Как найти площадь прямоугольного треугольника по cos

I. Площадь треугольника через синус

Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5

Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону с. По таблице косинусов косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов.
Теперь используя формулу, найдем площадь треугольника по трем сторонам:

Площадь треугольников.

Свойства треугольников. 

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках.

Что такое синус/косинус.

Таблицы Брадиса. Как пользоваться.

Теорема синусов и косинусов.

Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.

Г. Абель

С основными свойствами разобрались, теперь рассмотрим формулы и их приминение.

Площадь произвольного треугольника

Нет, это не кривая пентаграмма, нужны на этом рисунке только обозначения. Рассмотрим формулы школьной программы.

Высоту умножаем на ту сторону, на которую приходит высота:
В эту формулу подставляем угол между сторонами a и b:

Удобно использовать эту формулу, когда известны все стороны треугольника, p — полупериметр (половина суммы длин всех сторон):

Данная формула отлично помогает найти радиус вписанной окружности для любого треугольника, если известна площадь:

А эта формула помогает найти радиус описанной окружности для любого треугольника:

А зачем такое количество формул? К каждой задаче будут предоставлять разное дано, удобно знать и применять все формулы, чтобы максимально быстро решать задачи.

Полезные формулы для прямоугольного и равностороннего треугольника:

В данном случае получается, что один катет «b» — высота треугольника, а катет «а» — основание. 

Эту формулу можно вывести большим количеством способов, самый простой через формулу №2

Задача №1. Дано на рисунке:

Оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Помимо 5 формул для произвольного треугольника, нам подойдет формула нахождения площади через полупроизведение катетов. 

Вариантов здесь много (можно через т. Пифагора), но самый быстрый — найти ∠А = 180°− 90° − 60° = 30°, тогда площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα

Ответ: 60 

Задача №2. Дано на рисунке: 

Снова оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Дан обычный треугольник, значит, наш выбор ограничен первыми 5−ью формулами. В первой нужна высота, во второй угол, а в третьей полупериметр, но мы же знаем все стороны! Для начала найдем периметр и полупериметр:

Теперь можно подставить все числа в формулу площади:

Главное — правильно определиться с формулой. 

Ответ: 84

Задача №3. Дано на рисунке: 

В ΔABH: ∠A = 180°− 90° − 45° = 45°, значит, ∠A = ∠B => BH = AH = 12. 

Тогда площадь можно найти по формуле (1) S=½bh. Высота AH = 12, основание AC = 16+12 = 28. => S = ½×12×28 = 168

Ответ: 168.

Задача №4. Дано на рисунке: 

Оттолкнемся от отношения, которое нам дано. Мы знаем, что сумма данных углов равна 90°, если ∠ACM = х и ∠ВCM = 2х, тогда 2х+х = 90°

∠ACM = х = 30° => ∠ВCM = 60°. А что у нас равно 4-ем? Да, медиана! А медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы (2−ое свойство). Тогда отметим равные углы: 

В ΔBCM получается ∠ВCM = ∠СВM = 60°, тогда ∠СМВ = 60° и ΔBCM — правильный:

Площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα:

Ответ: 8√3

Задача №5. Дано на рисунке: 

В дано есть только стороны, а найти нужно угол. Как это сделать? Вот стороны 14,2 и 7,1 во сколько раз отличаются? Да, в 2 раза, а значит угол ∠BAL = 30° (против угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы). 

Значит, ∠A = 60° => ∠ACB = 180° − 90° − 60° = 30°, а ∠ACB — смежный с ∠ACV => ∠ACV = 180° − 30° = 150°. 

 Что касается LC: внимательно рассмотрим ΔALC, можно даже лупой воспользоваться. Что видишь? ∠LAC = ∠ACL = 30° => ΔALC — равнобедренный, LC = AL = 14,2. 

Ответ: 14,2 и 150°

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках

В прямоугольном треугольнике три стороны: 2 катета и гипотенуза.

Катеты меньшие стороны треугольника. Гипотенуза большая сторона, которая лежит напротив угла в 90°.

