Как найти площадь прямоугольника через теорему пифагора

План урока:

Теорема Пифагора

Задачи на применение теоремы Пифагора

Пифагоровы тройки

Обратная теорема Пифагора

Формула Герона

Теорема Пифагора

Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:

Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:

Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.

Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S₂. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:

Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:

Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:

Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:

Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:

Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.

Решение. Запишем теорему Пифагора:

Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?

Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:

Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.

На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.

Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.

Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.

Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:

Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось иррациональное число. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами. Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с квадратными корнями.

Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.

Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:

Докажем, что получившийся квадрат (его стороны отмечены синим цветом) вдвое больше исходного квадрата. Пусть сторона изначального квадрата равна х.Тогда его площадь составляет х². Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треуг-ка, в которых она является гипотенузой.

Запишем для одного из них теорему Пифагора:

Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с²– это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х² – площадь маленького:

Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:

Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.

Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:

Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.

Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:

10:2 = 5

Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:

Задачи на применение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора используется в огромном количестве геометрических задач. С ее помощью можно находить диагонали некоторых четырехуг-ков, длины высот, вычислять площади.

Задание. Стороны прямоуг-ка имеют длину 8 и 15 см. Найдите длину его диагонали.

Решение. Рассмотрим произвольный прямоугольник АВСD. Если в нем провести диагональ ВD, то получится прямоугольный треуг-к АВD. Пусть АВ = 15, АD = 8. Запишем теорему Пифагора для ∆АВD:

Задание. В равнобедренном треуг-ке основание имеет длину 16 см, а боковые стороны составляют 17 см. Найдите длину высоты, проведенной к основанию этого треуг-ка, а также площадь треуг-ка.

Решение. Напомним, что высота, опущенная к основанию равнобедренного треуг-ка, одновременно является и медианой, и биссектрисой. Это значит, что Н – середина АВ. Тогда можно найти длину отрезков АН и НВ:

Теперь можно рассмотреть ∆АСН. Он прямоугольный, и нам известно его гипотенуза (она является боковой стороной ∆АВС и по условию равна 17 см) и катет АН. Тогда можно найти и второй катет, то есть высоту СН:

Задание. Высота равностороннего треуг-ка составляет 4 см. Найдите его сторону.

Решение. Напомним, что в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°. Также учтем, что высота в равностороннем треуг-ке является также и биссектрисой и медианой:

Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, и один из его углов составляет 60°. Значит, другой угол составляет 30°. Но в таком треуг-ке гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против ∠30°:

Обратите внимание, мы специально домножили дробь на корень из 3, чтобы корень оказался в числителе, а не знаменателе. Т.к. в таком виде проще работать с квадратными корнями.

Итак, мы нашли АН. Теперь можно найти сторону АС, которая вдвое длиннее:

Задание. Составьте формулу для нахождения площади равностороннего треуг-ка, если известна только его сторона.

Решение. Обозначим сторону треуг-ка буквой а. Для вычисления площади необходимо найти высоту:

Как и в предыдущей задаче, отрезок АС вдвое длиннее АН:

Высоту мы нашли. Осталось найти площадь:

Задание. В прямоугольном треуг-ке, катеты которого имеют длину 60 и 80, проведена высота к гипотенузе. Найдите высоту гипотенузы, а также длину отрезков, на которые эта высота разбивает гипотенузу.

Решение. Найдем длину гипотенузы ВС:

Осталось найти длины отрезков СН и НВ. Для этого необходимо записать теорему Пифагора для ∆АСН и ∆АНВ, которые являются прямоугольными. Начнем с ∆АСН:

Аналогично работаем и с ∆АНВ:

Можно проверить себя. Отрезки НВ и СН вместе составляют отрезок СВ, поэтому должно выполняться равенство:

Задание. Диагонали ромба равны 10 и 24 см. Чему равна его сторона?

