Как найти площадь равнобедренного тре - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как посчитать площадь равнобедренного треугольника

Главная
/
Математика
/
Геометрия
/
Как посчитать площадь равнобедренного треугольника

Чтобы посчитать площадь равнобедренного треугольника воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить площадь равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

длина основания (b) и высота (h)
длину двух равных сторон (a) и угол β
длину двух равных сторон (a) и угол α
длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)

Введите их в соответствующие поля и узнаете площадь равнобедренного треугольника (S).

Как посчитать площадь равнобедренного треугольника зная длину основания и высоту

Чему равна площадь равнобедренного треугольника если длина основания

b =

, а длина высоты

h =?

Ответ:

S =

Какова площадь равнобедренного треугольника (S) если известны длина основания (b) и высота (h)?

Формула

S = ½⋅b⋅h

Пример

Если основание b = 5 см, а высота h = 10 см, то:

S = ½⋅5⋅10 = 50/2 = 25 см²

Как посчитать площадь равнобедренного треугольника зная длину двух равных сторон (a) и угол между ними (β)

Чему равна площадь равнобедренного треугольника если длина сторон

a =

, а угол между ними

β =° ?

Ответ:

S =

Какова площадь равнобедренного треугольника (S) если известны длина двух равных сторон (a) и угол между ними (β)?

Формула

S = ½⋅a²⋅sin β

Пример

Если сторона а = 10 см, а ∠β = 30°, то:

S = ½⋅10²⋅sin30° = ½ ⋅100⋅0.5= 50/2 = 25 см²

Как посчитать площадь равнобедренного треугольника зная длину двух равных сторон (a) и угол между стороной и основанием (α)

Чему равна площадь равнобедренного треугольника если длина сторон

a =

, а угол

α =° ?

Ответ:

S =

Какова площадь равнобедренного треугольника (S) если известны длина двух равных сторон (a) и угол между стороной и основанием (α)?

Формула

S = ½⋅a²⋅sin(180-2α)

Пример

Если сторона а = 10 см, а ∠α = 75°, то:

S = ½⋅10²⋅sin(180-2⋅75)° = ½ ⋅100⋅0.5 = 50/2 = 25 см²

Как посчитать площадь равнобедренного треугольника зная длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)

Чему равна площадь равнобедренного треугольника если длина сторон

a =

, а длина основания

b =?

Ответ:

S =

Какова площадь равнобедренного треугольника (S) если известны длина двух равных сторон (a) и длина основания (b)?

Формула

S = ½⋅b⋅√(a+½⋅b)⋅(a-½⋅b)

Пример

Если сторона а = 10 см, а основание b = 5, то:

S =½⋅5⋅√(10+½⋅5)⋅(10-½⋅5)= 2.5⋅√12.5⋅7.5 ≈ 24.2 см²

См. также

Источник

Загрузить PDF

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. Равные (боковые) стороны пересекают третью сторону (основание) под одним углом, а точка пересечения равных сторон находится над серединой основания. В этом можно убедиться с помощью линейки и двух карандашей одинаковой длины: если наклонить треугольник в одну или другую сторону, кончики карандашей не соединятся. Такие свойства равнобедренного треугольника позволяют вычислить его площадь всего лишь по нескольким известным величинам.

1
Выясните, как найти площадь параллелограмма. Квадраты и прямоугольники являются параллелограммами, как и любая другая четырехсторонняя фигура, у которой противоположные стороны параллельны. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = bh,^[1] где «b» – основание (нижняя сторона параллелограмма), «h» – высота (расстояние от верхней до нижней стороны; высота всегда пересекает основание под углом 90°).
- В квадратах и прямоугольниках высота равна боковой стороне, так как боковые стороны пересекают верхнюю и нижнюю стороны под прямым углом.
2

Сравните треугольники и параллелограммы. Между этими фигурами существует простая связь. Если любой параллелограмм разрезать по диагонали, получатся два равных треугольника. Аналогично, если сложить два равных треугольника, получится параллелограмм. Поэтому площадь любого треугольника вычисляется по формуле: S = ½bh, что составляет половину площади параллелограмма.
3
Найдите основание равнобедренного треугольника. Теперь вы знаете формулу для вычисления площади треугольника; осталось выяснить, что такое «основание» и «высота». Основание (обозначается как «b») – это сторона, которая не равна двум другим (равным) сторонам.
- Например, если стороны равнобедренного треугольника равны 5 см, 5 см, 6 см, в качестве основания выберите сторону, которая равна 6 см.
- Если все стороны треугольника равны (равносторонний треугольник), в качестве основания выберите любую сторону. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника, но его площадь вычисляется так же.^[2]
4
Опустите перпендикуляр на основание. Сделайте это из вершины треугольника, которая противоположна основанию. Помните, что перпендикуляр пересекает основание под прямым углом. Такой перпендикуляр является высотой треугольника (обозначается как «h»). Как только вы найдете значение «h», вы сможете вычислить площадь треугольника.
- В равнобедренном треугольнике высота пересекает основание точно посередине.
5
Посмотрите на половину равнобедренного треугольника. Обратите внимание, что высота разделила равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Посмотрите на один из них и найдите его стороны:
- Короткая сторона равна половине основания: ${frac {b}{2}}$ .
- Вторая сторона – это высота «h».
- Гипотенуза прямоугольного треугольника является боковой стороной равнобедренного треугольника; обозначим ее как «s».
6
Воспользуйтесь теоремой Пифагора. Если известны две стороны прямоугольного треугольника, его третью сторону можно вычислить по теореме Пифагора: (сторона 1)² + (сторона 2)² = (гипотенуза)². В нашем примере теорема Пифагора запишется так: $({frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ .
- Скорее всего, теорема Пифагора вам известна в такой записи: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Мы употребляем слова «сторона 1», «сторона 2» и «гипотенуза», чтобы предотвратить путаницу с переменными из примера.
7

