A rectangular prism is a three-dimensional geometric figure that has four lateral faces with two congruent and parallel bases. A rectangular prism is a polyhedron, and every face is a rectangle. A rectangular prism has a total of six faces where the opposite faces are identical, i.e., a rectangular prism has three pairs of identical faces. The dimensions of a rectangular prism are length, width, and height. It has a total of six faces, twelve edges, and eight vertices. Some examples of rectangular prisms that we see in our everyday lives are fish tanks, notebooks, diaries, cargo containers, rooms, etc.
Surface Area of a Rectangular Prism
The total area occupied by all the three-dimensional surfaces of a three-dimensional geometric structure is called the surface area. The surface area of the prism is equal to the area of its net. So, to find the surface area of a rectangular prism, we have to calculate the areas of each of its faces, then add the resulting areas. A rectangular prism has two types of surface areas: a lateral surface area and a total surface area.
Surface Area of Rectangular Prism Formula
There are two formulas that are used to calculate the area of a rectangular prism which are,
Lateral Surface Area Formula
The lateral surface area of a prism (LSA) is equal to the sum of the areas of its four lateral faces.
Lateral Surface Area of a Prism (LSA) = Sum of areas of four lateral faces.
So, the formula for calculating the lateral surface area of a rectangular prism is given as follows:
Lateral Surface Area of a Rectangular Prism = 2h (l + b) square units
where,
“l” is the length of the side of a base,
“b” is the breadth of the side of a base,
“h” is the height of the prism.
Total Surface Area Formula
The total surface area of a rectangular prism is equal to the sum of the total areas of all its faces.
Total Surface Area of a Prism (TSA) = LSA + 2 × Base area
So, the formula for calculating the total surface area of a rectangular prism is given as follows:
TSA = 2(lb + bh + lh) square units
where,
“l” is the length of the side of a base,
“b” is the breadth of the side of a base,
“h” is the height of the prism.
How to Find the Surface Area of a Rectangular Prism?
Let us go through an example to understand the concept of calculating the surface area of a rectangular prism.
Example: Calculate the surface area of a rectangular prism if its height is 15 units and the length and breadth of the base are 10 units and 6 units, respectively.
Step 1: Note the dimensions of the given rectangular prism. In the given example, the length and breadth of the rectangular prism’s base are 10 units and 6 units, respectively, and its height is 15 units.
Step 2: We know that the surface area of a rectangular prism is equal to 2(lb + bh + lh) square units. Now, substitute the given values of length, breadth, and height in the formula.
Step 3: So, the surface area of the rectangular prism is calculated as, A = 2× (10 × 6 + 6 × 15 + 10 × 15) = 600 sq. units.
Using the above steps Surface Area of a Rectangular Prism is found.
Solved Problems on the Surface Area of Rectangular Prism
Problem 1: Determine the total surface area of a rectangular prism if its lateral surface area is 560 sq. cm and the length and breadth of the base are 12 cm and 8 cm, respectively.
Solution:
Given data,
length of the rectangular base (l) = 12 cm
The breadth of the rectangular base (b) = 8 cm
The lateral surface area of the prism (LSA) = 560 sq. cm
We have,
The total surface area of a prism (TSA) = LSA + 2 × Base area
Base area = 2(l + b)
= 2 × (12 +
= 2 × 20 = 40 sq. cm
Now, TSA = 560 + 2 × 40
= 560 + 80 = 640 sq. cm
Hence, the rectangular prism’s total surface area is 640 sq. cm.
= 2 × 20 = 40 sq. cmProblem 2: Calculate the length of the base of a rectangular prism if its height is 9 inches and the breadth of the base is 4 inches, and the lateral surface area is 198 sq. in.
Solution:
Given data,
The lateral surface area = 198 sq. in
The breadth of the rectangular base (b) = 4 inches
Height = 9 inches
length of the rectangular base (l) =?
We have,
The Lateral Surface Area of a Rectangular Prism = 2h (l + b) square units
⇒ 2 × 9 × (l + 4) = 198
⇒ 18 × (l + 4) = 198
⇒ l + 4 = 198/18 = 11
⇒ l = 11 − 4 = 7 in
Thus, the length of the rectangular prism is 7 inches.
Problem 3: Find the lateral surface area of a rectangular prism if its height is 18 cm and the length and breadth of the base are 14 cm and 10 cm, respectively.
