Как найти площадь пятиугольника по клеткам

3 октября 2013

Сегодня мы разберем самый простой прием, который используется в задаче B5 ЕГЭ по математике для нахождения площадей фигур, начерченных на координатной сетке. Этот метод также известен как метод описанного прямоугольника.

Рассмотрим самый простой случай:

1. Фигура наложена на координатную сетку;
2. Все вершины фигуры лежат в узлах этой сетки;
3. Все внутренние углы фигуры меньше 180 °. Т.е. фигура является выпуклой.

Для работы нам потребуются две формулы:

1. S_тр = 0,5ab — площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b.
2. S_пр = ab — площадь произвольного прямоугольника со смежными сторонами a и b.

Итак, задача B5 из реального ЕГЭ по математике:

Задача B5. Найдите площадь пятиугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратным сантиметрах.

В первую очередь строим описанный прямоугольник, причем так, чтобы на каждой из его сторон находилась хотя бы одна из сторон исходной фигуры.

В нашем случае оказалось, что три вершины исходной фигуры действительно лежат на сторонах описанного прямоугольника. А вот две оставшиеся лежат внутри красного периметра, поэтому для них требуется дополнительное построение. Проведем из каждой вершины высоты к ближайшим сторонам:

Готово! Мы получили прямоугольник, внутри которого заключена наша фигура, а также 7 маленьких фигур, чьи площади считаются по формулам прямоугольного треугольника и прямоугольника. Эти дополнительные фигуры называются разбиением.

Давайте обозначим площади этих фигур: S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆ и S₇. Получим следующую картинку:

Теперь считаем каждую из обозначенных площадей. Имеем:

S₁ = 0,5 · 1 · 2 = 1;
S₂ = 0,5 · 2 · 2 = 2;
S₃ = 0,5 · 1 · 2 = 1;
S₄ = 1 · 1 = 1;
S₅ = 0,5 · 4 · 1 = 2;
S₆ = 0,5 · 1 · 4 = 2;
S₇ = 1 · 1 = 1.

Далее считаем общую площадь красного прямоугольника. На самом деле это квадрат, каждая сторона которого равна 5. Итого площадь равна:

S₀ = 5 · 5 = 25

Теперь осталось найти площадь закрашенной фигуры — ту самую, которую от нас и просят найти в задаче B5 ЕГЭ по математике. Для этого из общей площади S₀ надо вычесть площади тех кусочков S₁, S₂, …, S₇, которые мы только что считали. Получим:

S = S₀ − (S₁ + S₂ + … + S₇) = 25 − (1 + 2 + … + 1) = 25 − 10 = 15

Вот и все решение! Площадь закрашенной фигуры равна 15. Надеюсь, этот урок будет полезен тем, кто начинает готовиться к ЕГЭ по математике.

Смотрите также:

1. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
2. Площади многоугольников на координатной сетке
3. Как сдать ЕГЭ по математике
4. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
6. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции

Условие

Решение

Решение

Написать комментарий

Найдите площадь пятиугольника.

Задание:

Найдите площадь пятиугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.).

Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:

Для того чтобы найти площадь данного пятиугольника, Найдем площадь прямоугольника ABCD и вычтем площади прямоугольных треугольников EAM, EBF, FCK, площадь треугольника LMK и площадь трапеции NLKD(см. рис.).

Площадь прямоугольника ABCD равна (произведение длины на ширину) 8*5=40 (кв. см)

Площадь прямоугольного треугольника находится как полупроизведение его катетов.
Таким образом, площадь треугольника EAM равна 1/2*2*2=2 (кв. см)
Площадь треугольника EBF равна 1/2*3*3=4,5 (кв. см)
Площадь треугольника FCK равна 1/2*5*3=7,5 (кв. см)
Площадь треугольника LMK можно найти как полупроизведение стороны на высоту проведенную к этой стороне. Тогда, площадь треугольника LMK равна 1/2*4*1=2 (кв. см.).
Площадь трапеции найдем как полусумму оснований умноженную на высоту : 1/2(4+6)*2=10 (кв. см.).

