √3*a²/4, в которой длина его стороны обозначена как а?

Доказать, что приведенное в задании утверждение является верным, можно,
если превратить имеющуюся треугольную фигуру в параллелограмм/, площадь
которого равна произведению длины стороны и высоты.

Параллелограмм состоит из двух треугольников, которые равны. Это значит,
что площадь одной из треугольных фигур находится так:

S = a*h /2.

Высоту можно выразить через определение синуса.

Все углы в равносторонней треугольной фигуре равны и составляют 60
градусов (180/3).

sin(60) = V3/2.

Из определения синуса следует:

h/a = sin(60).

Это значит, что:

h = a*V3/2.

Значит:

S = a*a*V3/4.

Почему площадь равностороннего треугольника равна a^2√3/4?

Известно, что площадь любого треугольника можно найти по формуле:

S = 1/2*a*b*sinA,

в которой стороны треугольника обозначены как а и b, а угол, образованный
ими, — как А.

Доказано, что каждый угол равносторонней треугольной фигуры составляют 60
градусов (sin60 =sqrt(3)/2), а его стороны имеют одинаковые длины. Если
подставить эти значения в формулу, то получим:

S = a22√3/4.

Как найти площадь равностороннего треугольника при условии, что длина каждой
его стороны составляет 12 см.?

Площадь треугольника с равными сторонами вычисляется по формуле:

S = √3/4*a².

В данном случае:

S= √3/4*12²= √3*144 /4*1 = 36√3 ≈ 62,35 см.кв.

Согласно формуле Герона:

S = √(р(р-а)(р-a)(p-a))

Для данного треугольника:

Р = 12*3 = 36 см.

Р = р/2 = 36/2 = 18 см.

Тогда:

S = √ (18× (18-12)³) = √(18*6³) = √(18×216)=√3888 ≈ 62,35 см. кв.

Как вычислить площадь правильного равностороннего треугольника, зная радиус
круга R?

Площадь треугольника с одинаковыми сторонами считается как:

S = a²√3/4.

Радиус r окружности, которая вписана в данный Δ, равен a√3/6. Значит:

а = 2√3r.

Считаем площадь треугольника:

S = 4*3r²√3/4 = 3√3r².

Радиус R окружности, которая описана около правильной треугольной фигуры,
равен a/√3. Следовательно, а = R√3.

В этом случае:

S = R²*3√3/4 = 3√3R²/4.

Известно, что площадь правильного треугольника равна 100√3 м.кв. Как
вычислить его сторону?

Площадь треугольника равна:

(a²√3)/4.

В данном случае:

100√3=(a²√3)/4

Тогда:

a²√3=400√3.

Находим а:

a²√3 = 400√3

a² = 400

a = 20 см.

Чему равна площадь правильного треугольника при условии, что диаметр
окружности, вписанной в него, = 10 см.?

Если d = 10 см., то r = 10/2 = 5 см.

Известно, что:

r = а√3/6, где а – это длина стороны правильного Δ.

Значит:

5 = а√3/6.

Отсюда:

а = 30/√3 = 10√3 см.

Тогда:

SΔ = a²√3/4 =(10√3)³ *√3/4 = 75√3 см. кв.

Чему равна площадь правильного треугольника со стороной 4 дм.?

Известно, что:

S = 1/2 * a * a sin 60 = 1/2 * 4 * 4 * √3/2 = 4√3 дм.кв.

Площадь также можно найти так:

S = a²√3/4 = 16√3/4 = 4√3 дм.кв.

Как найти площадь правильного треугольника, зная, что длина описанной около
него окружности равна 4Пи см.?

Длина окружности через радиус находится так:

L=2πR.

Значит:

R=L/2π=4π/2π=2 у.е.

Имеем правильный треугольник, значит длина его стороны:

a=R*√3=2√3 у.е.

Можем найти SΔ:

S = √3/4a² = √3/43*3 = 3√3 у.е.кв.

Чему равна площадь правильного треугольника и его стороны, если его высота =
14 см.?

В правильном треугольнике длины всех сторон одинаковы. Это значит, что
каждую из них можно обозначить как х. Тогда:

Р (периметр) = х + х + х = 3х см.

Площадь будет равна:

S = 1/2 h * x = 14/2*x = 7х см.кв.

Как найти площадь правильного треугольника с равными сторонами при условии,
что радиус круга R?

Площадь треугольной фигуры с равными сторонами считается как:

S = a²√3/4.

Радиус окружности, вписанной в этот Δ, составляет a√3/6. Тогда а = 2√3r.

Находим площадь треугольника:

S = 4*3r²√3/4 = 3√3r².

Радиус R окружности, которая описана около правильного Δ, составляет a/√3.
Это означает, что а = R√3.

Теперь можем высчитать площадь треугольника:

S = R²*3√3/4 = 3√3R²/4.

Как найти площадь правильного треугольника при условии, что расстояние от
его центра до вершины составляет 2 м.?

Центр правильно треугольной фигуры также является центральной точкой
описанной около нее окружности. Ее радиус представляет собой расстояние от
центра до вершины фигуры:

а=R√3=2√3

Все углы в правильном треугольнике являются одинаковыми и равны по 60
градусов (180/3).