Вычислите значение «h». Помните, что в формуле для вычисления площади треугольника есть переменные «b» и «h», но значение «h» неизвестно. Перепишите формулу, чтобы вычислить «h»:
8

В формулу подставьте известные значения и вычислите «h». Эту формулу можно применить к любому равнобедренному треугольнику, стороны которого известны. Вместо «b» подставьте значение основания, а вместо «s» – значение боковой стороны, чтобы найти значение «h».
9
Подставьте значения основания и высоты в формулу для вычисления площади треугольника. Формула: S = ½bh; подставьте в нее значения «b» и «h» и вычислите площадь. В ответе не забудьте написать квадратные единицы измерения.
- В нашем примере основание равно 6 см, а высота равна 4 см.
- S = ½bh
  S = ½(6 см)(4 см)
  S = 12 см².
10

Рассмотрим более сложный пример. В большинстве случаев вам будет дана более трудная задача, чем рассмотренная в нашем примере. Чтобы вычислить высоту, нужно извлечь квадратный корень, который, как правило, не извлекается нацело. В этом случае запишите значение высоты в виде упрощенного квадратного корня. Вот новый пример:

Реклама

1
Вычислите площадь по боковой стороне и прилежащему углу. Если вы знакомы с тригонометрическими функциями, площадь равнобедренного треугольника можно вычислить по боковой стороне и прилежащему углу. Например:^[3]
- Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см.
- Угол θ между двумя равными сторонами равен 120°.
2
Разделите равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Для этого опустите перпендикуляр (высоту) из вершины треугольника, которая образована двумя равными сторонами, на основание.
- Высота делит угол θ ровно пополам. Таким образом, один из углов прямоугольного треугольника равен ½θ, а в нашем примере (½)(120) = 60°.
3
Вычислите высоту «h» с помощью тригонометрических функций. К прямоугольному треугольнику можно применить следующие тригонометрические функции: sin (синус), cos (косинус) и tg (тангенс). В нашем примере известна гипотенуза «s»; нужно найти «h», то есть катет, прилежащий к известному углу. Вспомните, что косинус = прилежащий катет/гипотенуза.
- cos(θ/2) = h/s
- cos(60°) = h/10
- h = 10cos(60º)
4
Вычислите значение второго катета. Теперь мы не знаем значение второго катета прямоугольного треугольника; обозначим его как «x». Вспомните, что синус = противолежащий катет/гипотенуза.
- sin(θ/2) = x/s
- sin(60º) = x/10
- x = 10sin(60°)
5

Обратите внимание, что второй катет прямоугольного треугольника равен половине основания равнобедренного треугольника. То есть b = 2x, потому что высота (первый катет) разделила основание пополам (на два катета, каждый из которых равен значению «x»).
6

Подставьте значения «h» и «b» в формулу для вычисления площади. Теперь, когда вы знаете основание и высоту, подставьте их в формулу S = ½bh:
7
Запишите универсальную формулу. Теперь, когда вы познакомились с полным процессом вычисления площади равнобедренного треугольника, можно пользоваться универсальной формулой, которая позволит сократить этот процесс. Если вы повторите описанный процесс без числовых значений и упростите ряд выражений, вы получите следующую универсальную формулу:^[4]
- $S={frac {1}{2}}s^{2}sintheta$
- s – одна из двух боковых (равных) сторон.
- θ – угол между двумя боковыми (равными) сторонами.
Реклама

Советы

Если дан равнобедренный прямоугольный треугольник (с двумя равными катетами и прямым углом), вычислить его площадь очень просто. Один катет будет основанием, а второй – высотой, поэтому формула S = ½bh запишется так: S=½s², где s – катет.
Из квадратного корня можно извлечь два значения – положительное и отрицательное, но в геометрических задачах отрицательным значением можно пренебречь. Например, высота треугольника не может быть отрицательной.
В некоторых задачах будут даны другие величины, например, основание и один угол равнобедренного треугольника. В этом случае действуйте так же: разделите равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника, а затем найдите высоту с помощью тригонометрических функций.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 25 570 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Формула площади равнобедренного треугольника

по основанию и высоте

(S_bigtriangleup = frac{1}{2} b*h)

(b) — основание
(h) — высота

по двум сторонам

(S_bigtriangleup = frac{b}{4} sqrt{ 4a^2-b^2})

(b) — основание
(a) — стороны
(h) — высота

если в равнобедренном треугольнике прямой угол

(S_bigtriangleup = frac{1}{2} a^2)

(a) — равные стороны, между которыми 90°

Примеры

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 10, а основание 12.

