Download Article
Download Article
A pentagon is a polygon with five straight sides. Almost all problems you’ll find in math class will cover regular pentagons, with five equal sides. There are two common ways to find the area, depending on how much information you have.
-
1
Start with the side length and apothem. This method works for regular pentagons, with five equal sides. Besides the side length, you’ll need the «apothem» of the pentagon. The apothem is the line from the center of the pentagon to a side, intersecting the side at a 90º right angle.[1]
- A regular pentagon can be divided into five triangles.[2]
- Where the height of the triangle is known as the apothem.[3]
- Then, using the apothem, the area of a regular pentagon will be ½ x apothem x 5.[4]
- Don’t confuse the apothem with the radius, which touches a corner (vertex) instead of a midpoint. If you only know the side length and radius, skip down to the next method instead.
- We’ll use an example pentagon with side length 3 units and apothem 2 units.
- A regular pentagon can be divided into five triangles.[2]
-
2
Divide the pentagon into five triangles. Draw five lines from the center of the pentagon, leading to each vertex (corner). You now have five triangles.[5]
Advertisement
-
3
Calculate the area of a triangle. Each triangle has a base equal to the side of the pentagon. It also has a height equal to the pentagon’s apothem. (Remember, the height of a triangle runs from a vertex to the opposite side, at a right angle.) To find the area of any triangle, just calculate ½ x base x height.[6]
- In our example, area of triangle = ½ x 3 x 2 = 3 square units.
-
4
Multiply by five to find the total area. We’ve divided the pentagon into five equal triangles. To find the total area, just multiply the area of one triangle by five.[7]
- In our example, A(total pentagon) = 5 x A(triangle) = 5 x 3 = 15 square units.
Advertisement
-
1
Start with just the side length. This method only works for regular pentagons, which have five sides of equal length.
- In this example, we’ll use a pentagon with side length 7 units.
-
2
Divide the pentagon into five triangles. Draw a line from the center of the pentagon to any vertex. Repeat this for every vertex. You now have five triangles, each the same size.[8]
-
3
Divide a triangle in half. Draw a line from the center of the pentagon to the base of one triangle. This line should hit the base at a 90º right angle, dividing the triangle into two equal, smaller triangles.[9]
-
4
Label one of the smaller triangles. We can already label one sides and one angle of the smaller triangle:
- The base of the triangle is ½ the side of the pentagon. In our example, this is ½ x 7 = 3.5 units.
- The angle at the pentagon’s center is always 36º. (Starting with a full 360º center, you could divide it into 10 of these smaller triangles. 360 ÷ 10 = 36, so the angle at one triangle is 36º.)
-
5
Calculate the height of the triangle. The height of this triangle is the side at right angles to the pentagon’s edge, leading to the center. We can use beginning trigonometry to find the length of this side:[10]
- In a right-angle triangle, the tangent of an angle equals the length of the opposite side, divided by the length of the adjacent side.
- The side opposite the 36º angle is the base of the triangle (half the pentagon’s side). The side adjacent to the 36º angle is the height of the triangle.
- tan(36º) = opposite / adjacent
- In our example, tan(36º) = 3.5 / height
- height x tan(36º) = 3.5
- height = 3.5 / tan(36º)
- height = (about) 4.8 units.
-
6
Find the area of the triangle. A triangle’s area equals ½ the base x the height. (A = ½bh.) Now that you know the height, plug in these values to find the area of your small triangle.
- In our example, Area of small triangle = ½bh = ½(3.5)(4.8) = 8.4 square units.
-
7
Multiply to find the area of the pentagon. One of these smaller triangles covers 1/10 of the pentagon’s area. To find the total area, multiply the area of the smaller triangle by 10.
- In our example, the area of the whole pentagon = 8.4 x 10 = 84 square units.
Advertisement
-
1
Use the perimeter and apothem. The apothem is a line from the center of a pentagon, that hits a side at a right angle. If you are given its length, you can use this easy formula
- Area of a regular pentagon = pa/2, where p = the perimeter and a = the apothem.[11]
- If you don’t know the perimeter, calculate it from the side length: p = 5s, where s is the side length.