Пусть в ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, причем АС = 24 см, а ВD = 10 см.Напомним, что диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся при этом на одинаковые отрезки. Следовательно, ∆АВО прямоугольный. Найдем его катеты:

Задание. Основания равнобедренной трапеции имеют длину 20 и 10, а боковая сторона имеет длину 13. Найдите площадь трапеции.

Решение. Опустим на большее основание две высоты:

В итоге получили прямоуг-к АВКН. Его противоположные стороны одинаковы, поэтому

∆АНD и ∆ВКС равны друг другу, ведь это прямоугольные треуг-ки с одинаковой гипотенузой (АD = ВС, ведь это равнобедренная трапеция) и равным катетом (АН = ВК как стороны прямоуг-ка). Это значит, что DH = КС. Но эти отрезки вместе с НК составляют CD. Это позволяет найти DH и KC:

Зная высоту трапеции и ее основания, легко найдем и ее площадь:

Пифагоровы тройки

Возможно, вы уже заметили, что в большинстве школьных задач на применение теоремы Пифагора используются треуг-ки с одними и теми же сторонами. Это треуг-к, чьи стороны имеют длины

Их использование обусловлено тем, что все их стороны выражаются целыми числами. В задачах же, например, с равнобедренным прямоугольным треуг-ком хотя бы одна из сторон обязательно оказывается иррациональным числом.

Прямоугольные треуг-ки, у которых все стороны являются целыми, называют пифагоровыми треугольниками, а длины их сторон именуются пифагоровыми тройками. Получается, что пифагоровыми называются такие тройки натуральных чисел а, b и с, которые при подстановке в уравнение

обращают его в справедливое равенство.

Для удобства такие тройки иногда записывают в скобках.

Например, тройка чисел (3; 4; 5)– пифагорова, так как

Задание. Определите, какие из следующих троек чисел являются пифагоровыми:

Несложно догадаться, что пифагоровых троек существует бесконечно много. Действительно, возьмем тройку (3; 4; 5). Далее умножим все числа, составляющие ее, на два, и получим новую тройку (6; 8; 10), которая также пифагорова. Умножив исходную тройку на 3, получим тройку (9; 12; 15), и она снова пифагорова. Вообще, умножая числа пифагоровой тройки на любое натуральное число, всегда будем получать новую пифагорову тройку. А так как натуральных чисел бесконечно много, то и троек Пифагора также бесконечное количество.

Отдельно выделяют понятие примитивной пифагоровой тройки. Эта такая тройка, числа которой являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей. Другими словами, примитивная тройка НЕ может быть получена из другой тройки простым умножением ее чисел на натуральное число. В частности, тройка (3; 4; 5)является примитивной, а «производные» от нее тройки (6; 8; 10) и (9; 12; 15) уже не примитивные.

Интересно, что примитивных троек также бесконечно много. Ещё Евклид предложил алгоритм для их поиска, который, однако, не изучается в рамках школьного курса геометрии.

Задание. Докажите, что у любого прямоугольного треуг-ка с целыми длинами сторон все эти длины не могут быть нечетными числами.

Предположим, что такой треуг-к существует. Пусть его стороны равны a, b и c, и эти числа нечетны. Тогда должно выполняться уравнение:

Заметим, что квадрат нечетного числа также является нечетным числом. Поэтому числа а², b² и с² – нечетные. Однако сумма нечетных чисел является уже четной. Поэтому выражение а² + b² четное. Таким образом, получается, что равенство

не может быть верным, ведь его левая часть четна, а правая – нечетна. Поэтому пифагоров треуг-к с тремя нечетными сторонами существовать не может.

Обратная теорема Пифагора

По теореме Пифагора из того факта, что в треуг-ке есть прямой угол, следует следующее соотношение между длинами его сторон:

Оказывается, верно и обратное: если в произвольном треуг-ке одна сторона (очевидно, большая из них) равна сумме квадратов двух других сторон, то из этого следует, что такой треуг-к является прямоугольным.

