Как найти площадь пяти сторон - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Geometry is a branch of mathematics that is all about the study of shapes. In general, we study two types of shapes in geometry one is the flat shape and the other solid shapes. Flat shapes are plotted on flat surfaces which are two-dimensional and solid shapes are three-dimensional. Geometry also deals with the parameters of these shapes. It gives standard formulas for determining their parameters like area, perimeter, volume, etc.

The given article deals with one of the flat shapes pentagons. It gives a brief description of the pentagon and its properties. The article explains the area formula of a pentagon along with some sample problems for better understanding.

What is a Pentagon?

The word pentagon denotes ‘five angles’ as “Penta” means five and “gon” means angles. It is a geometrical shape having five sides and five angles. It is a five-sided self-intersecting polygon. And, the sum of all the interior angles of a polygon measures to be 540 degrees.

Summing up, a pentagon is a five-sided, two-dimensional geometrical shape whose interior angles sum up to be 540 degrees.

Properties of a pentagon

A pentagon has five sides.
It has 5 diagonals meeting at the same point.
The interior angles of a pentagon measure to be 72 degrees.
the exterior angles of a pentagon measure to be 108 degrees.

How To find the Area of Pentagon?

Using Apothem Length

The area of a pentagon is determined by its side and apothem length. The formula of the area of a pentagon is derived by multiplying any side and apothem length by 5/2.

Mathematically the formula is given by

Area of pentagon(A)=(5/2) s × a

where,

s is the side

and a is apothem length

Pentagon

For example:

If a side of a pentagon is 12cm and its apothem length is 6cm, the area of the pentagon can be determined by

Area of pentagon= (5/2) × side × apothem length

= (5/2) × 12 × 6

= 180cm²

Using only Side Length

The area of the pentagon can also be calculated only by using the length. Here, to calculate the area of the given pentagon by using only the side length following formula is used

$Area=frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}s^2$

where,

s is the side length

For example:

If a pentagon is given having side length of 5cm, the area of the pentagon can be determined by

Area of pentagon = $frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}s^2$

= $frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}(5)^2$

= 43.01cm²

Sample Problems

Problem 1. Find the area of a pentagon with a side 5cm and apothem length 4cm.

Solution:

Given

Side of pentagon = 5cm

apothem length = 4cm

We have,

Area = (5/2) × s × a

=>A = (5/2) × 5 × 4

=>A = 50cm²

Problem 2. Find the area of a pentagon with a side 12cm and apothem length of 6cm.

Solution:

Given

Side of pentagon = 12cm

apothem length = 6cm

We have,

Area = (5/2) × s × a

=>A = (5/2) × 12 × 6

=>A = 180cm²

Problem 3. Find the area of a pentagon with a side 12cm and apothem length of 4cm.

Solution:

Given

Side of pentagon = 12cm

apothem length = 4cm

We have,

Area = (5/2) × s × a

=>A = (5/2) × 12 × 4

=>A = 120cm²

Problem 4. Find the area of a pentagon with a side 10cm and apothem length of 5cm.

Solution:

Given

Side of pentagon = 10cm

apothem length = 5cm

We have,

Area = (5/2) × s × a

=>A = (5/2) × 10 × 5

=>A = 125cm²

Problem 5. Find the area of a pentagon with a side 8cm and apothem length of 5cm.

Solution:

Given

Side of pentagon = 8cm

apothem length = 5cm

We have,

Area = (5/2) × s × a

=>A = (5/2) × 8 × 5

=>A = 100cm²

Problem 6. Find the area of a pentagon with a side length of 4cm.

Solution:

Given

Side length of pentagon is 4cm

We have,

Area of pentagon = $frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}s^2$

=> $frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}4^2$

=>27.52cm²

Problem 7. Find the area of a pentagon with a side length of 6cm.

Solution:

Given,

Side length of pentagon is 6cm.

We have,

Area of pentagon = $frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}s^2$

=> $frac{1}{4}sqrt{5(5+2sqrt5)}6^2$

=>61.93cm²

Last Updated :
01 Feb, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Загрузить PDF

Пятиугольник — это многоугольник, у которого пять углов. В подавляющем большинстве задач вы столкнетесь с правильным пятиугольником, у которого все стороны равны. Есть два основных способа найти площадь пятиугольника (в зависимости от известных вам величин).