- Area of a regular pentagon = pa/2, where p = the perimeter and a = the apothem.[11]
-
2
Use the side length. If you only know the side length, use the following formula:[12]
- Area of a regular pentagon = (5s2) / (4tan(36º)), where s = side length.
- tan(36º) = √(5-2√5).[13]
So if your calculator doesn’t have a «tan» function, use the formula Area = (5s2) / (4√(5-2√5)).
-
3
Choose a formula that uses radius only. You can even find the area if you only know the radius. Use this formula:[14]
- Area of a regular pentagon = (5/2)r2sin(72º), where r is the radius.
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do I find the perimeter of a pentagon when I’m only given the apothem?
The perimeter of a regular pentagon is the apothem multiplied by 7.267.
-
Question
What would be the length of a side of a regular pentagon with a perimeter of 12.5?
Each side of a regular pentagon is one-fifth of the perimeter. So in this case, each side measures 12.5 / 5 = 2.5.
-
Question
I am struggling to find the length of one side of a pentagon; two sides are 0.9 meters, 2 other sides at 0.53 meters each.
There is no formula available for finding a side of an irregular pentagon.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
Irregular pentagons, or pentagons with unequal sides, are more difficult to study. The best approach is usually to divide the pentagon into triangles, and add up the area of each triangle. You may also need to draw a larger shape around the pentagon, calculate its area, and subtract the area of the extra space.
-
The examples given here use rounded values to make the math simpler. If you measure a real polygon with the given side length, you’ll get slightly different results for the other lengths and area.
-
If possible, use both a geometric method and a formula method, and compare results to confirm that you have the right answer. You may get slightly different answers if you enter the formula all at once (since you won’t round along the way), but they should be very close.
Show More Tips
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
It’s easiest to find the area of a regular pentagon if you know the length of a side and the apothem. The apothem is a line that intersects one of the sides from the center of the pentagon at a 90° angle. For example, let’s say you have a pentagon with a side length of 3 units and an apothem of 2 units. You can now divide the pentagon into 5 triangles, each with a base width of 3 (equal to the length of one side of the pentagon) and a height of 2 (equal to the apothem). To find the area of the pentagon, all you need to do is find the area of one of the triangles and multiply the result by 5. Use the formula ½ x base x height to find the area of each triangle. In this example, ½ x 3 x 2 = 3, so each triangle has an area of 3 square units. Multiply 3 x 5 to get 15 square units, or the area of the entire pentagon. You can also use the formula Area = Pa/2, where P is the perimeter of the pentagon and a is the apothem. In the example above, the perimeter would be 3 x 5 = 15, and the apothem is 2. (15 x 2)/2 = 30/2, which is equal to 15. If you only know the side length of the pentagon, you can still figure out the area, but you’ll need to do a bit of trigonometry. Start by dividing the pentagon into 5 equal triangles, starting from a point at the center of the pentagon. The base of each triangle will be equal to the length of a side of the pentagon. Now, divide one of the triangles in half by drawing a vertical line from the vertex to the middle of the base to create two right triangles. You know that the base of the smaller triangle is ½ of the side length of the pentagon. So, if you have a pentagon with a side length of 7 units, the base of the smaller right triangle is 3.5 units. When you’re working with a regular pentagon, the angle at the top of this triangle will always be 36°. To find the height of the triangle, use the formula tan36° = b (base)/h (height) and solve for h. In our example, tan36° = 3.5/h. Multiply tan36° by h, then divide 3.5 by tan36° to find the height, which is approximately 4.8 units. Now you can plug the height into the formula for the area of a triangle, 1/2 x b x h, to find the area of the triangle. Plug in the base of the larger triangle for the b variable and the height you just found for the h variable to get ½ x 7 x 4.8 = 16.8 square units. Then, multiply the area of the larger triangle by 5 to get the full area of the pentagon, or 84 square units. Alternatively, you can plug the base width of the smaller triangle into the formula for the area of a triangle, then multiply the result by 10. Either way, you’ll get the same answer. You can also calculate the area from only the side length using the formula 5s2/4tan36°, where s is the length of one side of the pentagon. If you don’t have a calculator with a tangent function, don’t worry. Tan36° = √(5-2√5), so you can plug that into your calculations in place of tan36°. You can also figure out the area of a pentagon using only the radius, or r, which is the distance from the center of the pentagon to one of the corners, or vertices. To do this, use the formula 5/2 x r^2 x sin72°. For more on finding the area of a regular pentagon, including using formulas if you only know the length of a side or the radius, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 805,624 times.
