Как найти площадь пятиугольника с разными сторонами - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Площадь пятиугольника (пентагона).

Пятиугольник (пентагон) — представляет собой геометрическую фигуру с пятью углами. существует множество разных пятиугольников, однако если стороны равны, а каждый угол фигуры равен 108 градусам, то многоугольник называется правильным.

Формула расчёта площади пятиугольника (пентагона) зная длину сторон: S=n/4 × a 2 × ctg(pi/n).
Где (S) — площадь пятиугольника, (n) — количество сторон, в нашем случае 5, (a) — длина стороны, (ctg) — котангенс.

Формула расчёта площади пятиугольника (пентагона) зная радиус вписанной окружности: a = 1,4131 × r.
Где (r) — радиус вписанной окружности, дальше используем формулу расчёта площади пятиугольника (пентагона)

Формула расчёта площади пятиугольника (пентагона) зная радиус описанной окружности: a = 1,1756 × r.
Где (r) — радиус вписанной окружности, дальше используем формулу расчёта площади пятиугольника (пентагона)

Калькулятор для расчёта площади пятиугольника (пентагона), онлайн

Понравилась страница? Поделитесь ссылкой в социальных сетях. Поддержите проект!

Как найти площадь пятиугольника — математический — 2022

Чтобы найти область правильного пятиугольника с пятью равными сторонами и углами, вы должны знать длину каждой стороны и длину линии от центра каждой стороны до центра пятиугольника.

Отметьте среднюю точку правильного пятиугольника и проведите линию от каждого из углов до средней точки. Если вы не знаете середину, вы можете нарисовать линии к середине противоположной стороны и стереть половину.

Возьмите одну из этих линий и вытяните ее, чтобы коснуться средней точки противоположной стороны. Это создает апофе Сделайте это для каждой линии, чтобы создать 10 маленьких прямоугольных треугольников с одинаковой площадью. Чтобы продолжить, вы должны знать длину апофема. Если вы работаете с физическим пятиугольником, измерьте апофим.

Найдите площадь одного прямоугольного треугольника и умножьте на 10, чтобы получить общую площадь пятиугольника. Площадь прямоугольного треугольника определяется по формуле: 1/2 x база x высота. Высота — это апофема, а основание — половина стороны пятиугольника.

подсказки

Тот же метод применяется к неправильным пятиугольникам, за исключением того, что вы разбиваете пятиугольник на треугольники разных размеров, находите площадь каждого отдельного треугольника и добавляете области для общей площади пятиугольника.

Как найти площадь 12-стороннего многоугольника

Многоугольник — это любая двумерная замкнутая фигура с тремя или более замкнутыми сторонами, а 12-сторонний многоугольник — это додекагон. Существует формула для расчета площади правильного додекагона, равного сторонам и углам, но не для определения площади неправильного додекагона.

Как найти площадь 3-мерного прямоугольника

Многие трехмерные объекты имеют двухмерные формы в виде деталей или компонентов. Прямоугольная призма — это трехмерное тело с двумя одинаковыми и параллельными прямоугольными основаниями. Четыре стороны между двумя основаниями также являются прямоугольниками, причем каждый прямоугольник идентичен тому, который расположен напротив него. Прямоугольный .

Каковы характеристики пятиугольника, шестиугольника и восьмиугольника?

Полигоны — это математические понятия, относящиеся к прямолинейным геометрическим фигурам. Полигоны включают такие фигуры, как пятиугольники, шестиугольники и восьмиугольники. Полигоны можно считать выпуклыми, вогнутыми или правильными. Полигоны могут иметь более одной характеристики. Например, правильный пятиугольник также считается выпуклым.

Площадь многоугольника

Калькулятор считает площадь многоугольника по введенным вами сторонами и диагоналям, главное чтобы диагонали делили многоугольник на несколько треугольников, которые в свою очередь не пересекались бы между собой.

И так, глядя на рисунок, можно сразу представить, что площадь данного многоугольника будет равна сумме площади трех треугольников, расположенных внутри многоугольника.

Для начала расчетов вам придется внимательно внести в таблицу значения сторон ваших треугольников.

Источник

Загрузить PDF

Пятиугольник — это многоугольник, у которого пять углов. В подавляющем большинстве задач вы столкнетесь с правильным пятиугольником, у которого все стороны равны. Есть два основных способа найти площадь пятиугольника (в зависимости от известных вам величин).

