Математика
5 класс
Урок №30
Площадь прямоугольника. Единицы площади
Перечень рассматриваемых вопросов:
— понятие площади фигуры;
-единицы измерения площади;
— площадь прямоугольника, квадрата;
— приближенное измерение площади фигуры на клетчатой бумаге.
Тезаурус
Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Площадь прямоугольника– число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в прямоугольнике.
Основная литература
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы.// И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сегодня мы начнём занятие с задачи. Представим, что две девочки пришли в магазин, чтобы купить в подарок подруге на день рождения коробку конфет. На витрине были разложены самые разные наборы сладостей. Девочки решили купить ту коробку, которая больше. А какая из них больше? Как это измерить? Можно сравнить коробки по длине и ширине или просто положить их друг на друга. Но одна коробка оказалась длиннее, а другая – шире. Какая же из них больше? Как это узнать?
Чтобы ответить на эти вопросы, мы поговорим о вычислении площади прямоугольника.
Для начала введём понятие площади фигуры.
Если какую-нибудь площадь можно разбить на n квадратов со стороной, например, 1 см, то получится, что площадь фигуры равна n см2.
За единицу измерения площадей принимают не только квадратный сантиметр, но и квадратный миллиметр, квадратный дециметр, квадратный метр.
Это площади квадратов, длины сторон которых равны одному миллиметру, одному дециметру и одному метру соответственно.
Далее покажем, что подразумевается под площадью прямоугольника.
Площадью прямоугольника называют число, которое показывает, сколько квадратных единиц содержится в прямоугольнике.
Называя величину площади, необходимо указывать единицу измерения.
Например, прямоугольник состоит из пятнадцати квадратов; площадь каждого квадрата составляет 1 см2. Следовательно, площадь всего прямоугольника равна 15 см2.
S = 15 см2
Решим задачу.
Найдём площадь прямоугольника ABCD, который имеет длину АВ = 6 см и ширину ВС = 7 см. Для этого разделим его на квадратные сантиметры. Сосчитаем, сколько квадратных сантиметров в нём содержится.
В прямоугольнике ABCD квадратный сантиметр содержится сорок два раза – значит, его площадь равна: S = 42 см2 = 6 см · 7 см = АВ · ВС.
Поэтому можно ввести формулу для нахождения площади прямоугольника.
Чтобы найти площадь прямоугольника S, нужно умножить его длину a на ширину b.
S = а · b
Так как квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны, то его площадь можно вычислить как квадрат его стороны а.
S = а · а = а2
Далее найдём соотношение между единицами измерения площадей.
Так как 1 см = 10 мм, следовательно, 1 см2 = 102 мм2 = 100 мм2.
Соответственно, 1 дм2 = 102 см2 = 100 см2
1 м2 = 102 дм2 = 100 дм2
1 км2 = 10002 м2 = 1000000 м2.
Для измерения небольших площадей земельных участков используют специальную единицу измерения– ар, которая равна площади квадрата со стороной десять метров. В обиходе ар называют соткой, так как один ар– это сто квадратных метров.
1 ар = 102 м2 = 100 м2
Для обмера больших земельных территорий ввели единицу один гектар, которая соответствует площади квадрата со стороной сто метров.
1 га = 1002 м2 = 10000 м2 = 100 а
Решим задачу.
Найдём площадь прямоугольника.
При измерении окажется, что стороны с недостатком приближенно равны трём и пяти сантиметрам. Значит, площадь прямоугольника больше, чем произведение этих сторон, то есть пятнадцати квадратных сантиметров.
S (с недостатком) = 3 · 5 = 15 см2
Если взять стороны в приближении с избытком, то есть четыре и шесть сантиметров, то площадь будет меньше произведения сторон, а именно равна двадцати четырём квадратным сантиметрам.
S (с избытком) = 4 · 6 = 24 см2
Таким образом, площадь этого прямоугольника варьируется от пятнадцати до двадцати четырёх квадратных сантиметров.
15 см2 < S < 24 см2
Отметим, что равные прямоугольники имеют равную площадь.
Сравним площади закрашенных квадратов, изображённых на рисунке.
Решение: если посмотреть внимательно на рисунок, то можно заметить, что все фигуры расположены в одинаковых квадратах со стороной 9 клеток, следовательно, площади этих квадратов одинаковы. На верхнем рисунке шесть фигур – два квадрата и четыре треугольника. На нижнем рисунке пять фигур – квадрат и четыре треугольника.