Это утверждение называют обратной теоремой Пифагора. Докажем её. Пусть есть некоторый ∆АВС, для сторон которого выполняется равенство

Так как ∆А₁В₁С₁ прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора. Найдем с ее помощью гипотенузу:

а именно это мы и доказываем.

Уточним разницу между собственно теоремой Пифагора и только что доказанной обратной ей теореме. В каждой теореме есть две ключевые части:

1) некоторое условие, которое описывает какое-то геометрическое построение;

2) вывод (или заключение), который делается для условия.

В самой теореме Пифагора в качестве условия описывается прямоугольный треугольник. Для него делается вывод – катеты, возведенные в квадрат, в сумме дадут квадрат гипотенузы.

В обратной же теореме условие и вывод меняются местами. В роли условия описывается треугольник, у которого большая сторона, возведенная во 2-ую степень, равна сумме двух других сторон, также возведенная в квадрат. Для этого описания делается вывод – такой треугольник обязательно должен быть прямоугольным.

Заметим, что не всякая обратная теорема является справедливой. Например, одна из простейших теорем гласит – если углы вертикальные, то они равны. Сформулируем обратную теорему – если углы равны, то они вертикальные. Понятно, что это неверное утверждение.

Задание. Выясните, является ли треуг-к прямоугольным, если его стороны имеют длины:

Решение. Здесь надо просто проверить, являются ли эти числа пифагоровыми тройками. Если являются, то соответствующий треуг-к окажется прямоугольным.

Задание. В ∆КМР проведена биссектриса МН. Её длина 12. КМ = 13 и КН = 5. Найдите МР.

Решение. Рассмотрим ∆МНК. Его стороны равны 5, 12 и 13. Но это одна из пифагоровых троек:

Отсюда следует, что треуг-к прямоугольный, причем МК – гипотенуза (гипотенуза – это длиннейшая сторона). Тогда ∠Н = 90°. Но это означает, что биссектриса МН ещё и высота. Но если в треугольнике одна линия одновременно и медиана, и высота, то это равнобедренный треуг-к, причем КР – его основание. Тогда

Формула Герона

Невозможно построить два треугольника с тремя одинаковыми сторонами. Это значит, что теоретически знания трех сторон треугольника достаточно, чтобы найти его площадь. Но как это сделать? Здесь может помочь формула Герона, которая выводится с помощью теоремы Пифагора.

Пусть стороны треуг-ка равны а, b и с, причем с не меньше, чем а и b. В любом треуг-ке есть хотя бы два острых угла, а тупой угол, если он есть, лежит против большей стороны. Это значит, что оба прилегающих кс угла – острые. Отсюда следует, что высота, опущенная нас, будет лежать внутри треуг-ка. Обозначим длину этой высоты как h. Пусть она разобьет сторону сна два отрезка длиной х и у:

По рисунку можно записать три уравнения:

Левая часть одинакова в обоих уравнениях, значит, равны и правые:

С учетом этого выразим h²:

Мы уже выразили высоту (точнее, ее квадрат) через длины сторон. Однако обычно в этой формуле производят замену и вводят число р, равное полупериметру треуг-ка, то есть

Площадь треуг-ка вычисляется по формуле:

Запоминать вывод формулы Герона не надо. Саму формулу всегда можно найти в любом справочнике по геометрии или в Интернете. Достаточно запомнить, что площадь любого треуг-ка можно вычислить, если известны все его стороны.

Задание. Стороны треуг-ка имеют длину 9, 7 и 8 см. Какова его площадь?

Решение. Пусть а = 9; b = 8; с = 7. Для использования формулы Герона сначала вычислим половину периметра треуг-ка:

Итак, сегодня мы узнали о теореме Пифагора. Она представляет собой соотношение, которое связывает катеты и гипотенузу в прямоугольном треуг-ке. Это соотношение помогает в исследованиях других фигур – квадратов, параллелограммов, трапеций. Также с его помощью выведена формула Герона, которая позволяет вычислять площадь треуг-ка, зная только длины его сторон.