1
Даны сторона и апофема. Этот метод применим к правильным пятиугольникам, у которых все стороны равны. Апофема — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника и середину любой из его сторон; апофема всегда перпендикулярна стороне пятиугольника.
- Не путайте апофему с радиусом описанной окружности. Такой радиус — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника с его вершиной (а не серединой стороны). Если вам дана сторона и радиус описанной окружности, перейдите к следующей главе.
- Например, дан пятиугольник со стороной 3 см и апофемой 2 см.
2

Разделите пятиугольник на пять равных треугольников. Для этого соедините центр пятиугольника с каждой из его вершин.
3
Вычислите площадь треугольника. Основание каждого треугольника — это сторона пятиугольника, а высота каждого треугольника — это апофема пятиугольника. Для вычисления площади треугольника перемножьте половину основания и высоту, то есть площадь = ½ х основание х высоту.
- В нашем примере площадь треугольника = ½ х 3 х 2 = 3 квадратных сантиметра.
4
Умножьте найденную площадь треугольника на 5, чтобы вычислить площадь пятиугольника. Это верно, так как мы разделили пятиугольник на пять равных треугольников.
- В нашем примере площадь пятиугольника = 5 х площадь треугольника = 5 х 3 = 15 квадратных сантиметров.
Реклама

1
Если дана сторона. Этот метод применим к правильным пятиугольникам, у которых все стороны равны.
- Например, дан пятиугольник со стороной 7 см.
2

Разделите пятиугольник на пять равных треугольников. Для этого соедините центр пятиугольника с каждой из его вершин.
3

Разделите треугольник пополам. Для этого из вершины треугольника, которая лежит в центре пятиугольника, опустите перпендикуляр к противоположной стороне треугольника, которая равна стороне пятиугольника. Вы получите два равных прямоугольных треугольника.
4
Дайте обозначения одному из прямоугольных треугольников.
- Основание прямоугольного треугольника — это половина стороны пятиугольника. В нашем примере основание равно ½ х 7 = 3,5 см.
- Угол вокруг центра пятиугольника равен 360˚. Разделив пятиугольник на пять равных треугольников, а потом разделив каждый треугольник пополам, вы поделите угол вокруг центра пятиугольника на 10 равных частей, то есть угол прямоугольного треугольника, противолежащий основанию, равен 360°/10 = 36˚.
5
Вычислите высоту треугольника. Высота прямоугольного треугольника равна его катету, отличному от основания. Используйте тригонометрические функции, чтобы найти высоту треугольника.^[1]
- В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне.
- В нашем примере для угла в 36˚ противолежащей стороной является основание, а прилежащей — высота.
- tg 36˚ = противолежащая сторона/прилежащая сторона
- В нашем примере tg 36˚ = 3,5/высота
- Высота х tg 36˚ = 3,5
- Высота = 3,5/tg 36˚
- Высота = 4,8 см (примерно)
6
Найдите площадь треугольника. Площадь треугольника = ½ х основание х высота (А = ½bh). Зная основание и высоту, вы можете найти площадь прямоугольного треугольника.
- В нашем примере площадь прямоугольного треугольника = ½bh = ½(3,5)(4,8) = 8,4 квадратных сантиметров.
7
Умножьте найденную площадь прямоугольного треугольника на 10, чтобы вычислить площадь пятиугольника. Это верно, так как мы разделили пятиугольник на десять равных прямоугольных треугольников.
- В нашем примере площадь пятиугольника равна 8,4 х 10 = 84 квадратных сантиметра.
Реклама

1
Даны периметр и апофема. Апофема — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника и середину любой из его сторон; апофема всегда перпендикулярна стороне пятиугольника.
- A = ра/2, где р — периметр, а — апофема. ^[2]
- Если дана сторона, вычислите периметр правильного пятиугольника по формуле: p = 5s, где s — сторона пятиугольника.
2
Дана сторона. Если дана только сторона пятиугольника, используйте следующую формулу:^[3]
- А = (5s²) / (4tg36˚), где s — сторона пятиугольника.
- tg36˚ = √(5-2√5).^[4] Если на калькуляторе нет функции тангенса, используйте следующую формулу: А = (5s²) / (4√(5-2√5)).
3
Дан радиус описанной окружности. В этом случае для вычисления площади пятиугольника используйте следующую формулу:^[5]
- A = (5/2)r²sin72˚, где r — радиус описанной окружности.
Реклама