Reader Success Stories
-
Abraham Edgar
Jun 6, 2016
«In method 2, finding the value of the angle helped me.»
Did this article help you?
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Пятиугольник — это многоугольник, у которого пять углов. В подавляющем большинстве задач вы столкнетесь с правильным пятиугольником, у которого все стороны равны. Есть два основных способа найти площадь пятиугольника (в зависимости от известных вам величин).
-
1
Даны сторона и апофема. Этот метод применим к правильным пятиугольникам, у которых все стороны равны. Апофема — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника и середину любой из его сторон; апофема всегда перпендикулярна стороне пятиугольника.
- Не путайте апофему с радиусом описанной окружности. Такой радиус — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника с его вершиной (а не серединой стороны). Если вам дана сторона и радиус описанной окружности, перейдите к следующей главе.
- Например, дан пятиугольник со стороной 3 см и апофемой 2 см.
-
2
Разделите пятиугольник на пять равных треугольников. Для этого соедините центр пятиугольника с каждой из его вершин.
-
3
Вычислите площадь треугольника. Основание каждого треугольника — это сторона пятиугольника, а высота каждого треугольника — это апофема пятиугольника. Для вычисления площади треугольника перемножьте половину основания и высоту, то есть площадь = ½ х основание х высоту.
- В нашем примере площадь треугольника = ½ х 3 х 2 = 3 квадратных сантиметра.
-
4
Умножьте найденную площадь треугольника на 5, чтобы вычислить площадь пятиугольника. Это верно, так как мы разделили пятиугольник на пять равных треугольников.
- В нашем примере площадь пятиугольника = 5 х площадь треугольника = 5 х 3 = 15 квадратных сантиметров.
Реклама
-
1
Если дана сторона. Этот метод применим к правильным пятиугольникам, у которых все стороны равны.
- Например, дан пятиугольник со стороной 7 см.
-
2
Разделите пятиугольник на пять равных треугольников. Для этого соедините центр пятиугольника с каждой из его вершин.
-
3
Разделите треугольник пополам. Для этого из вершины треугольника, которая лежит в центре пятиугольника, опустите перпендикуляр к противоположной стороне треугольника, которая равна стороне пятиугольника. Вы получите два равных прямоугольных треугольника.
-
4
Дайте обозначения одному из прямоугольных треугольников.
- Основание прямоугольного треугольника — это половина стороны пятиугольника. В нашем примере основание равно ½ х 7 = 3,5 см.
- Угол вокруг центра пятиугольника равен 360˚. Разделив пятиугольник на пять равных треугольников, а потом разделив каждый треугольник пополам, вы поделите угол вокруг центра пятиугольника на 10 равных частей, то есть угол прямоугольного треугольника, противолежащий основанию, равен 360°/10 = 36˚.
-
5
Вычислите высоту треугольника. Высота прямоугольного треугольника равна его катету, отличному от основания. Используйте тригонометрические функции, чтобы найти высоту треугольника.[1]
- В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне.
- В нашем примере для угла в 36˚ противолежащей стороной является основание, а прилежащей — высота.
- tg 36˚ = противолежащая сторона/прилежащая сторона
- В нашем примере tg 36˚ = 3,5/высота
- Высота х tg 36˚ = 3,5
- Высота = 3,5/tg 36˚
- Высота = 4,8 см (примерно)
-
6
Найдите площадь треугольника. Площадь треугольника = ½ х основание х высота (А = ½bh). Зная основание и высоту, вы можете найти площадь прямоугольного треугольника.