Тогда площадь искомой фигуры будет равна 40 — 2 — 4,5 — 7,5 — 2 — 10 = 40 — 26 = 14 (кв. см).

Задача B5: вычисление площади методом обводки

Сегодня мы разберем самый простой прием, который используется в задаче B5 ЕГЭ по математике для нахождения площадей фигур, начерченных на координатной сетке. Этот метод также известен как метод описанного прямоугольника.

Рассмотрим самый простой случай:

1. Фигура наложена на координатную сетку;
2. Все вершины фигуры лежат в узлах этой сетки;
3. Все внутренние углы фигуры меньше 180 °. Т.е. фигура является выпуклой.

Для работы нам потребуются две формулы:

1. S _тр = 0,5 ab — площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b .
2. S _пр = ab — площадь произвольного прямоугольника со смежными сторонами a и b .

Итак, задача B5 из реального ЕГЭ по математике:

Задача B5. Найдите площадь пятиугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратным сантиметрах.

В первую очередь строим описанный прямоугольник, причем так, чтобы на каждой из его сторон находилась хотя бы одна из сторон исходной фигуры.

В нашем случае оказалось, что три вершины исходной фигуры действительно лежат на сторонах описанного прямоугольника. А вот две оставшиеся лежат внутри красного периметра, поэтому для них требуется дополнительное построение. Проведем из каждой вершины высоты к ближайшим сторонам:

Готово! Мы получили прямоугольник, внутри которого заключена наша фигура, а также 7 маленьких фигур, чьи площади считаются по формулам прямоугольного треугольника и прямоугольника. Эти дополнительные фигуры называются .

Давайте обозначим площади этих фигур: S ₁, S ₂, S ₃, S ₄, S ₅, S ₆ и S ₇. Получим следующую картинку:

Теперь считаем каждую из обозначенных площадей. Имеем:

S ₁ = 0,5 · 1 · 2 = 1;
S ₂ = 0,5 · 2 · 2 = 2;
S ₃ = 0,5 · 1 · 2 = 1;
S ₄ = 1 · 1 = 1;
S ₅ = 0,5 · 4 · 1 = 2;
S ₆ = 0,5 · 1 · 4 = 2;
S ₇ = 1 · 1 = 1.

Далее считаем общую площадь красного прямоугольника. На самом деле это квадрат, каждая сторона которого равна 5. Итого площадь равна:

Теперь осталось найти площадь закрашенной фигуры — ту самую, которую от нас и просят найти в задаче B5 ЕГЭ по математике. Для этого из общей площади S ₀ надо вычесть площади тех кусочков S ₁, S ₂, . S ₇, которые мы только что считали. Получим:

S = S ₀ − ( S ₁ + S ₂ + . + S ₇) = 25 − (1 + 2 + . + 1) = 25 − 10 = 15

Вот и все решение! Площадь закрашенной фигуры равна 15. Надеюсь, этот урок будет полезен тем, кто начинает готовиться к ЕГЭ по математике.

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где и — диагонали.

Получим:

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Решение.

Обозначим квадраты буквами так, как показано на рисунке. Перенесём мысленно часть озера, находящуюся в квадрате D, в квадрат А. Сумма этих площадей меньше половины площади квадрата. Площадь части озера в квадрате С примерно половина площади квадрата, другая половина пустая  — перенесем в неё части озера из А и D вместе взятые. Этим квадрат С будет заполнен. Теперь перенесём часть озера, лежащую ниже диагонали квадрата Е, на незанятую часть в квадрате F. Теперь квадрат F заполнен почти полностью, а квадрат Е заполнен наполовину. Итак, озеро покрывает приблизительно два полных квадрата С и F, почти полный квадрат В и половину квадрата Е. Значит, площадь озера больше 3 кв. км, но меньше 3,5 кв. км. Округляя, получаем 3 кв. км.

Ответ: 3.