Относительно угла α:

Катет, который составляет угол, называют прилежащим. Катет, который находится напротив угла, называют противолежащим. Логично? Замечательно!

Тригонометрические функции (синус, косинус…) задают связь между углом и длинами сторон.

Но хорошо бы знать какие-то значения тригонометрических функций при определенных углах. Все значения вместе образуют таблицу Брадиса. С ее помощью можно вычислить почти любое значение тригонометрической функции при заданом угле. Но как с ней работать?

Найдем sin(10°). Для этого выберем столбец sin и в нем найдем 10°. Ближайшее значение — это то, что нам нужно — 0,1736.

А что за столбец 0′; 6′; 12′ и т.д. Это минуты! Не те, которых мы ждем в конце урока, а градусные минуты. 

Из общего: и те, и другие минуты измеряются в промежутке от 0 до 60. 

Градусные минуты делят один градус на 60 минут (1°=60′), нужны они для большей точности задания угла.

p.s. Есть еще и градусные секунды, и в одной градусной минуте 60 градусных секунд, знакомо? 1° = 60′ = 3600».

Найдем cos(77,7°) 

Семь десятых градуса нужно перевести в минуты. Можно через пропорцию:

Теперь в таблице нужно найти 77°42′ для косинуса. Для синуса минуты прописаны, а для косинуса нет. Но мы же люди не гордые, сами напишем, но в обратном порядке. На пересечении 77° и 42′ получаем наше значение:

Но чтобы не загромождать таблицу 0, его в начале пишут только в первых строчках, поэтому ответ cos(77,7°) = 0,213.

В задачах же таким обилием углов похвастаться нельзя, достаточно знать значения для 30°; 45°; 60°; 90°.

Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов — иногда, 

даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.

И.Д. Новиков

Задача №6. Дано на рисунке: 

В этой задаче известен противолежащий катет относительно угла в 45°, а найти нужно гипотенузу. Смотрим, где у нас есть противполежащий катет и гипотенуза? Это синус! 

Смотрим в таблице, чему равен синус 45°, и подставляем в отношение:

Ответ: 16√2

Задача №7. Дано на рисунке: 

Мы разобрались с тригонометрическими функциями в прямоугольных треугольниках, значит, и в этой задаче нужно перейти к прямоугольному треугольнику.

В ΔLTK — равнобедренный : ∠L = ∠LKT = (180° − 120°)/2 = 30°

Отлично, в прямоугольном ΔLVK: ∠L = 30° и известна гипотенуза, а нам нужно найти противолежащий катет, чем воспользуемся? Опять синусом!

Ответ: 15

Теорема синусов и теорема косинусов

Сразу возникает вопрос, а теорема тангенсов тоже есть? Конечно, есть, но она очень редко используется.

Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема синусов:

Запомни, что сторона относится к синусу противолежащего угла.

Следствие из теорма синусов гласит, что любое соотношение равно двум радиусам описанной окружности:

Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема косинусов:

А что будет, если α = 90°, а cos(90) = 0? Получится:

Теорема Пифагора, вот так просто можно запомнить теорему косинусов. Начать как теорему Пифагора, а затем вычесть удвоенное произведение на косинус угла между ними.

Можно записать и для других сторон в этом же треугольнике:

Задача №8. Дано на рисунке:

Запишем теорему синусов для двух отношений:

Выразим отсюда KT:

∠K = 180° − 60° − 45° = 75°. Чтобы найти синус угла 75°, советую посмотреть эту статью, нужно воспользовать формулой суммы синусов:

Тогда представим 75° в виде двух табличных значений:

Аналогично выразим LT:

Ответ: 16,3 и 22,3

Задача №9. Дано на рисунке:

Найти нужно x и y. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:

Икс выразим через игрек:

Ответ: 48; 18

Отлично, поздравляю тебя с Elementary по геометрии! 

Что нужно знать: 

1. Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы. 
2. Равенство и подобие треугольников. 
3. Что такое медиана, биссектриса, высота. 
4. Свойства треугольников. 
5. Площадь треугольников.
   
6. Синус/косинус в треугольнике.
7. Теорему синусов и косинусов.