- В нашем примере площадь прямоугольного треугольника = ½bh = ½(3,5)(4,8) = 8,4 квадратных сантиметров.
-
7
Умножьте найденную площадь прямоугольного треугольника на 10, чтобы вычислить площадь пятиугольника. Это верно, так как мы разделили пятиугольник на десять равных прямоугольных треугольников.
- В нашем примере площадь пятиугольника равна 8,4 х 10 = 84 квадратных сантиметра.
Реклама
-
1
Даны периметр и апофема. Апофема — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника и середину любой из его сторон; апофема всегда перпендикулярна стороне пятиугольника.
- A = ра/2, где р — периметр, а — апофема. [2]
- Если дана сторона, вычислите периметр правильного пятиугольника по формуле: p = 5s, где s — сторона пятиугольника.
- A = ра/2, где р — периметр, а — апофема. [2]
-
2
Дана сторона. Если дана только сторона пятиугольника, используйте следующую формулу:[3]
- А = (5s2) / (4tg36˚), где s — сторона пятиугольника.
- tg36˚ = √(5-2√5).[4]
Если на калькуляторе нет функции тангенса, используйте следующую формулу: А = (5s2) / (4√(5-2√5)).
-
3
Дан радиус описанной окружности. В этом случае для вычисления площади пятиугольника используйте следующую формулу:[5]
- A = (5/2)r2sin72˚, где r — радиус описанной окружности.
Реклама
Советы
- Сложнее работать с неправильным пятиугольником (это пятиугольник, стороны которого имеют разную длину). В этом случае разделите пятиугольник на треугольники, найдите их площади и сложите значения площадей. Вы также можете обрисовать пятиугольник правильной фигурой, вычислить ее площадь, а затем вычесть площадь дополнительного пространства.
- Формулы, полученные геометрическим путем, аналогичны формулам, которые описаны в этой статье. Подумайте, сможете ли вы вывести эти формулы. Формулу, включающую радиус описанной окружности, вывести труднее (намек: рассматривайте удвоенный угол при центре пятиугольника).
- В приведенных в этой статье примерах используются округленные значения, чтобы упростить вычисления. Если вы работаете с реальным многоугольником, то вы получите другие результаты для других длин и площадей.
- Если возможно, вычислите площадь пятиугольника, используя оба описанных метода. Затем сравните результаты, чтобы подтвердить правильность ответа.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 235 393 раза.
Была ли эта статья полезной?
Содержание
- Как найти площадь правильного пятиугольника?
- Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a
- Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус
- Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?
- Триангуляция
- Гауссовские детерминанты
- Решенные упражнения
- Упражнение 1
- Решение
- Упражнение 2.
- Решение
- Площадь треугольника EDC
- Площадь треугольника AEC
- Площадь треугольника ABC
- Площадь неправильного пятиугольника
- Ссылки
Для расчета площадь пятиугольника для начала нам нужно определить, регулярно это или нет. Пятиугольник — это многоугольник, замкнутая плоская фигура с пятью сторонами. Когда многоугольник правильный, это означает, что длина его сторон одинакова, а его внутренние углы одинаковы.
В этом случае есть формула для вычисления точной площади правильного многоугольника, зная некоторые из его основных характеристик, которые мы выведем позже.
Если многоугольник не правильный, то есть имеет стороны разных размеров и неравные внутренние углы, единой формулы не существует.
Однако математики нашли методы вычислений, такие как разделение фигуры на другие с меньшим количеством сторон, такие как треугольники, квадраты и прямоугольники, размеры которых легко узнать или вычислить.
Еще одна процедура для вычисления площадей полигонов в целом, зная координаты их вершин, — это метод, называемый Гауссовские детерминанты, о котором мы расскажем позже.
Как найти площадь правильного пятиугольника?
Мы собираемся взять правильный пятиугольник со стороной a и разделить его на 5 равных треугольников, как показано на рисунке, проведя отрезки от центра (красный) до вершин (синий).