1
Даны сторона и апофема. Этот метод применим к правильным пятиугольникам, у которых все стороны равны. Апофема — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника и середину любой из его сторон; апофема всегда перпендикулярна стороне пятиугольника.
- Не путайте апофему с радиусом описанной окружности. Такой радиус — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника с его вершиной (а не серединой стороны). Если вам дана сторона и радиус описанной окружности, перейдите к следующей главе.
- Например, дан пятиугольник со стороной 3 см и апофемой 2 см.
2

Разделите пятиугольник на пять равных треугольников. Для этого соедините центр пятиугольника с каждой из его вершин.
3
Вычислите площадь треугольника. Основание каждого треугольника — это сторона пятиугольника, а высота каждого треугольника — это апофема пятиугольника. Для вычисления площади треугольника перемножьте половину основания и высоту, то есть площадь = ½ х основание х высоту.
- В нашем примере площадь треугольника = ½ х 3 х 2 = 3 квадратных сантиметра.
4
Умножьте найденную площадь треугольника на 5, чтобы вычислить площадь пятиугольника. Это верно, так как мы разделили пятиугольник на пять равных треугольников.
- В нашем примере площадь пятиугольника = 5 х площадь треугольника = 5 х 3 = 15 квадратных сантиметров.
Реклама

1
Если дана сторона. Этот метод применим к правильным пятиугольникам, у которых все стороны равны.
- Например, дан пятиугольник со стороной 7 см.
2

Разделите пятиугольник на пять равных треугольников. Для этого соедините центр пятиугольника с каждой из его вершин.
3

Разделите треугольник пополам. Для этого из вершины треугольника, которая лежит в центре пятиугольника, опустите перпендикуляр к противоположной стороне треугольника, которая равна стороне пятиугольника. Вы получите два равных прямоугольных треугольника.
4
Дайте обозначения одному из прямоугольных треугольников.
- Основание прямоугольного треугольника — это половина стороны пятиугольника. В нашем примере основание равно ½ х 7 = 3,5 см.
- Угол вокруг центра пятиугольника равен 360˚. Разделив пятиугольник на пять равных треугольников, а потом разделив каждый треугольник пополам, вы поделите угол вокруг центра пятиугольника на 10 равных частей, то есть угол прямоугольного треугольника, противолежащий основанию, равен 360°/10 = 36˚.
5
Вычислите высоту треугольника. Высота прямоугольного треугольника равна его катету, отличному от основания. Используйте тригонометрические функции, чтобы найти высоту треугольника.^[1]
- В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне.
- В нашем примере для угла в 36˚ противолежащей стороной является основание, а прилежащей — высота.
- tg 36˚ = противолежащая сторона/прилежащая сторона
- В нашем примере tg 36˚ = 3,5/высота
- Высота х tg 36˚ = 3,5
- Высота = 3,5/tg 36˚
- Высота = 4,8 см (примерно)
6
Найдите площадь треугольника. Площадь треугольника = ½ х основание х высота (А = ½bh). Зная основание и высоту, вы можете найти площадь прямоугольного треугольника.
- В нашем примере площадь прямоугольного треугольника = ½bh = ½(3,5)(4,8) = 8,4 квадратных сантиметров.
7
Умножьте найденную площадь прямоугольного треугольника на 10, чтобы вычислить площадь пятиугольника. Это верно, так как мы разделили пятиугольник на десять равных прямоугольных треугольников.
- В нашем примере площадь пятиугольника равна 8,4 х 10 = 84 квадратных сантиметра.
Реклама