Далее внимательно посмотрим на треугольники – все они одинаковы, следовательно, их площади одинаковы. И, если из больших квадратов, в которых расположены наши фигуры, мы отнимем сумму площадей равных треугольников, получится, что площади оставшихся фигур (квадратов) верхней и нижней части равны.
Примеры заданий из Тренировочного модуля
№ 1. В квадрате все стороны равны 5 см. Чему равна площадь квадрата?
Решение: Для нахождения площади квадрата воспользуемся следующей формулой:
S = а2 = 5см · 5 см = 25 см2
№ 2. Найдите площадь фигуры.
Решение: сначала следует разделить фигуру на три прямоугольника, далее найти площадь каждого по формулеS=а · b, а затем сложить площади трёх фигур. Или можно найти площадь прямоугольника со сторонами 10 см и 3 см, она равна 30 см2. Далее вычислить площадь вырезанной фигуры со сторонами 2см на 1 см, она составляет 2см2. И вычесть 2 см2 из 30см2.
Ответ: 28 см2.
Area is the space occupied inside by the boundary of any figure. It is the total surface covered by the perimeter of the figure. It is measured in square units. It is generally calculated by multiplying the bases of the figure with its length. For example, the area of the room is its length multiplied by its breadth.
In this article we will be learning about, some figures and their areas like the square, rectangle, circle, triangle, and others.
What are Area Formulas?
Area formulas are essential tools used in mathematics to calculate the amount of space enclosed by different two-dimensional shapes. These formulas can be used to find the area of geometric figures such as squares, rectangles, circles, triangles, trapezoids, and ellipses. By using these formulas, we can accurately calculate the area of different shapes, enabling us to solve real-world problems and make important calculations.
Area Formula for Rectangle:
Rectangle is a 2-Dimensional figure which is a quadrilateral, i.e. it has four sides its opposite sides are parallel and equal. All the angles in the rectangle are equal and their measure is 90 degrees. The diagonals of the rectangle are equal and they are perpendicular bisectors of each other.
Rectangle Formula:
The formula for calculating the area of a rectangle is,
- Area of Rectangle (A) = l×b square units
where
l is the length of the rectangle
b is the breadth of the rectangle
Area Formula for Square:
Square is a 2-Dimensional figure which is a quadrilateral, i.e. it has four sides its opposite sides are parallel and all four sides in a square are equal. All the angles in the square are equal and their measure is 90 degrees. The diagonals of the square are equal and they are perpendicular bisectors of each other.
Area of Square
Square Formula:
The formula for calculating the area of a square is,
- Area of Square (A) = a2 square units
where a is the side of the square.
Area Formula for Triangle:
Triangle is the simplest polygon which is made by joining three straight lines. As the name suggests it is a polygon with three angles. The sum of the lengths of all sides of the triangle is the perimeter of the triangle and the space inside the perimeter of the triangle is the area of the triangle.
Triangle Formula:
The formula for calculating the area of a triangle is,
- Area of Triangle (A) = 1/2×bh square units
where
a, b and c are the sides of the square.
h is the height of the square
Area Formula for Circle:
Circle is a geometrical figure with no straight line. It is the locus of the point that is always at a constant distance from the fixed point. The fixed point is called the centre of the circle and the fixed distance is the radius of the circle.
Circle Formula:
The formula for calculating the area of a circle is,
- Area of Circle (A) = πr2 units2
- Perimeter/Circumference of Circle (C) = 2πr units
where
r is the radius of the circle
List of Formulas:
The list of formulas for the areas of the various figures are,
|
Figures |
Formula |
Variables |
|---|---|---|
|
Rectangle |
Area = l×b |
l is the length |
|
Square |
Area = a2 |
a is the side of the square |
|
Triangle |
Area = 1/2×bh |
b is the base |
|
Circle |
Area = πr2 |
r is the radius of the circle |
|
Trapezoid |
Area = 1/2×(a+b)h |
a is the first base |
|
Ellipse |
Area = πab |
a is the radius of major axis |
Examples of Area Formulas Using Different Geometric Shapes
Example 1: Find the area of a rectangle with a length of 5 cm and a breadth of 2 cm.
Solution:
Given,
Length of the Rectangle (l) = 5 cm
Breadth of the rectangle (b) = 2 cmArea of Rectangle(A) = l × b
A = 5cm × 2cm
= 10cm2
Example 2: Find the area of the square park whose side is 4 m.