Примечание редакции Решу ЕГЭ.

Понимая необходимость умений проводить подобные оценки и прикидки в прикладных науках, все же отметим, что приведённые выше рассуждения не имеют никакого отношения к математике. Почему? Потому, что нет доказательств. Например, того, часть из Е действительно поместится в F. Доказательство можно было бы провести так: наложить карту на миллиметровку, найти количество квадратиков, в которые попала фигура, и точно установить границы, в которых лежит площадь: отбросив частично заполненные квадратики, получим площадь с недостатком, учитывая все частично заполненные квадратики, найдем площадь с избытком. Но это путь не для экзамена.

Примечание Д. Д. Гущина о применении палетки для определения площади.

Читательница Ольга Кулешова рассказала нам, что в начальных классах изучают способ нахождения площади фигуры с помощью палетки (квадратной сетки). Площадь фигуры считается равной количеству полностью заполненных клеток сетки плюс половина количества не полностью заполненных клеток. Решая данную задачу таким способом, найдем, что количество полностью заполненных клеток равно 0, количество частично заполненных клеток равно 6, следовательно, площадь фигуры равна 0 + 6 : 2  =  3.

Об этом необходимо сказать следующее.

Для фигур случайной формы, покрытых большим количеством клеток, указанное приближение площади нередко дает удовлетворительную точность. Однако в ряде случаев погрешность становится неприемлемой.

Найдем, к примеру, указанным методом площадь изображенных на рисунке круга и пятиугольника. Для круга сложим 5 целых клеток и половину от 16 частично заполненных, вместе 13 клеток. Как нетрудно проверить, используя формулу для площади круга найденная по клеточкам площадь круга мало отличается от расчетной. Но найдем теперь площадь пятиугольника: к 6 целым клеткам прибавим половину от 9, получим 10,5 или, округленно, 11 клеток. Однако в действительности площадь пятиугольника не 11 и даже не 10, а меньше 9 клеток. Ошибка превосходит 17%, а после округления  — даже 22%.

По всей вероятности, точной формулы для оценки погрешности использования квадратной палетки при оценке площади не существует. Но ясно, что погрешность может быть достаточно велика, если все частично заполненные клетки заполнены более (либо менее), чем наполовину, или если покрывающих фигуру клеток слишком мало.

В приведенном выше задании ЕГЭ площадь покрыта всего шестью клетками. В таких случаях найденный ответ может получиться верным, но может оказаться и ошибочным. Поэтому на экзамене пользоваться указанным методом нельзя. Однако метод можно усовершенствовать. Об этом ниже.

Подробнее прочитать о приближенном определении площадей можно, например, в учебном пособии для высших учебных заведений Инженерная геодезия.pdf.

Примечание Т. Н. Кравченко о последовательных приближениях при применении палетки.

Укажем путь, которым можно находить все более точное значение площади, применяя палетки с уменьшающимся шагом сетки. Истинная площадь фигуры не меньше площади полностью закрашенных клеток. Добавляя к ней половину площади частично закрашенных клеток, мы можем получить избыток или недостаток. Если все частично заполненные клетки «почти пустые», мы получим избыток, равный половине их суммарной площади. Если же все эти клетки «почти полные», площадь будет определена с недостатком, равным половине их суммарной площади. В обоих случаях погрешность площади не больше где n  — количество частично закрашенных клеток, S  — площадь одной клетки. Теперь ясно, что можно попытаться уменьшить погрешность, последовательно уменьшая шаг сетки. Продемонстрируем это на примере нашей задачи.

Изначально площадь одной клетки равна 1. По первому рисунку видно, что озеро Великое расположено в 6 клетках, и ни одна из них не заполнена полностью. В первом приближении площадь озера равна Погрешность в этом случае также равна 3. Поэтому необходимо уменьшить погрешность.