1
Даны периметр и апофема. Апофема — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника и середину любой из его сторон; апофема всегда перпендикулярна стороне пятиугольника.
- A = ра/2, где р — периметр, а — апофема. ^[2]
- Если дана сторона, вычислите периметр правильного пятиугольника по формуле: p = 5s, где s — сторона пятиугольника.
2
Дана сторона. Если дана только сторона пятиугольника, используйте следующую формулу:^[3]
- А = (5s²) / (4tg36˚), где s — сторона пятиугольника.
- tg36˚ = √(5-2√5).^[4] Если на калькуляторе нет функции тангенса, используйте следующую формулу: А = (5s²) / (4√(5-2√5)).
3
Дан радиус описанной окружности. В этом случае для вычисления площади пятиугольника используйте следующую формулу:^[5]
- A = (5/2)r²sin72˚, где r — радиус описанной окружности.
Реклама

Советы

Сложнее работать с неправильным пятиугольником (это пятиугольник, стороны которого имеют разную длину). В этом случае разделите пятиугольник на треугольники, найдите их площади и сложите значения площадей. Вы также можете обрисовать пятиугольник правильной фигурой, вычислить ее площадь, а затем вычесть площадь дополнительного пространства.
Формулы, полученные геометрическим путем, аналогичны формулам, которые описаны в этой статье. Подумайте, сможете ли вы вывести эти формулы. Формулу, включающую радиус описанной окружности, вывести труднее (намек: рассматривайте удвоенный угол при центре пятиугольника).
В приведенных в этой статье примерах используются округленные значения, чтобы упростить вычисления. Если вы работаете с реальным многоугольником, то вы получите другие результаты для других длин и площадей.
Если возможно, вычислите площадь пятиугольника, используя оба описанных метода. Затем сравните результаты, чтобы подтвердить правильность ответа.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 235 393 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру с пятью углами. Существует множество разных пятиугольников, однако если стороны равны, а каждый угол фигуры равен 108 градусам, то многоугольник называется правильным и носит название «пентагон».

Геометрия пятиугольника

Пятиугольник — это фигура, которая состоит из пяти соединенных отрезков. Стороны произвольного многоугольника могут соединяться под разными углами, в результате чего фигура может быть невыпуклой. Наиболее ярким примером невыпуклого многоугольника является звезда, а пятиугольника — проекция зубчатой короны, когда два «зубца» выступают над прямоугольным основанием. Выпуклый многоугольник — это фигура, продолжение отрезков которого не пересекает других сторон. Если же мы продлим отрезки зубцов или лучей звезды, они пересекут другие стороны фигуры.

Пятиугольник в реальности

Невыпуклые геометрические фигуры редко встречаются в человеческой повседневности и обычно представляют собой основания для нестандартных призм. Наиболее распространенным пятиугольником в реальности считается пентагон — правильный многоугольник. Пентагон нашел применение в архитектуре и дизайне, и тезкой фигуры является одно из самых известных зданий Америки — штаб министерства обороны США.

Додекаэдр — платоново тело, каждая из 12 сторон которого является правильным пятиугольником. Додекаэдр используется в различных сферах, но наиболее известным представлением многогранника считается игральная кость d12, которая используется как генератор случайных чисел для настольных ролевых игр.

Несмотря на то, что многие организмы обладают пентасимметрией, например, морские звезды или плоды мушмулы, природные пятиугольные объекты практически не встречаются в природе.

Площадь пентагона

Площадь любой геометрической фигуры — это количественная оценка того, какую часть плоскости ограничивают ее стороны. Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле:

S = n/4 × a² × ctg(pi/n),

где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны.

Таким образом, если подставить n = 5 и выразить получившееся выражение десятичной дробью, мы получим простую формулу для вычисления площади пентагона:

S = 1,72 a²

где a — длина одной стороны.

Сторона пентагона и радиусы вписанной r и описанной окружности R приблизительно соотносятся как:

a = 1,4131 r
a = 1,1756 R

Программный код калькулятора использует эти соотношения, что позволяет вам найти площадь правильного пятиугольника, зная только один параметр из перечисленных:

радиус вписанной окружности;
радиус описанной окружности;
длина стороны.

Рассмотрим на примерах, как вычислить площадь правильного пятиугольника.

Примеры из жизни

Пентагон

Штаб министерства обороны США — это всемирно известное здание, которое имеет форму правильного пятиугольника. Каждая сторона штаба имеет длину 281 м и мы без проблем можем узнать, какую площадь занимает здание. Для более удобного представления выразим длину в километрах, введем эти данные в форму калькулятора a = 0,281 и получим результат:

S = 0,1359

Площадь Пентагона составит 0,136 квадратных километров.