Solution:
Given,
Side of Square (a) = 4 m
Area of Square = a2
= (4)2 = 16 m2Thus, the area of the square park is 16 m2
Example 3: Find the area of a triangular plate whose height is 6 cm and the base is 6 cm.
Solution:
Given,
Height of Triangle (h) = 6 cm
Base of Triangle (b) = 8 cmArea of Triabgle(A) = 1/2(b × h)
A = 1/2(8 × 6)
= 48/2 = 24 cm2The area of the triangular plate is 24 cm2
Example 4: Find the area of a circular disc with a radius of 1.4 cm.
Solution:
Given,
Radius of Circle (r) = 1.4 cm
Area of Circle(A) = πr2
A = π(1.4)2
= 22/7(1.4)(1.4) = (4.4)(1.4)
= 6.16 cm2The area of the circular disc is 6.16 cm2
FAQs on Area Formulas
Q1: What are Area Formulas?
Answer:
The area formulas are the formulas which are used to find the area of any figure. It is used to find the amount of space occupied by the figure. Generally, the area is represented with the letter ‘A’. and is measured in unit2, i.e. cm2, m2, etc.
Q2: What is the Area Formula For Square?
Answer:
The area formula for a square is the formula to calculate the space occupied by the square. The mathematical formula to calculate the area of the square is,
Area of Square = (side)2
Q3: What is the Area Formula For Rectangle?
Answer:
The area formula for a rectangle is the formula to calculate the space occupied by the rectangle. The mathematical formula to calculate the area of the rectangle is,
Area of Rectangle = Length × Breadth
Q4: What is the Area Formula For Triangle?
Answer:
The area formula for a triangle is the formula to calculate the space occupied by the triangle. The mathematical formula to calculate the area of the triangle is,
Area of Triangle = 1/2(base × height)
Q5: What is the Area Formula For Circle?
Answer:
The area formula for a circle is the formula to calculate the space occupied by the circle. The mathematical formula to calculate the area of the circle is,
Area of Circle = π(radius)2
Q6: What is the Area Formula For Quadrilateral?
Answer:
The area formula for a quadrilateral is the formula to calculate the space occupied by the quadrilateral. The mathematical formula to calculate the area of the quadrilateral is,
Area of Quadrilateral = 1/2 × diagonal× sum of height
Last Updated :
24 May, 2023
Like Article
Save Article
Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую,
что эти фигуры совпадут.
Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.
Площадь квадрата
Запомните!
Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.
S = a · a
Пример:
SEKFM = EK · EK
SEKFM = 3 · 3 = 9 см2
Формулу площади квадрата, зная
определение степени,
можно записать следующим образом:
S = a2
Площадь прямоугольника
Запомните!
Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.
S = a · b
Пример:
SABCD = AB · BC
SABCD = 3 · 7 = 21 см2
Запомните!
Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.
Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.
Площадь сложных фигур
Запомните!
Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.
Задача: найти площадь огородного участка.
Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя
правило выше.
Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.
SABCE = AB · BC
SEFKL = 10 · 3 = 30 м2
SCDEF = FC · CD
SCDEF = 7 · 5 = 35 м2
Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = SABCE + SEFKL
S = 30 + 35 = 65 м2
Ответ: S = 65 м2 — площадь огородного участка.
Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.
Запомните!
Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.
Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольник:
АС — диагональ прямоугольника
ABCD. Найдём площадь треугольников
ABC и
ACD
Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.
SABCD = AB · BC
SABCD = 5 · 4 = 20 см2
S
ABC = SABCD : 2
S
ABC = 20 : 2 = 10 см2
S
ABC =
S
ACD = 10 см2
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
3 декабря 2015 в 22:54
Ирина Петренко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Ирина Петренко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
как написать правильно площадь треугольника?
0
Спасибо
Ответить
9 декабря 2015 в 19:41
Ответ для Ирина Петренко
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
S(рисуешь мини треугольник) = ,,,,,
0
Спасибо
Ответить
На уроках геометрии проходят множество новых тем, одна из них – это как найти площадь прямоугольника. После усвоения формул даются задачи для закрепления материала. В этой статье мы узнаем, как можно найти площадь прямоугольника и рассмотрим некоторые примеры по данной тематике.
Содержание
- Как найти площадь прямоугольника – что представляет собой прямоугольник?