Задачи для закрепления по треугольникам

Нашел опечатку, или что-то непонятно — напиши.

Группа с полезной информацией и легким математическим юмором.

Треугольник – это фигура, имеющая три стороны и три угла. Если один из углов треугольника равен 90°,
то он называется «прямоугольным». При этом две стороны, образующие прямой угол – это катеты.
Гипотенуза – это третья сторона, которая находится напротив прямого угла и соединяет катеты между
собой, образуя замкнутую геометрическую фигуру.

Через две стороны

Если в геометрической фигуре известна длина катетов, то можно вычислить площадь фигуры через них. В
некоторых учебниках вертикальный катет называется высотой и обозначается буквой h, но это не
обязательно. При написании формулы можно использовать буквенные обозначения a и b.

S = ½ (a · b)

Один из самых простых линейных вариантов вычисления — через две стороны, то есть через два
катета, прилегающих к прямому углу. В этом случае площадь равна половине произведения катетов.

Через гипотенузу и острый угол

Так как один угол, от которого отходят два катета «а» и «b» равен 90°, два остальных будут острыми.
Эти углы образуются в местах соединения катетов с гипотенузой. Для того, чтобы рассчитать итоговую S
по гипотенузе и острому углу, нужно сначала через длину сторон вычислить sin (синус) и cos
(косинус). Углы в прямоугольном треугольнике обозначаются греческими буквами α (альфа) – угол 90° и
β (бетта) – один из острых углов. Если удается вычислить sin и cos, то через них можно вычислить
площадь по следующей формуле:

S = ¼ · с² · sin(2α)

Чтобы вычислить sin α, нужно сторону фигуры «a» (то есть высоту) разделить на гипотенузу: sin α= a /
c.

Чтобы вычислить cos α, нужно сторону «b» разделить на гипотенузу: cos α= b / c.

В данных формулах
гипотенуза обозначается буквой «с». Таким образом выглядят формулы sin и cos для угла α. Точно таким
же образом можно сделать расчеты и для угла β, но даже это не обязательно, потому что в
прямоугольном треугольнике cos α = sin β, а sin α = cos β.

Через гипотенузу и острый угол. Способ 2

Для данного расчета также понадобятся синусы всех углов треугольника. Нужно вычислить по уже знакомым
формулам sin α= a / c и sin β= b / c. Также понадобится синус третьего угла, который обозначается
греческой буквой γ (гамма). Синус угла γ рассчитывается из разницы между суммой всех углов (180°)
треугольника и суммы двух других углов, а именно: sin (γ) = 180 – (α + β). Также понадобится длина
гипотенузы, которая будет обозначена буквой «C».
Исходя из всех известных величин, формула
площади треугольника через гипотенузу и острый угол следующая:

S = c²/2 * (sin(γ) * sin(β) / sin(α))

Через катет и острый угол

Зная длину катетов, также можно легко вычислить площадь, но в два этапа. Для этого понадобится
предварительно найти tg (тангенс) одного из углов. Например, tg α можно рассчитать по формуле tg α =
a/b, где «a» – это высота (вертикальный катет), а «b» – второй (горизонтальный) катет. Для того,
чтобы вычислить tg угла β, в формуле нужно поменять местами стороны: tgβ = b/a.

Так, формула вычисления площади прямоугольника через катет и острый угол выглядит следующим образом:
если известна сторона «а» —

S = (a² * tgβ) / 2

Если известна сторона «b», то вместо a подставить b.

Через гипотенузу и радиус вписанного круга

Внутри вписанного круга есть точка (центр круга), которая равноудалена от обоих катетов и гипотенузы.
Прямая от этой точки и до катета, проведенная под прямым углом, — это r (радиус) окружности.
Математически его можно рассчитать по формуле r = (a + b – c) / 2. После того, как радиус стал
известен, площадь можно вычислить через него:

S = r (r + c)

Через гипотенузу и диаметр вписанного круга

Если d (диаметр) вписанного круга неизвестен, его можно рассчитать следующим образом: d = a + b – c.
Если в условии задачи известен радиус r вписанной окружности, то для вычисления диаметра его можно
умножить на 2, так как d = 2r. Формула площади при известном размере диаметра будет следующая:

S = d/2 * (d/2 + c)

Через гипотенузу и площадь вписанного круга

Для этой формулы понадобится знать площадь вписанного круга. Если в условиях задачи она неизвестна,
но вычисляется она по следующей формуле: S = π · r², где π – это математическая константа, равная в
сокращении 3,14, а r – радиус круга. Таким образом, зная площадь круга, можно рассчитывается площадь
треугольника:

S = √(S/π) * (√(S/π)+C)

Через гипотенузу и длину вписанной окружности (периметр)

Чтобы найти периметр окружности для главной формулы площади треугольника, нужно знать либо диаметр
окружности, либо радиус. Периметр в данном случае обозначается латинской буквой P. Формулы буду
следующие: если известен диаметр окружности P = d · π, если известен радиус окружности P = 2 · r ·
π.
Зная периметр вписанной окружности, можно рассчитать площадь прямоугольного треугольника по
следующей формуле:

S = P/2π * (P/2π + C)

где C – это гипотенуза треугольника, π – это математическая константа, равная в сокращении 3,14, и
периметр окружности P.

Через касание вписанной окружности которая делит гипотенузу на части

Если внутри прямоугольного треугольника нарисовать окружность, центр которой будет равноудален от
катетов и гипотенузы, она разделит гипотенузу на два отрезка, которые условно обозначаются С1 и С2.
С их помощью, не зная других величин, можно вычислить площадь треугольника:

S = C1 · C2

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Для вычисления площади по методу Герона понадобится значение полупериметра, который обозначается
маленькой латинской буквой «p» (полный периметр обозначается заглавной Р). Полупериметр – это
половина суммы всех сторон, а именно: p = (a + b + c)/2, где a и b – это катеты, а С –
гипотенуза.

После того, как полупериметр вычислен, можно переходить к основной формуле площади прямоугольного
треугольника. Для того, чтобы ее найти, нужно рассчитать корень квадратный из следующих величин:

S = (P — a) * (P — b)

Герон Александрийский был математиком во времена Римской империи. Одним из направлений его
деятельности была так называемая «Метрика» и ее подраздел «Геометрика», по которым ученый написал
большую энциклопедию. В содержании этой книги, в том числе, была также формула вычисления площади
прямоугольного треугольника по длинам его сторон. Впервые этот метод определения площади был
установлен еще Архимедом, но конкретную формулу вывел именно Герон, предположительно в I веке до
н.э.

Через гипотенузу и высоту

Высота – это прямая, соединяющая точку пересечения катетов с гипотенузой под углом 90°. При этом
высота разделяет прямоугольный угол треугольника на два равных по 45° каждый. Обозначается данная
величина латинской буквой h. Формула площадки треугольника через гипотенузу и высоту простая и
линейная:

S = ½ch

Через катет и прилегающий острый угол

Для составления данной формулы нужно определиться с наименованием сторон и углов. Например, нижний
катет треугольника (горизонтально расположенный), будет называться стороной «a». Слева от него
находится прямой угол в 90°, под условным обозначением α, а справа от катета «a» находится
прилегающий острый угол β.

Для итоговой формулы также понадобятся синусы углов. Таким образом, sin α= a / c и соответственно sin
β= b / c. После того, как эти величины будут найдены, можно переходить к основной формуле:

S = a²/2 * (sin(α) * sin(β)/sin(180-(α+β))

где 180° — это сумма всех углов треугольника.

Когда требуется вычисление площади прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольных треугольников напрямую связана с вычислением площади прямоугольников, так как в
них обоих присутствуют углы в 90°. При этом для вычисления нужной величины, можно использовать любой
из вышеперечисленных способов. Выбор зависит только от наличия известных параметров геометрической
фигуры или от выбора самого простого решения. Для того, чтобы уметь пользоваться формулой, нужно
понять логическую цепочку ее вывода и, если не все составляющие уравнения известны, найти способ их
узнать через дополнительные формулы. Зная определенные параметры треугольника, путем различных
вычислений можно рассчитать его площадь.