Советы

Сложнее работать с неправильным пятиугольником (это пятиугольник, стороны которого имеют разную длину). В этом случае разделите пятиугольник на треугольники, найдите их площади и сложите значения площадей. Вы также можете обрисовать пятиугольник правильной фигурой, вычислить ее площадь, а затем вычесть площадь дополнительного пространства.
Формулы, полученные геометрическим путем, аналогичны формулам, которые описаны в этой статье. Подумайте, сможете ли вы вывести эти формулы. Формулу, включающую радиус описанной окружности, вывести труднее (намек: рассматривайте удвоенный угол при центре пятиугольника).
В приведенных в этой статье примерах используются округленные значения, чтобы упростить вычисления. Если вы работаете с реальным многоугольником, то вы получите другие результаты для других длин и площадей.
Если возможно, вычислите площадь пятиугольника, используя оба описанных метода. Затем сравните результаты, чтобы подтвердить правильность ответа.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 235 785 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Видео: Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnline

Содержание

Как найти площадь правильного пятиугольника?
Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a
Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус
Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?
Триангуляция
Гауссовские детерминанты
Решенные упражнения
Упражнение 1
Решение
Упражнение 2.
Решение
Площадь треугольника EDC
Площадь треугольника AEC
Площадь треугольника ABC
Площадь неправильного пятиугольника
Ссылки

Для расчета площадь пятиугольника для начала нам нужно определить, регулярно это или нет. Пятиугольник — это многоугольник, замкнутая плоская фигура с пятью сторонами. Когда многоугольник правильный, это означает, что длина его сторон одинакова, а его внутренние углы одинаковы.

В этом случае есть формула для вычисления точной площади правильного многоугольника, зная некоторые из его основных характеристик, которые мы выведем позже.

Если многоугольник не правильный, то есть имеет стороны разных размеров и неравные внутренние углы, единой формулы не существует.

Однако математики нашли методы вычислений, такие как разделение фигуры на другие с меньшим количеством сторон, такие как треугольники, квадраты и прямоугольники, размеры которых легко узнать или вычислить.

Еще одна процедура для вычисления площадей полигонов в целом, зная координаты их вершин, — это метод, называемый Гауссовские детерминанты, о котором мы расскажем позже.

Как найти площадь правильного пятиугольника?

Мы собираемся взять правильный пятиугольник со стороной a и разделить его на 5 равных треугольников, как показано на рисунке, проведя отрезки от центра (красный) до вершин (синий).

В свою очередь, треугольники, как и тот, который выделен желтым справа на рисунке выше, делятся на два равных прямоугольных треугольника благодаря зеленому сегменту, который называется апофема.

Апофема определяется как перпендикулярный сегмент, который соединяет центр многоугольника с центром одной из сторон. Его длина L_К.

Площадь прямоугольного треугольника с основанием a / 2 и высотой L_К это:

[(a / 2) x L_К]

Пентагон состоит из 10 таких треугольников, поэтому его площадь равна:

А = 10 (а / 2) х L_К

Но периметр п пятиугольника равно P =10а, поэтому площадь определяется как произведение периметра и длины апофемы:

А = P x L_К /2

Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a

Выражая длину апофемы L_К как функция стороны a, зная, что указанный угол составляет половину центрального угла, то есть 36º, что эквивалентно:

36º = π/5

Методом элементарной тригонометрии через тангенс острого угла 36º:

загар (π / 5) = (a / 2) ÷ L_К

Отсюда:

L_К=(а / 2) ÷ загар (π / 5)

Подставив в область, выведенную в предыдущем разделе, и зная, что P = 5a:

А = P x L_К /2

Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус

В радио правильного многоугольника — это отрезок, идущий от центра до одной из его вершин. Он соответствует радиусу описанной окружности, как показано на следующем рисунке:

Пусть R — мера указанного радиуса, которая совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника, выделенного синим цветом на предыдущем рисунке. По тригонометрии:

cos 36º = cos (π / 5) = L_К ÷ R

sin 36º = sin (π / 5) = (a / 2) ÷ R

Таким образом:

А = P x L_К / 2 = 5р. sin (π / 5) x R. cos (π / 5) = 5R² [sin (π / 5) x cos (π / 5)]

Используя формулу двойного угла:

грех (2θ) = 2 греха θ. cos θ

У нас это:

[sin (π / 5) x cos (π / 5)] = (1/2) sin 72º

Итак, подставив это значение, мы получим следующую формулу для площади правильного пятиугольника:

А = (5/2) R².sen 72º

Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?

Как мы уже говорили ранее, для неправильного многоугольника не существует уникальной формулы, но есть два метода, которые обычно работают очень хорошо: первый называется триангуляцией, а второй — методом детерминантов Гаусса.