- Площадь прямоугольника – базовая формула
- Доказательство базовой формулы площади прямоугольника
- Площадь прямоугольника – примеры расчета
- Видео: Площадь прямоугольника – геометрия
В школе не все способны усвоить материал, который рассказывает преподаватель на уроке. Потому дома следует еще потренироваться и изучить то, что было непонятно на уроке. Иначе в дальнейшем пропущенные темы не усвоятся в голове ученика и будут большие пробелы в знаниях. Формулы следует знать наизусть, так вы сможете с легкостью решать задачи по геометрии. Как найти площадь прямоугольника – узнаем дальше.
Как найти площадь прямоугольника – что представляет собой прямоугольник?
Прежде чем начать изучение основного материала, следует разобраться, что такое за фигура прямоугольник. Благодаря таким знаниям будет понятно, как можно найти его площадь. Итак, фигура с четырьмя прямыми углами и равными противоположными сторонами – называется прямоугольником. Как видно из правила, что у прямоугольника все углы равны 90º и противоположные стороны между собой равны. Данное утверждение будет применяться для доказательств неких теорем. Причем длинные стороны прямоугольника – это длина фигуры, а те стороны, которые меньше — представляют собой высоту.
ВАЖНО: Не все фигуры с четырьмя углами могут быть прямоугольниками.
И у прямоугольников есть определенные свойства, которые их характеризуют, в частности:
- Стороны, которые находятся напротив друг друга между собой параллельны.
- Линии, проведенные от противоположных углов прямоугольника – диагонали имеют одинаковую длину, а точка пересечения делит их на равные отрезки.
- Еще эта точка в прямоугольнике называется – центром, относительно ее симметричны. Все другие точки, что находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.
- Не стоит также путать прямоугольник с параллелограммом и квадратом. У первого углы не 90º, а у второго абсолютно все стороны равны. Можно также сказать, что прямоугольник – это квадрат и параллелограмм, он подходит под некие характеристики этих фигур.
Площадь прямоугольника – базовая формула
Если свойства прямоугольника уже пройдены, то можно приступать и к изучению формул. Площадь прямоугольника рассчитывается по формуле:
S = a • b и измеряется в квадратных единицах.
Где S – это и есть площадь, а стороны, точнее длина и высота фигуры – это: a и b.
К примеру, прямоугольник AMNK с длиной MN = 8 см и высотой AM = 5 см будет иметь площадь:
S = MN • AM = 8 • 5 = 40 см²
Доказательство базовой формулы площади прямоугольника
Площадь прямоугольника является определенной величиной, которая показывает, сколько требуется места для данной фигуры на плоскости. Если геометрическую фигуру разбить на небольшие зоны величиной один на один сантиметр, как на изображении ниже, то легко можно высчитать значение площади в сантиметрах квадратных.
В прямоугольнике, что выше на картинке всего имеется 15 квадратов. То есть его площадь равна 15 см². И по рисунку видно, чтобы узнать это количество квадратов, следует умножить их число по горизонтали, на число их по вертикали:
5 • 3 = 15 см², а числа 5 и 3 – это стороны прямоугольника.
ВАЖНО: При расчетах все мерки необходимо выражать обязательно в одинаковых единицах меры, то есть если длина выражена в дециметрах или сантиметрах, то и высота выражается в дециметрах или же сантиметрах. А площадь тогда будет выражаться в квадратных единицах.
Площадь прямоугольника – примеры расчета
Площадь прямоугольника можно рассчитывать разными вариантами. В задачах даются определенные данные и их следует подставлять во все формулы, которые изучали до этого, чтобы находить необходимую величину. Давайте рассмотрим один из них. Если в задаче дана длина одной стороны и диагональ прямоугольника, то чему в таком случае будет равняться площадь прямоугольника? Здесь пригодится знание теоремы Пифагора.
Эта теорема о сторонах прямоугольного треугольника. Ее же можно применять и для нахождения сторон в прямоугольнике. Ведь, если известны две величины, то третью уже можно найти, зная предыдущие формулы геометрии. Про углы сейчас речь не будет идти, разберемся сначала со сторонами.
Теорема Пифагора представляет собой простейшее уравнение. В ней говорится, что гипотенуза в квадрате треугольника (или же еще она является самой длинной стороной прямоугольного треугольника), равна сумме квадратов катетов. Уравнение простейшее и записывать его можно так:
b² + a² = c², где обратите внимание, что c – кроме того, что гипотенуза, а еще и диагональ прямоугольника, а отрезки a и b – это стороны прямоугольника и катеты прямоугольного треугольника.