Разделим каждую клетку пополам по вертикали и горизонтали (см. рис. 2), то есть на 4 части. Площадь каждой получившейся клетки теперь равна Озеро Великое занимает 5 клеток целиком, и 14 клеток заполнены не полностью. Следовательно, во втором приближении площадь озера составляет при этом погрешность равна что нас также не устраивает.

На третьем шаге снова разделим все клетки пополам по вертикали и горизонтали, то есть на 4 части (см. рис. 3). Площадь каждой получившейся клетки будет равна Теперь озеро Великое занимает 36 клеток полностью, и еще 28 клеток заполнены не полностью. Площадь озера составляет

при этом погрешность равна Сделаем еще одно разбиение.

Снова разделим все клетки пополам по вертикали и горизонтали. Площадь каждой получившейся клетки будет равна Теперь озеро Великое занимает 172 клетки полностью, и еще 52 клетки заполнены частично. Площадь озера составляет

при этом погрешность равна Таким образом, площадь озера больше 2,5. Наибольшее значение площади равно Это значение достигается, если все частично заполненные клетки заполнены полностью. Но это не так, а потому площадь меньше 3,5. Тем самым строго доказано, что округленное до целых значение площади равно 3.

Подсчитывать количество полностью и не полностью заполненных клеток может быть утомительно. Для облегчения работы можно делить на части только те клетки, которые заполнены не полностью. Покажем это ниже.

По пятому рисунку 5 видно, что озеро не занимает целиком ни одной клетки. Разделим каждую из частично заполненных клеток на четыре части (см. рис. 6). Среди получившихся маленьких клеток полностью заполнено 5 клеток (выделено синим), а еще несколько клеток заполнены не полностью.

Еще раз разделим каждую из частично заполненных клеток на четыре части (см. рис. 7). Среди получившихся маленьких клеток полностью заполнено 16 (выделено желтым), и еще 30 клеток заполнены не полностью. Таким образом, на третьем шаге озеро занимает: 5 целых клеток площадью каждая; 16 3целых клеток площадью каждая и 30 частично заполненных клеток площадью каждая. Найдем площадь озера на этом шаге:

Погрешность определяется последним слагаемым, равным 0,9375, то есть площадь озера может оказаться и меньше 2,5, и больше 3,5, а тогда округление до целых даст 2 или 4 соответственно. Необходим дальше уменьшать шаг сетки.

Еще раз разделим каждую из частично заполненных клеток на четыре части (см. последний рисунок). Теперь озеро занимает: 5 целых клеток площадью 16 целых клеток площадью 29 целых клеток площадью и 62 частично заполненные клетки площадью Находим площадь озера:

Погрешность определяется последним слагаемым, равным 0,484375. Следовательно, площадь озера больше 2,5, и округление до 2 невозможно. Оценка сверху дает 3,671875, то есть площадь может оказаться больше 3,5, а тогда понадобится округление до 4. Так случилось бы, если бы все 62 частично заполненные на последнем шаге клетки были бы заполнены почти полностью. Но это не так. Поэтому на данном шаге можно предположить, что площадь не превзойдет 3,5, а потому должна быть округлена до 3.

Вычисление площади по формуле для ряда фигур дает сильно завышенную погрешность, поэтому для большинства экзаменационных задач, в отличие от этой, нахождение площади применением палеток с уменьшающимся шагом сетки обычно дает хороший результат при однократном делении исходных клеток на 4 части по вертикали и горизонтали, то есть всего на 16 частей.

Такой способ расчета может оказаться более трудоемким, чем предложенный выше основной способ решения, однако он является полностью формализованным и не требует творческих усилий.

ИЛИ

Участок, изображенный на плане, представляет собой трапецию, площадь которой равна произведению полусуммы оснований на высоту. Таким образом, площадь участка:

Ответ: 12.

Привет! Цель нашего проекта помочь тебе подготовиться к ЕГЭ (или ОГЭ).
У нас более 1000 заданий с подробным решением, сервис, запоминающий твои ответы, и удивительная система тестирования.
Обо всем по порядку расскажу тебе после быстрой регистрации.

Присоединиться к ExamMe