Триангуляция

Он состоит из деления фигуры на треугольники, площадь которых легче вычислить, или ее также можно проверить с другими фигурами, площадь которых известна, такими как квадраты, прямоугольники и трапеции.

Гауссовские детерминанты

Другой способ найти площадь неправильного пятиугольника или другого неправильного многоугольника — это поместить фигуру в декартову систему координат, чтобы найти координаты вершин.

Зная эти координаты, применяется гауссовский метод определителей для вычисления площади, которая определяется следующей формулой:

Где A — площадь многоугольника, а (x_п , Y_п) — координаты вершин. Многоугольник с n сторонами имеет 5 вершин, для пятиугольника это будет n = 5:

Полосы, сопровождающие формулу, представляют собой столбцы модуля или абсолютного значения.

Это означает, что даже если результат операции отрицательный, мы должны выразить его положительным знаком, а если он уже положительный, то его нужно оставить с этим знаком. Это потому, что площадь всегда является положительной величиной.

Процедура названа гауссовскими детерминантами в честь ее создателя, немецкого математика Карла Ф. Гаусса (1777-1855). Указанные операции эквивалентны определителю матрицы 2 × 2, например, первый определитель равен:

Чтобы найти площадь пятиугольника, мы должны решить 5 определителей, сложить результат алгебраически, разделить его на 2 и, наконец, выразить площадь всегда с положительным знаком.

Решенные упражнения

Упражнение 1

Найдите площадь правильного пятиугольника, апофема которого равна 4 см, а сторона — 5,9 см.

Решение

Поскольку это правильный пятиугольник, а у нас есть размеры стороны и апофемы, мы используем формулу, полученную выше:

А = P x L_К /2

Периметр P равен 5a = 5 x 5,9 см = 29,5 см.

A = 29,5 см x 4 см / 2 = 59 см²

Упражнение 2.

Найдите площадь неправильного пятиугольника, как показано. Известны следующие размеры:

DC ≈ DE

АЕ = АВ = 5

BC = 12

Решение

Площадь пятиугольника — это сумма площадей треугольников, которые являются прямоугольниками. В заявлении говорится, что DC ≈ DE, поэтому при применении теоремы Пифагора к треугольнику EDC мы имеем:

EC² = 2 ED². Тогда EC = √2.ED.

Треугольники AEC и ABC имеют общую гипотенузу — отрезок AC, поэтому:

EA² + EC² = AB² + BC²

Поскольку EA и AB измеряют одно и то же, отсюда следует, что:

EC = BC = √2.ED

Поскольку BC = 12, то ED = 12 / √2 = 8,485.

Используя эти значения, мы рассчитаем площадь каждого треугольника и добавим их в конце.

Площадь треугольника EDC

ED x DC / 2 = 8,485² / 2 = 36

Площадь треугольника AEC

EA x EC / 2 = EA x √2. ED / 2 = 5 x √2. 8 485/2 = 30

Площадь треугольника ABC

AB x BC / 2

Тогда искомая область:

5 х 12/2 = 30

Это то же самое, что и треугольник AEC, поскольку они оба имеют одинаковые размеры.

Площадь неправильного пятиугольника

Наконец, запрашиваемая площадь представляет собой сумму площадей трех треугольников:

А = 36 + 30 + 30 единиц = 96 единиц.

Ссылки

Александр, Д. 2013. Геометрия. 5-е. Издание. Cengage Learning.
Открытый справочник по математике. Площадь многоугольника. Получено с: mathopenref.com.
Формулы Вселенной. Площадь неправильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
Формулы Вселенной. Площадь правильного пятиугольника. Получено с: universaloformulas.com.
Википедия. Пентагон. Получено с: es.wikipedia.com.

Источник

Пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру с пятью углами. Существует множество разных пятиугольников, однако если стороны равны, а каждый угол фигуры равен 108 градусам, то многоугольник называется правильным и носит название «пентагон».

Геометрия пятиугольника

Пятиугольник — это фигура, которая состоит из пяти соединенных отрезков. Стороны произвольного многоугольника могут соединяться под разными углами, в результате чего фигура может быть невыпуклой. Наиболее ярким примером невыпуклого многоугольника является звезда, а пятиугольника — проекция зубчатой короны, когда два «зубца» выступают над прямоугольным основанием. Выпуклый многоугольник — это фигура, продолжение отрезков которого не пересекает других сторон. Если же мы продлим отрезки зубцов или лучей звезды, они пересекут другие стороны фигуры.