Площадь прямоугольника очень часто требуется найти в задачах по геометрии. И не только — в повседневной жизни очень многие плоскости имеют форму прямоугольника и надо найти площадь прямоугольника. Как это сделать? Давайте рассмотрим все формулы и примеры.

Мы учимся вычислять площадь прямоугольника или площадь прямоугольника в школе. Однако, когда вы станете старше, вполне возможно, что вы не будете помнить, как найти площадь прямоугольника. Для начала давайте вспомним, что такое прямоугольник.

Что такое прямоугольник

Давайте не будем «срезать углы». Чтобы иметь возможность вычислить площадь прямоугольника, естественно, что мы сначала знаем, что это такое. Поэтому для начала необходимо помнить, что прямоугольник является четырехугольником. Другими словами, это геометрическая фигура, которая имеет четыре стороны и четыре прямых угла. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину. Две самые длинные стороны представляют его длину, а две другие стороны представляют его ширину.

Не все четырехугольники являются прямоугольниками. Действительно, обязательно, чтобы они имели следующие свойства, чтобы мы могли сказать, что это действительно прямоугольник:

Характеристики прямоугольника

Противоположные стороны должны быть параллельны.

• Диагонали прямоугольника должны быть одинаковой длины. Они также пересекаются в своей середине.
• Точка пересечения диагоналей прямоугольника называется центром симметрии.
• Кроме того, прямоугольник также является параллелограммом, так как его стороны попарно параллельны. Однако это частный случай параллелограмма. На самом деле он имеет четыре прямых угла, и его две параллельные стороны не должны иметь одинаковую длину. В противном случае все четыре стороны имеют одинаковую длину — тогда мы говорим о квадрате.

Формула площади прямоугольника

Как рассчитать площадь прямоугольника? Обратите внимание, что базовую формулу для вычисления площади (или площади) прямоугольника очень легко запомнить. Вы просто должны умножить его длину на ширину.

Например, площадь прямоугольника длиной 4 сантиметра и шириной 2 сантиметра равна 4 x 2 = 8 см².

Принцип расчета площади прямоугольника

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, мы посчитаем количество единиц областей, которые содержит прямоугольник:

В прямоугольнике выше 12 квадратов по 1 см². Его площадь составляет 12 см² (4 х 3).

Примечание. В этом расчете длина L и ширина l прямоугольника должны быть выражены в одной и той же единице длины. Результат будет выражен в той же единице измерения, возведенной в квадрат. Например, если длина прямоугольника выражена в метрах, ширина также должна быть выражена в метрах, а результат формулы для расчета площади прямоугольника даст результат в квадратных метрах (м²).

Площадь прямоугольника эквивалентна его территории. Территория — это термин, используемый для обозначения меры площади земли (мы используем единицу измерения гектар, а не м²). Гектар — это метрическая мера земельной площади, равная 10 000 м².

Пример расчета

Как рассчитать площадь прямоугольника, если мы знаем только одну сторону и диагональ

Можно определить площадь прямоугольника другим способом. Формула, которая была изложена ранее, не является единственным методом, который можно использовать. Действительно, вполне возможно сделать это по-другому. Для этого нам нужно будет, по крайней мере, измерить только одну сторону и необходимо знать длину диагонали. В этом случае мы делаем расчет, используя теорему Пифагора.

Что такое теорема Пифагора

Это формула, которая используется для определения длины третьей стороны прямоугольного треугольника, когда вы уже знаете значение двух других его сторон.

Обратите внимание, что прямоугольник состоит из двух прямоугольных треугольников. Действительно, диагональ представляет гипотенузу этого типа треугольника.

Кроме того, это также самая длинная сторона, которую можно найти на рисунке. Длина и ширина, с другой стороны, представляют две другие его стороны (скажем, смежные стороны). Это причина, почему можно использовать эту формулу для определения площади прямоугольника.