В свою очередь, треугольники, как и тот, который выделен желтым справа на рисунке выше, делятся на два равных прямоугольных треугольника благодаря зеленому сегменту, который называется апофема.
Апофема определяется как перпендикулярный сегмент, который соединяет центр многоугольника с центром одной из сторон. Его длина LК.
Площадь прямоугольного треугольника с основанием a / 2 и высотой LК это:
[(a / 2) x LК]
Пентагон состоит из 10 таких треугольников, поэтому его площадь равна:
А = 10 (а / 2) х LК
Но периметр п пятиугольника равно P =10а, поэтому площадь определяется как произведение периметра и длины апофемы:
А = P x LК /2
Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a
Выражая длину апофемы LК как функция стороны a, зная, что указанный угол составляет половину центрального угла, то есть 36º, что эквивалентно:
36º = π/5
Методом элементарной тригонометрии через тангенс острого угла 36º:
загар (π / 5) = (a / 2) ÷ LК
Отсюда:
LК= (а / 2) ÷ загар (π / 5)
Подставив в область, выведенную в предыдущем разделе, и зная, что P = 5a:
А = P x LК /2
Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус
В радио правильного многоугольника — это отрезок, идущий от центра до одной из его вершин. Он соответствует радиусу описанной окружности, как показано на следующем рисунке:
Пусть R — мера указанного радиуса, которая совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника, выделенного синим цветом на предыдущем рисунке. По тригонометрии:
cos 36º = cos (π / 5) = LК ÷ R
Y
sin 36º = sin (π / 5) = (a / 2) ÷ R
Таким образом:
А = P x LК / 2 = 5р. sin (π / 5) x R. cos (π / 5) = 5R2 [sin (π / 5) x cos (π / 5)]
Используя формулу двойного угла:
грех (2θ) = 2 греха θ. cos θ
У нас это:
[sin (π / 5) x cos (π / 5)] = (1/2) sin 72º
Итак, подставив это значение, мы получим следующую формулу для площади правильного пятиугольника:
А = (5/2) R2.sen 72º
Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?
Как мы уже говорили ранее, для неправильного многоугольника не существует уникальной формулы, но есть два метода, которые обычно работают очень хорошо: первый называется триангуляцией, а второй — методом детерминантов Гаусса.
Триангуляция
Он состоит из деления фигуры на треугольники, площадь которых легче вычислить, или ее также можно проверить с другими фигурами, площадь которых известна, такими как квадраты, прямоугольники и трапеции.
Гауссовские детерминанты
Другой способ найти площадь неправильного пятиугольника или другого неправильного многоугольника — это поместить фигуру в декартову систему координат, чтобы найти координаты вершин.
Зная эти координаты, применяется гауссовский метод определителей для вычисления площади, которая определяется следующей формулой:
Где A — площадь многоугольника, а (xп , Yп ) — координаты вершин. Многоугольник с n сторонами имеет 5 вершин, для пятиугольника это будет n = 5:
Полосы, сопровождающие формулу, представляют собой столбцы модуля или абсолютного значения.
Это означает, что даже если результат операции отрицательный, мы должны выразить его положительным знаком, а если он уже положительный, то его нужно оставить с этим знаком. Это потому, что площадь всегда является положительной величиной.
Процедура названа гауссовскими детерминантами в честь ее создателя, немецкого математика Карла Ф. Гаусса (1777-1855). Указанные операции эквивалентны определителю матрицы 2 × 2, например, первый определитель равен:
Чтобы найти площадь пятиугольника, мы должны решить 5 определителей, сложить результат алгебраически, разделить его на 2 и, наконец, выразить площадь всегда с положительным знаком.
Решенные упражнения
Упражнение 1
Найдите площадь правильного пятиугольника, апофема которого равна 4 см, а сторона — 5,9 см.
Решение
Поскольку это правильный пятиугольник, а у нас есть размеры стороны и апофемы, мы используем формулу, полученную выше:
А = P x LК /2
Периметр P равен 5a = 5 x 5,9 см = 29,5 см.
A = 29,5 см x 4 см / 2 = 59 см2
Упражнение 2.