Solution:
Given data,
The length of the rectangular base (l) = 14 cm
The breadth of the rectangular base (b) = 10 cm
Height = 18 cm
We know that,
The Lateral Surface Area of a Rectangular Prism = 2h (l + b) square units
= 2 × 18 × (14 + 10)
= 36 × 24 = 864 sq. cm
Hence, the lateral surface of the given prism is 864 sq. cm.
Problem 4: Determine the surface area of a rectangular prism if its height is 12 cm and the length and breadth of the base are 8 cm and 5 cm, respectively.
Solution:
Given data,
The length of the rectangular base (l) = 8 cm
The breadth of the rectangular base (b) = 5 cm
Height = 12 cm
We have,
The Total Surface Area of a Rectangular Prism = 2(lb + bh + lh) square units
= 2 × (8 × 5 + 5 × 12 + 8 × 12)
= 2 × (40 + 60 + 96)
= 2 × 196 = 392 square units
Hence, the rectangular prism’s surface area is 392 square units.
Problem 5: Determine the surface area of a rectangular prism if its height is 14 units and the length and breadth of the base are 10 units and 7 units, respectively.
Solution:
Given data,
The length of the rectangular base (l) = 10 units
The breadth of the rectangular base (b) = 7 units
Height = 14 units
We have,
The Total Surface Area of a Rectangular Prism = 2(lb + bh + lh) square units
= 2 × (10 × 7 + 7 × 14 + 10 × 14)
= 2 × (70 + 98 + 140)
= 2 × 308 = 616 square units
Hence, the rectangular prism’s total surface area is 616 square units.
FAQs on Rectangular Prism
Question 1: What is meant by a rectangular prism?
Answer:
In mathematics, a rectangular prism is a three-dimensional geometric figure that has four lateral faces with two congruent and parallel bases. The dimensions of a rectangular prism are length, width, and height. It has a total of six faces, twelve edges, and eight vertices.
Question 2: Mention some examples of a rectangular prism.
Answer:
Some examples of rectangular prisms that we see in our everyday lives are fish tanks, notebooks, diaries, cargo containers, rooms, etc.
Question 3: What is the total surface area of a rectangular prism?
Answer:
The total surface area of a rectangular prism is equal to the sum of the total areas of all its faces.
TSA = 2(lb + lh + bh) square units
Where “l” is the length of the side of a base, “b” is the breadth of the side of a base, and “h” is the height of the prism.
Question 4: What is the lateral surface area of a rectangular prism?
Answer:
The lateral surface area of a prism (LSA) is equal to the sum of the areas of its four lateral faces.
So, the formula for calculating the lateral surface area of a rectangular prism is given as follows:
LSA = 2h (l + b) square units
Where “l” is the length of the side of a base, “b” is the breadth of the side of a base, and “h” is the height of the prism.
Related Articles
- Surface Area of a Cuboid
- Surface Area of a Sphere
- Surface Area of a Hemisphere
Как найти площадь прямоугольной призмы
Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани — параллелограммы. Определить площадь поверхности призмы достаточно просто.
Инструкция
Для начала определите, какая именно фигура является основанием призмы. Если в основании призмы лежит, к примеру, треугольник, то она называется треугольной, если четырехугольник — четырехугольной, пятиугольник — пятиугольной и т.д. Поскольку в условии указано, что призма является прямоугольной, следовательно, ее основаниями являются прямоугольники. Призма может быть прямой или наклонной. Т.к. в условии не указывается угол наклона боковых граней к основанию, можно сделать вывод, что она является прямой и боковые грани также являются прямоугольниками.
Для того чтобы найти площадь поверхности призмы, необходимо знать ее высоту и величину сторон основания. Поскольку призма прямая, ее высота совпадает с боковым ребром.
Введите обозначения: АD = а; АВ = b; АМ = h; S1 – площадь оснований призмы, S2 площадь ее боковой поверхности, S – общая площадь поверхности призмы.
Основание — прямоугольник. Площадь прямоугольника определяется как произведение длин его сторон аb. Призма имеет два равных основания. Следовательно, их суммарная площадь равна: S1= 2ab
Призма имеет 4 боковые грани, все они являются прямоугольниками. Сторона АD грани ADHE одновременно является стороной основания АВСD и равняется а. Сторона АЕ является ребром призмы и равняется h. Площадь грани АЕHD равняется аh. Поскольку грань AEHD равна грани BFGC, их суммарная площадь: 2ah.