Пятиугольник в реальности

Невыпуклые геометрические фигуры редко встречаются в человеческой повседневности и обычно представляют собой основания для нестандартных призм. Наиболее распространенным пятиугольником в реальности считается пентагон — правильный многоугольник. Пентагон нашел применение в архитектуре и дизайне, и тезкой фигуры является одно из самых известных зданий Америки — штаб министерства обороны США.

Додекаэдр — платоново тело, каждая из 12 сторон которого является правильным пятиугольником. Додекаэдр используется в различных сферах, но наиболее известным представлением многогранника считается игральная кость d12, которая используется как генератор случайных чисел для настольных ролевых игр.

Несмотря на то, что многие организмы обладают пентасимметрией, например, морские звезды или плоды мушмулы, природные пятиугольные объекты практически не встречаются в природе.

Площадь пентагона

Площадь любой геометрической фигуры — это количественная оценка того, какую часть плоскости ограничивают ее стороны. Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле:

S = n/4 × a² × ctg(pi/n),

где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны.

Таким образом, если подставить n = 5 и выразить получившееся выражение десятичной дробью, мы получим простую формулу для вычисления площади пентагона:

S = 1,72 a²

где a — длина одной стороны.

Сторона пентагона и радиусы вписанной r и описанной окружности R приблизительно соотносятся как:

a = 1,4131 r
a = 1,1756 R

Программный код калькулятора использует эти соотношения, что позволяет вам найти площадь правильного пятиугольника, зная только один параметр из перечисленных:

радиус вписанной окружности;
радиус описанной окружности;
длина стороны.

Рассмотрим на примерах, как вычислить площадь правильного пятиугольника.

Примеры из жизни

Пентагон

Штаб министерства обороны США — это всемирно известное здание, которое имеет форму правильного пятиугольника. Каждая сторона штаба имеет длину 281 м и мы без проблем можем узнать, какую площадь занимает здание. Для более удобного представления выразим длину в километрах, введем эти данные в форму калькулятора a = 0,281 и получим результат:

S = 0,1359

Площадь Пентагона составит 0,136 квадратных километров.

Школьная задача

К примеру, необходимо вычислить площадь пентагона, зная, что радиус вписанной окружности составляет 15 см. Мы можем выразить сторону многоугольника через простое соотношение радиуса вписанной окружности и длины стороны a = 1,4131 r, после чего посчитать по формуле его площадь. Проще всего ввести значение радиуса в ячейку «Радиус вписанной окружности r» и получить мгновенный результат:

S = 817,36

Кроме непосредственно площади фигуры, калькулятор автоматически подсчитал остальные атрибуты пятиугольника.

Заключение

Пентагон нечасто встречается в реальной жизни, однако при решении производственных вопросов или школьных задач вам может понадобиться рассчитать площадь или периметр правильных многоугольников. Наш каталог калькуляторов к вашим услугам.

Источник

Автор:
Janice Evans

Дата создания:
1 Июль 2021

Дата обновления:
22 Май 2023

Видео: Самый простой способ нахождения площади

Вы можете быть удивлены, обнаружив, что площадь пятиугольника или пятистороннего многоугольника может быть трудно рассчитать. Многие из пятиугольников, представленных студентам, просты или сложны. Но те из природы часто нерегулярны, с неравными сторонами. Расчет таких пятиугольников требует творчества и предварительного знания дополнительных фигур. Нерегулярные многоугольники могут быть разложены в другие формы или нанесены на декартовой плоскости. К счастью, есть некоторые хитрости, которые делают вычисление сложных пятиугольников легкой задачей.

Нарисуйте все диагонали из главной вершины, используя карандаш и линейку, чтобы разделить фигуру на треугольники. Вычислите площадь каждого треугольника, используя формулу area = 1/2 * base * height. Добавьте все области, чтобы узнать общую площадь неправильного пятиугольника.

Найдите область правильного пятиугольника, если есть часть фигуры, которой нет. Вычтите площадь недостающей части общей площади.

Ищите другие фигуры в неправильном пятиугольнике, такие как параллелограммы и квадраты. Нарисуйте линию, чтобы отделить знакомые фигуры внутри пятиугольника. Рассчитайте площадь каждой фигуры, затем поднимите их, чтобы узнать общую площадь неправильного пятиугольника.

Consejos

Используйте простую математику для вычисления площади пятиугольника, если вершины даны в их декартовых координатах.

Источник