Найдите площадь неправильного пятиугольника, как показано. Известны следующие размеры:
DC ≈ DE
АЕ = АВ = 5
BC = 12
Решение
Площадь пятиугольника — это сумма площадей треугольников, которые являются прямоугольниками. В заявлении говорится, что DC ≈ DE, поэтому при применении теоремы Пифагора к треугольнику EDC мы имеем:
EC2 = 2 ED2. Тогда EC = √2.ED.
Треугольники AEC и ABC имеют общую гипотенузу — отрезок AC, поэтому:
EA2 + EC2 = AB2 + BC2
Поскольку EA и AB измеряют одно и то же, отсюда следует, что:
EC = BC = √2.ED
Поскольку BC = 12, то ED = 12 / √2 = 8,485.
Используя эти значения, мы рассчитаем площадь каждого треугольника и добавим их в конце.
Площадь треугольника EDC
ED x DC / 2 = 8,4852 / 2 = 36
Площадь треугольника AEC
EA x EC / 2 = EA x √2. ED / 2 = 5 x √2. 8 485/2 = 30
Площадь треугольника ABC
AB x BC / 2
Тогда искомая область:
5 х 12/2 = 30
Это то же самое, что и треугольник AEC, поскольку они оба имеют одинаковые размеры.
Площадь неправильного пятиугольника
Наконец, запрашиваемая площадь представляет собой сумму площадей трех треугольников:
А = 36 + 30 + 30 единиц = 96 единиц.
Ссылки
- Александр, Д. 2013. Геометрия. 5-е. Издание. Cengage Learning.
- Открытый справочник по математике. Площадь многоугольника. Получено с: mathopenref.com.
- Формулы Вселенной. Площадь неправильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
- Формулы Вселенной. Площадь правильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
- Википедия. Пентагон. Получено с: es.wikipedia.com.
Как найти площадь пятиугольника
Это довольно простая задача школьного курса. Для ее решения достаточно знать несколько простейших математических формул, которые являются основополагающими в геометрии. Также понадобится умение логически размышлять и считать на калькуляторе.
Вам понадобится
- — минимальные данные, необходимые для решения задачи, а именно длина каждой стороны и диагонали пятиугольника;
- — калькулятор;
- — ручка;
- — лист бумаги.
Инструкция
Внимательно прочитайте условие поставленной задачи. Руководствуясь им, нарисуйте на листе бумаги предполагаемый пятиугольник.
Обозначьте длину каждой из его сторон.
Проведите в пятиугольнике две диагонали. Обозначьте длину каждой диагонали.
Обратите внимание на то, что получилось в результате проведения диагоналей, и вы увидите, что они разбивают пятиугольник на три различных между собой треугольника.
Из вершины каждого треугольника проведите высоту к его основанию.
Измерьте длину высоты опущенной на основание для каждого треугольника.
Определите треугольников по формуле, приведенной ниже:
S = ½ × H × a,
где S – вычисляемая площадь треугольника;
H – высота каждого треугольника;
a – длина основания треугольника.
Вычислите площадь пятиугольника, сложив площади этих трех треугольников.
Обратите внимание
Помните, что правильным считается тот пятиугольник, у которого и все стороны, и все углы равны между собой. Если хотя бы одна сторона или угол отличается от других, то пятиугольник не считается правильным, и его площадь нельзя рассчитывать по упрощенной схеме.
Полезный совет
Проще всего определить площадь правильного пятиугольника. Для этого достаточно просто вычислить площадь одного из треугольников, а затем умножить ее на их количество. Ведь диагонали в правильном пятиугольнике разбивают его на треугольники одинаковой площади. Значительно упрощается задача и в том случае, если два угла пятиугольника являются прямыми. Достаточно провести одну диагональ, которая разобьет пятиугольник на треугольник и прямоугольник, площади которых можно найти совсем просто. Сумма вычисленных площадей будет равна площади самого пятиугольника.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Как найти площадь пятиугольника
3 методика:ОсновыВычисление площади пятиугольника: геометрияВычисление площади пятиугольника: формула
Пятиугольник – это многоугольник, у которого пять углов. Пятиугольники бывают правильными, неправильными, выпуклыми, вогнутыми, звездчатыми. Не существует простого и единого способа вычисления площади пятиугольников, но легко найти площадь правильного пятиугольника. Эта статья описывает два основных способа вычисления площади правильного пятиугольника.