Грань AEFB имеет ребро AE , которое является стороной основания и равняется b. Другое ребро является высотой призмы и равняется h. Площадь грани равна bh. Грань AEFB равна грани DHGC. Их суммарная площадь равна: 2bh.
Площадь всей боковой поверхности призмы: S2 = 2ah+2bh.
Таким образом, площадь поверхности призмы равняется сумме площадей двух оснований и четырех ее боковых граней: 2ab + 2ah + 2bh или 2(ab + ah + bh). Задача решена.
Источники:
- прямоугольная призма
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Прямоугольная призма – название, используемое для обозначения шестигранного объекта, напоминающего обычную коробку. Представьте себе кирпич или коробку из-под обуви, и вы будете точно знать, что такое прямоугольная призма. Площадь поверхности призмы – это суммарная площадь всех ее граней. Вычисление площади поверхности призмы аналогично ответу на вопрос «сколько бумаги понадобится для того, чтобы обернуть эту коробку?».
-
1
Отметьте длину, ширину и высоту призмы. У каждой прямоугольной призмы есть длина, ширина и высота. Нарисуйте призму и подпишите ее различные ребра латинскими буквами l, w и h.
- Если вы не уверены, как отметить какое ребро, выберите любой угол призмы. Отметьте соответствующими буквами три ребра, выходящие из этого угла.
- Пусть, например, основанием призмы является прямоугольник 3 на 4 сантиметра, а высота призмы составляет 5 сантиметров. Так как длинная сторона основания равна 4 сантиметрам, получаем l = 4, w = 3 и h = 5.
-
2
Взгляните на шесть граней призмы. Чтобы покрыть всю поверхность фигуры, необходимо закрасить все ее шесть граней. Представьте себе каждую грань, либо возьмите коробку из-под овсяных хлопьев и посмотрите на нее:
- По одной грани расположено сверху и снизу, причем они имеют одинаковый размер.[1]
- По одной грани находится впереди и сзади, их площади равны.
- По грани расположено слева и справа, они также одинаковы.
- Если вам сложно представить эту картину, разрежьте коробку по краям и разверните ее.[2]
- По одной грани расположено сверху и снизу, причем они имеют одинаковый размер.[1]
-
3
Найдем площадь основания призмы. Для начала узнаем площадь лишь одной грани, а именно, нижней. Эта грань, как и все остальные, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника была отмечена вами как длина, а вторая – как ширина. Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо перемножить длину двух его сторон. Таким образом, Площадь (нижней грани) = длина, умноженная на ширину = lw.
- Возвращаясь к нашему примеру, для площади основания призмы получаем 4 сантиметра x 3 сантиметра = 12 квадратных сантиметров.
-
4
Найдем площадь верхней грани. Но подождите – мы же установили, что верхняя и нижняя грань имеют одинаковую площадь. Таким образом, площадь верхней грани также равна lw.
- В нашем примере площадь верхней грани составляет 12 квадратных сантиметров.
-
5
Определим площадь передней и задней граней. Вернемся к нашему рисунку и взглянем на переднюю грань: ее сторонами являются ширина и высота. Таким образом, площадь передней грани = ширина, умноженная на высоту = wh. Площадь задней грани также составляет wh.
- В нашем примере w = 3 сантиметра и h = 5 сантиметров, поэтому площадь передней грани составляет 3 сантиметра x 5 сантиметров = 15 квадратных сантиметров. Площадь задней грани также равна 15 квадратным сантиметрам.
-
6
Вычислим площадь левой и правой граней. Их размер одинаков, поэтому достаточно найти площадь левой грани. Она ограничена длиной и высотой призмы. Таким образом, площадь левой грани составляет lh; площадь правой грани также равна lh.
- В нашем примере l = 4 сантиметра и h = 5 сантиметров, так что площадь левой грани = 4 сантиметра x 5 сантиметров = 20 квадратных сантиметров. Площадь правой грани также равна 20 квадратным сантиметрам.
-
7
Сложим найденные площади. Итак, мы нашли площадь каждой из шести граней призмы. Сложив их вместе, найдем площадь поверхности всей призмы: lw + lw + wh + wh + lh + lh. Эту формулу можно использовать для вычисления площади поверхности любой прямоугольной призмы.
- Завершая рассмотрение нашего примера, найдем площадь приведенной в нем призмы, сложив все синие числа, полученные ранее: 12 + 12 + 15 + 15 + 20 + 20 = 94 квадратных сантиметра.