Рассмотрим конкретный пример, чтобы уяснить, как вычислить площадь прямоугольника, когда известны одна сторона, допустим a = 8 сантиметров и диагональ с = 10 сантиметров. Если прямоугольник разбить на два равных прямоугольных треугольника, то вы запросто найдете по теореме Пифагора, чему равен второй катет или сторона фигуры. А уже по этим данным можно найти и саму площадь прямоугольника.
Итак:
- c² = b² + a²
- b² = c² — a²
- b² = 100 — 64
- b² = 36
- b = 6 сантиметров
Когда у прямоугольника известны стороны, то можно применить формулу площади прямоугольника для нахождения ее величины:
S = 6 • 8 = 48 квадратных сантиметров.
На примере видно, что площадь можно находить всяческими методами, главное знать формулы и свойства предыдущих занятий по геометрии и умело их применять на деле.
Видео: Площадь прямоугольника – геометрия
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Прямоугольник — четырехсторонняя фигура с четырьмя прямыми углами, противолежащие стороны которой равны. Все, что нужно сделать для вычисления его площади, — умножить длину на ширину. Хотите знать как это сделать? Читайте дальше.
-
1
Прямоугольник — четырехсторонняя фигура, противолежащие стороны которой равны. Если одна сторона равна 10 см, то и противолежащая будет равна 10 см.
- Любой квадрат также является прямоугольником. Площадь квадрата находится по той же формуле.
-
2
Выучите формулу нахождения площади прямоугольника: S = a * b, где S — площадь, a — длина, b — ширина, то есть, площадь равна произведению сторон.
Реклама
-
1
Найдите длину прямоугольника. Как правило, она указана в задаче, но если нет — найдите ее с помощью линейки.
- Двойные отметки на длинных сторонах означают, что их длины равны.
-
2
Так же найдите ширину прямоугольника.
- Отметки на узких сторонах означают, что их ширины равны.
-
3
Запишите длину и ширину. В нашем примере длина — 5 см, ширина — 4 см.
-
4
Умножьте длину на ширину. Длина — 5 см, ширина — 4 см, вставьте эти числа в формулу S = a * b и вы найдете площадь.
- S = 4 cm * 5 cм
- S = 20 cм^2
-
5
Запишите ответ в квадратных единицах. Ответ: 20 см^2, что означает «двадцать квадратных сантиметров».
- Ответ можно записать как 20 кв. см, так и 20 см^2.
Реклама
-
1
Научитесь использовать теорему Пифагора — она позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника, если известны длины двух других сторон. Можно использовать ее для нахождения гипотенузы, самой длинной из сторон треугольника, а также длины и ширины, образующих прямой угол.
- Прямоугольник имеет четыре прямых угла, и его диагональ образует два прямоугольных треугольника, так что мы можем использовать теорему Пифагора.
- Теорема Пифагора звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть a^2 + b^2 = c^2, где a и b — стороны (катеты) прямоугольного треугольника, а с — гипотенуза, самая длинная сторона.
-
2
Используйте теорему Пифагора для нахождения другой стороны треугольника. К примеру, прямоугольник имеет сторону длиной 6 см и диагональ длиной 10 см. Одна сторона — 6 см, другая — b, гипотенуза — 10 см. Вставьте значения в теорему и решите. Вот, как это делается:
- Пример: 6^2 + b^2 = 10^2
- 36 + b^2 = 100
- b^2 = 100 — 36
- b^2 = 64
- квадратный корень (b) = квадратный корень (64)
- b = 8
- Длина другой стороны треугольника, которая также является другой стороной прямоугольника, — 8 см.
-
3
Найдите площадь прямоугольника. Поскольку для нахождения длины и ширины мы использовали теорему Пифагора, все, что нам нужно, — это помножить длину на ширину:
- Пример: 6 cм * 8 cм = 48 cм^2
-
4
Запишите окончательный ответ в квадратных единицах: 48 cм^2 или 48 кв. см.
Реклама
Советы
- Все квадраты — прямоугольники, но не все прямоугольники — квадраты.
- При нахождении площади ответ всегда нужно записывать в квадратных единицах.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 279 895 раз.