Шаги
Часть 1 из 3: Основы
-
1
Правильные и неправильные пятиугольники. Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны; в противном случае пятиугольник называется неправильным.- Правильный пятиугольник всегда будет выпуклым (см. ниже). Неправильный пятиугольник может быть и выпуклым, и вогнутым.
-
2
Выпуклые и вогнутые пятиугольники. Выпуклый пятиугольник не имеет вершин, направленных внутрь фигуры (другими словами, не имеет внутренних углов более 180 градусов). Вогнутый пятиугольник имеет вершину, направленную внутрь фигуры (другими словами, имеет внутренний угол более 180 градусов). -
3
Периметр пятиугольника. Как и в случае других геометрических фигур, найти периметр пятиугольника легко: просто сложите длины всех пяти сторон. -
4
Апофема правильного пятиугольника. Апофема – отрезок, соединяющий центр пятиугольника и середину любой из его сторон. -
5
Основные тригонометрические функции. Их надо знать, так как площадь пятиугольника можно найти посредством его разбиения на прямоугольные треугольники. Существуют три основных тригонометрических функции: sin угла = противолежащий катет/гипотенуза; cos угла = прилежащий катет/гипотенуза; tg угла = противолежащий катет/прилежащий катет.
Часть 2 из 3: Вычисление площади пятиугольника: геометрия
-
1
Разбейте пятиугольник на пять равнобедренных треугольников. Затем в каждом треугольнике опустите высоту (из центра пятиугольника). Вы получите десять прямоугольных треугольников. Запомните: каждый угол пятиугольника равен 108 градусам.- Например, найдите площадь правильного пятиугольника со стороной 6 см. Для начала разбейте его так, как показано на рисунке.
-
2
Найдите стороны равнобедренного треугольника. Для этого рассмотрите один из прямоугольных треугольников.- В приведенном примере сторона пятиугольника равна 6 см. Следовательно, один катет прямоугольного треугольника равен 3 см (так как высота делит сторону пятиугольника пополам). С помощью тригонометрических функций можно вычислить другие стороны. Вычисления показаны на рисунке.
-
3
Вычислите площадь прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по простой формуле: А1 = ab/2.- В приведенном выше примере подставьте найденные значения в эту формулу. Вычисления показаны на рисунке.
-
4
Найдите площадь пятиугольника. Напомним, что вы разбили пятиугольник на десять прямоугольных треугольников. Таким образом, общая площадь пятиугольника в десять раз больше площади одного прямоугольного треугольника: А = 10*А1.- В приведенном выше примере площадь пятиугольника вычисляется следующим образом: А = 10*А1 = 10*3,0321 = 30,3210.
Часть 3 из 3: Вычисление площади пятиугольника: формула
-
1
Формула для вычисления площади любого правильного многоугольника: A = Pa/2, где Р – периметр многоугольника, а – апофема многоугольника.- Например, дан правильный пятиугольник со стороной 6 см. Найдите его площадь.
-
2
Найдите периметр пятиугольника. Для этого сложите длины всех его сторон.- В приведенном выше примере: Р = 6+6+6+6+6 = 30.
-
3
Найдите апофему пятиугольника. Если вы знаете сторону многоугольника, то его апофема вычисляется по формуле: а = s/2tan(180/n), где s – сторона многоугольника, n – количество сторон многоугольника.- В приведенном выше примере вычисление апофемы показано на рисунке.
-
4
Вычислите площадь пятиугольника. Для этого используйте основную формулу для вычисления площади пятиугольника.- В приведенном выше примере: А = (30*2,0214)/2 = 30,3210.
Советы
- Если возможно, вычислите площадь пятиугольника, используя оба описанных метода. Затем сравните результаты, чтобы подтвердить правильность ответа.