Теорема Пифагора основана на довольно простом уравнении, которое выглядит следующим образом: a² + b² = c². Где a и b используются для представления двух соседних сторон — катетов прямоугольного треугольника, а c представляет гипотенузу треугольника.

Чтобы полностью понять использование этой формулы, мы начнем с очень конкретного примера. Для этого предположим, что диагональ прямоугольника 10 см, а другая сторона 6 см. Если мы ссылаемся на формулу a² + b² = c², следовательно, сторона «a» составляет 6 см, а гипотенуза «c» — 10 см. Теперь нам нужно просто заменить буквенные значения числовыми значениями, которые у нас есть. Что дает нам:

Была ли эта статья полезной?

Площадь прямоугольника

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы расскажем, как вычислять площадь прямоугольника.

Различные формулы вычисления площади (а их действительно немало), изучают в 8 классе школы.

Что такое площадь прямоугольника

Но для начала давайте все-таки дадим основные определения:

Прямоугольник – это геометрическая фигура, относящаяся к категории четырехугольников. Ее отличительная особенность в том, что противоположные стороны лежат на параллельных прямых (то есть параллельны друг другу) и равны.

Прямоугольник является параллелограммом (что это такое?) и выглядит вот так:

А частным случаем прямоугольника, если у него все стороны равны между собой, является квадрат.

Площадь любой геометрической фигуры, формально говоря, это ее размер. Другими словами, размер того пространства, которое находится внутри границ фигуры.

В отношении четырехугольников применимо еще понятие «квадратура». С его помощью показывали, сколько квадратов вместится внутрь фигуры.

Собственно, отсюда и пошло современное обозначение площадей, когда речь идет о габаритах помещения или какой-то территории. Мы часто слышим «столько-то квадратных метров (миллиметров, сантиметров, километров)» или просто «столько-то квадратов».

Для площади геометрических фигур действуют определенные правила:

1. Она не может быть отрицательной.
2. У равных фигур всегда равные площади.
3. Если две фигуры не пересекаются друг с другом, то их общая площадь равна сумме площадей фигур по отдельности.
4. Если одна фигура вписана в другую, то ее площадь всегда меньше, чем у второй.

Обычно фигуры, которые имеют равные площади, называют «равновеликими».

Как найти площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника вычисляется по очень простой формуле – надо лишь перемножить его стороны.

Возьмем, к примеру, такой прямоугольник:

Площадь геометрической фигуры обычно обозначается латинской буквой «S». И тогда формула для конкретного примера будет:

Например, если мы имеем прямоугольник со сторонами 2 и 3 сантиметра, то его площадь составит 2 * 3 = 6 сантиметров.

Но бывают случаи, когда неизвестны размеры сторон прямоугольника, а площадь вычислить все равно надо. Для этого существуют более сложные формулы.

Формула площади прямоугольника через периметр

Если известна длина только одной стороны, но известен еще и периметр прямоугольника.

В этом случае есть два варианта.

1. Первый — вычислить длину второй стороны. Для этого надо вспомнить, что периметр (обозначается буквой «Р») считается по формуле:

   

   И тогда обратные расчеты выглядят вот так:

   

   Ну а после того, как станет известна длина второй стороны прямоугольника, можно прибегнуть к классической формуле.

2. Ну и второй вариант – воспользоваться сразу готовой формулой:

   

Площадь прямоугольника через диагональ

1. Известна одна сторона и длина диагонали.

   Тут опять же есть два варианта. В первом случае вычисляем длину второй стороны, используя теорему Пифагора.

   

   

   Второй вариант – опять же сразу прибегнуть к готовой формуле:

   

2. Если известны длина диагоналей и угол между ними.

   

   В этом случае стоит воспользоваться вот такой формулой:

   

Вот и все, что нужно знать о вычислении площади прямоугольников.