Школьная задача

К примеру, необходимо вычислить площадь пентагона, зная, что радиус вписанной окружности составляет 15 см. Мы можем выразить сторону многоугольника через простое соотношение радиуса вписанной окружности и длины стороны a = 1,4131 r, после чего посчитать по формуле его площадь. Проще всего ввести значение радиуса в ячейку «Радиус вписанной окружности r» и получить мгновенный результат:

S = 817,36

Кроме непосредственно площади фигуры, калькулятор автоматически подсчитал остальные атрибуты пятиугольника.

Заключение

Пентагон нечасто встречается в реальной жизни, однако при решении производственных вопросов или школьных задач вам может понадобиться рассчитать площадь или периметр правильных многоугольников. Наш каталог калькуляторов к вашим услугам.

Источник

Калькулятор для расчета площади

Данный онлайн-калькулятор позволяет рассчитать площадь различных геометрических фигур, таких как:

Прямоугольник;
Параллелограмм;
Круг;
Сектор круга;

Треугольник;
Правильный многоугольник;
Эллипс;
Трапеция.

Для удобства расчетов вы можете выбрать единицу измерения (миллиметр, сантиметр, метр, километр, фут, ярд, дюйм, миля). Также полученный результат можно конвертировать в другую единицу измерения путем выбора её из выпадающего списка.

Способ нахождения площади треугольника:

a=
b=
c=

Вычислить

Рассчитать площадь круга, если известен:

Вычислить

Способ нахождения площади параллелограмма:

a=
h=

Вычислить

Рассчитать площадь сектора круга, если известен:

r=
θ=

Вычислить

Способ нахождения площади трапеции:

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры.

Метрические единицы измерения площади:
Квадратный метр, производная единица системы СИ 1 м² =	1 са (сантиар)
Квадратный километр — 1 км² =	1 000 000 м²
Гектар — 1 га =	10 000 м²
Ар (сотка) — 1 а =	100 м² (сотка как правило применяется для измерения земельных участков и равна 100 м² или 10м х 10м)
Квадратный дециметр, 100 дм² =	1 м²;
Квадратный сантиметр, 10 000 см² =	1 м²;
Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм² =	1 м².

Данный онлайн-калькулятор удобен при расчете площадей помещений и земельных участков.

Источник

Многоугольником считается фигура,имеющая количество сторон больше или равное 3.

1)Площадь треугольника со сторонами a,b,c, и высотами h1,h2,h3,

площадь S =ah1/2=bh2/2=c*h3/2,

или по формуле Герона :

S= V p(p-a)(p-b)*(p-c),

где p — полупериметр.

Площадь четырехугольника:

1)площадь квадрата :S = a^2,

2)площадь прямоугольника :S = a *b,

3)площадь параллелограмма : S =a * h1 = b *h2,

4)площадь ромба S = a h =d1d2,

где a,b -стороны четырёхугольника,h1,h2-высоты,d1,d2-диагонали ромба.

5)площадь произвольного четырёхугольника определяется путем разбивки его по диагонали и нахождения площади каждого треугольника отдельно.

Площадь правильного многоугольника равна произведению полупериметра =n*a,на апофему h

S=(na)h/2

где а-сторона многоугольника,n-число сторон,h-апофема.

Источник

What is a Pentagon?

How To find the Area of Pentagon?

Sample Problems

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Геометрия пятиугольника

Пятиугольник в реальности

Площадь пентагона

Примеры из жизни

Пентагон

Школьная задача

Заключение

площадь S =a*h1/2=b*h2/2=c*h3/2,

S= V p*(p-a)*(p-b)*(p-c),

1)площадь квадрата :S = a^2,

2)площадь прямоугольника :S = a *b,

3)площадь параллелограмма : S =a * h1 = b *h2,

4)площадь ромба S = a *h =d1*d2,

S=(n*a)*h/2

площадь S =ah1/2=bh2/2=c*h3/2,

S= V p(p-a)(p-b)*(p-c),

4)площадь ромба S = a h =d1d2,

S=(na)h/2