Площадь треугольной фигуры рассчитывается как:

а²sin60°/2=(2√3)²√3/2/2=6√3 м.кв.

Как найти площадь правильного треугольника, если определено, что сторона
имеет длину, аналогичную длине стороны ромба с диагоналями 10 см. и 12 см.?

Предположим, что BD = 10 см., а АС = 12 см.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся на две равные части, пересекаясь
в определенной точке.

ΔАВО: ∠АОВ = 90°, АО = АС/2 = 6, ВО = BD/2 = 5.

Согласно теореме Пифагора:

АВ = √(АО² + ВО²) = √(36 + 25) = √41.

Треугольник имеет равные стороны, длина каждой из которых аналогична длине
стороны ромба:

а = √41.

Тогда:

SΔ = a²√3/4 = 41√3/4 см.кв.

Как найти площадь правильного треугольника периметром 6 см.?

Если длина стороны правильного треугольника указана, то его площадь
вычисляется следующим образом:

S = a²√3/4.

Согласно определению правильного треугольника, длины всех его сторон
одинаковые. Исходя из этого можно найти его сторону, разделив периметр на
три:

а = 6/3 = 2 см.

Ищем площадь, подставив в равенство значение а:

S = 2²√3/4 = S 4√3/4 = √3 см.кв.

Как найти площадь правильного треугольника при условии, что окружность,
которая вписана в него, имеет радиус длиной 4 см.?

Площадь треугольника, имеющего стороны одинаковой длины, может быть
рассчитана через длину его стороны без применения формулы радиуса
окружности, которая вписана в него. Для данной фигуры верно утверждение о
том, что высота, биссектриса и медиана делятся в точке пересечения в
отношении 2:1. При схематичном изображении можно увидеть, что треугольная
фигура АВС включает 6 треугольников с прямыми углами, которые имеют
одинаковый катет (R) и гипотенузу (АО=ВО=СО). Следовательно, площадь
треугольника АВС будет представлять собой сумму площадей всех 6
треугольников, формирующих его.

Какова формула вычисления площади равностороннего треугольника со стороной
а?

Если сказано, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то
его площадь можно найти:

S = a²√3/4.

Как определить, чему равна длина стороны треугольника с равными сторонами,
зная формулу, по которой вычисляется площадь равностороннего треугольника
(S=√3/4 а²) и то, что она равна 9√3см²?

Если S=√3/4 а², то в данном случае S=9√3, что означает: 9√3=√3/4 а².

Выразим а²:

а² = 9√3:√3/4 = 9√3 x 4√3 = 36

а = +-√36 = +- 6.

Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, то a = 6 см.

Какой вид имеет формула, которая отражает зависимость площади
равностороннего треугольника от длины его сторон?

Доказано, что равносторонний треугольник имеет равные углы по 60 градусов.
Также известна формула вычисления площади данной фигуры путем умножения
длин двух его сторон и синуса угла, который они образуют:

S = 1/2*a*a*sin 60 = a²√3/4 см.кв.

Чему равна площадь равностороннего треугольника и длина его медианы, если
известно, что его сторона составляет а?

Если указано, что длина стороны равностороннего треугольника составляет а,
то его площадь равна:

S=a²√3/4.

Медиана, проведенная в треугольнике с равными сторонами, также
представляет собой его биссектрису и высоту. Из этого следует, что:

h=a√3/2.

Ответ: Площадь треугольника = a²√3/4 см.кв., его медиана = a√3/2 см.

Как определить площадь равностороннего треугольника со стороной, длина
которой составляет 8√2 см?

В случае с треугольником с равными сторонами, высота представляет собой
также медиану, делящую на две равные части сторону, на которую она
опущена. Если применить в данном случае теорему Пифагора, то высота равна:

h = √((8√2)²-(4√2)²)=4√6 см.

Теперь есть возможность найти площадь:

S = (1/2)*8√2*4√6 = 32√3 см. кв.

Площадь также можно найти по формуле для треугольника с равными сторонами:

S =(√3/4)*a² или S =(√3/4)*128 = 32√3 см. кв.

Дано два равносторонних треугольника, площадь одного из которых превышает
площадь другого в три раза. Чему будет равна сторона второго равностороннего
треугольника, при условии, что сторона первого из них составляет 1 см.?

Для расчета площади треугольника с равными сторонами есть формула:

S = a²√3/4.

Найдем площадь меньшего из треугольников, подставив значение а:

S₁ = 12 √3/4 = √3/4 см.кв.

Известно, что площадь второго треугольника больше площади первой фигуры в
три раза. Тогда:

S₂ = 3√3/4.

Очевидно, что сторона большего треугольника составляет √3 см.

Сторона равностороннего треугольника равна 14 см. Чему будет равна его
площадь, умноженная на √3?

Формула площади для треугольника с равными сторонами:

S = а²*√3/4.

Подставляем значение а:

S = 14²*√3/4 = 49√3 см. кв.

Умножаем полученное число на √3:

49√3*√3 = 49*3 = 147 см.

Читать дальше: как найти площадь круга.

Источник