Реклама
-
1
Упростим формулу. Мы уже знаем, как вычислить площадь поверхности любой прямоугольной призмы. Однако это можно сделать быстрее, если провести несложные алгебраические преобразования. Начнем с полученного выше уравнения: Площадь прямоугольной призмы = lw + lw + wh + wh + lh + lh. Объединяя одинаковые слагаемые, получаем:
- Площадь прямоугольной призмы = 2lw + 2wh + 2lh
-
2
-
3
Проверим полученную формулу на нашем примере. Вернемся к рассмотренной ранее призме в виде коробки с длиной 4, шириной 3 и высотой 5 сантиметров. Подставим эти числа в нашу формулу:
- Площадь = 2(lw + wh + lh) = 2 x (lw + wh + lh) = 2 x (4×3 + 3×5 + 4×5) = 2 x (12 + 15 + 20) = 2 x (47) = 94 квадратных сантиметра. Этот ответ совпадает с тем, что мы получили ранее. С помощью данного уравнения площадь поверхности прямоугольной призмы можно вычислить намного быстрее.
Реклама
Советы
- Площадь всегда измеряется в «квадратных единицах», таких как квадратные сантиметры или квадратные дюймы.[3]
Квадратный сантиметр в точности соответствует своему названию: это площадь квадрата с длиной стороны 1 сантиметр. Если площадь поверхности призмы равна 50 квадратным сантиметрам, это значит, что для покрытия всей поверхности призмы понадобится ровно 50 таких квадратов. - Некоторые учителя вместо понятия «ширина» используют термин «глубина» призмы. Это неважно, лишь бы вы ясно различали три отдельные ребра призмы.
- Если вы не уверены в том, где у призмы верх, высотой можно назвать любое из трех ребер. За длину обычно принимают самое длинное ребро, но и это не столь важно. Главное, пользоваться одними и теми же обозначениями на протяжении всего решения задачи.[4]
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 36 021 раз.
Была ли эта статья полезной?
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.
-
Формула площади правильной призмы
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной призмы
- 3. Площадь правильной четырехугольной призмы
- 4. Площадь правильной шестиугольной призмы
- Примеры задач
Формула площади правильной призмы
1. Общая формула
Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.
Sбок. = Pосн. ⋅ h
Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.
2. Площадь правильной треугольной призмы
Основание: равносторонний треугольник.
| Площадь | Формула |
| основание |  |
| боковая поверхность | Sбок. = 3ah |
| полная |  |
microexcel.ru
3. Площадь правильной четырехугольной призмы
Основание: квадрат.
| Площадь | Формула |
| основание | Sосн. = a2 |
| боковая поверхность | Sбок. = 4ah |
| полная | Sполн. = 2a2 + 4ah |
microexcel.ru
Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a2. А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a2.
4. Площадь правильной шестиугольной призмы
Основание: правильный шестиугольник
| Площадь | Формула |
| основание |  |
| боковая поверхность | Sбок. = 6ah |
| полная |  |
microexcel.ru
Примеры задач
Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:
Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см2. Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.
Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:
Призма
Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.
Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.
Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
$С_1Н$ — высота
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$P_{осн}$ — периметр основания;
$S_{осн}$ — площадь основания;
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;
$h$ — высота призмы.
$S_{бок}=P_{осн}·h$
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$
$V=S_{осн}·h$
В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник.
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
В основании лежит четырехугольник
1. Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
2. Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
3. Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.
Рассмотрим площади правильных многоугольников:
1. Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
2. Квадрат
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
$S=6·S_{треугольника}={6·a^2√3}/{4}={3·a^2√3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.
Пример:
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.
Решение:
Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.
Распишем формулу площади полной поверхности:
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=P_{осн}·h+2S_{ромба}$
В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$
Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.
$АВ=√{5^2+12^2}=√{25+144}=√{169}=13$
$Р=13·4=52$
Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
$S_{основания}={d_1·d_2}/{2}={10·24}/{2}=120$
Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:
$S_{п.п}=P_{осн}·h+2S_{ромба}=52·20+2·120=1040+240=1280$
Ответ: $1280$
Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.
$S_{бок}=P_{осн}·h=2πRh$
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=2πRh+2πR^2=2πR(h+R)$
$V=S_{осн}·h=πR^2 h$
Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.
$MN {//} AC, MN = {AC}/{2}$
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Прямоугольный треугольник и его свойства:
В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
- Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
- Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2+BC^2=AB^2$
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
- Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$
$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosβ;$
$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$