Решение: Воспользуемся формулой подсчета по двум сторонам (S_bigtriangleup = frac{b}{4} sqrt{ 4a^2-b^2} = frac{10}{4} sqrt{ 4*12^2-10^2} = 54,5 )

Как найти площадь равнобедренного треугольника, зная, что основание равно 30, а высота, проведенная к основанию — 12.

Используем формулу (S_bigtriangleup = frac{1}{2} b*h = frac{1}{2} 30*12 = 180) . Ответ 180.

Чему равно основание равнобедренного треугольника, если нам известно, что его площадь равна 180, а высота, проведенная к основанию равна 30.

Решение: Используем первую формулу, из нее следует что (b = frac{S*2}{h} = 180*2/30 = 12)

b — основание
S — площадь треугольника
h — высота

Источник

Какие размеры треугольника известны:

Основание и высота

Основание и сторона

Укажите размеры:

Результат:

Решение:

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.

Треугольники бывают прямоугольный, равнобедренный, равносторонний.

Равнобедренный треугольник — это треугольник у которого две стороны равны. Эти равные стороны называют боковыми, а третью сторону равнобедренного треугольника называют основанием.

Формула площади равнобедренного треугольника

Чтобы посчитать площадь равнобедренного треугольника, необходимо знать размеры двух сторон треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника расчитывается по формуле:

a
a
b
h

Через основание и высоту:

S = dfrac{1}{2}bh

Через основание и боковую сторону:

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2}

S — площадь треугольника
a — равные стороны
b — основание треугольника
h — высота

Похожие калькуляторы:

Войдите чтобы писать комментарии

Источник

Download Article

An isosceles triangle is a triangle with two sides of the same length. These two equal sides always join at the same angle to the base (the third side), and meet directly above the midpoint of the base.^[1] You can test this yourself with a ruler and two pencils of equal length: if you try to tilt the triangle to one direction or the other, you cannot get the tips of the pencils to meet. These special properties of the isosceles triangle allow you to calculate the area from just a couple pieces of information.

1
Review the area of a parallelogram. Squares and rectangles are parallelograms, as is any four-sided shape with two sets of parallel sides. All parallelograms have a simple area formula: area equals base multiplied by the height, or A = bh.^[2] If you place the parallelogram flat on a horizontal surface, the base is the length of the side it is standing on. The height (as you would expect) is how high it is off the ground: the distance from the base to the opposite side. Always measure the height at a right (90 degree) angle to the base.
- In squares and rectangles, the height is equal to the length of a vertical side, since these sides are at a right angle to the ground.
2

Compare triangles and parallelograms. There’s a simple relationship between these two shapes. Cut any parallelogram in half along the diagonal, and it splits into two equal triangles. Similarly, if you have two identical triangles, you can always tape them together to make a parallelogram. This means that the area of any triangle can be written as A = ½bh, exactly half the size of a corresponding parallelogram.^[3]

Advertisement
3
Find the isosceles triangle’s base. Now you have the formula, but what exactly do «base» and «height» mean in an isosceles triangle? The base is the easy part: just use the third, unequal side of the isosceles.
- For example, if your isosceles triangle has sides of 5 centimeters, 5 cm, and 6 cm, use 6 cm as the base.
- If your triangle has three equal sides (equilateral), you can pick any one to be the base. An equilateral triangle is a special type of isosceles, but you can find its area the same way.^[4]
4
Draw a line between the base to the opposite vertex. Make sure the line hits the base at a right angle. The length of this line is the height of your triangle, so label it h. Once you calculate the value of h, you’ll be able to find the area.
- In an isosceles triangle, this line will always hit the base at its exact midpoint.^[5]
5
Look at one half of your isosceles triangle. Notice that the height line divided your isosceles triangle into two identical right triangles. Look at one of them and identify the three sides:
- One of the short sides is equal to half the base: ${frac {b}{2}}$ .
- The other short side is the height, h.
- The hypotenuse of the right triangle is one of the two equal sides of the isosceles. Let’s call it s.
6
Set up the Pythagorean Theorem. Any time you know two sides of a right triangle and want to find the third, you can use the Pythagorean theorem:^[6] (side 1)² + (side 2)² = (hypotenuse)² Substitute the variables we’re using for this problem to get $({frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ .^[7]
- You probably learned the Pythagorean Theorem as $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Writing it as «sides» and «hypotenuse» prevents confusion with your triangle’s variables.
7

Solve for h. Remember, the area formula uses b and h, but you don’t know the value of h yet. Rearrange the formula to solve for h:^[8]
8

Plug in the values for your triangle to find h. Now that you know this formula, you can use it for any isosceles triangle where you know the sides. Just plug in the length of the base for b and the length of one of the equal sides for s, then calculate the value of h.
9
Plug the base and height into your area formula. Now you have what you need to use the formula from the start of this section: Area = ½bh. Just plug the values you found for b and h into this formula and calculate the answer. Remember to write your answer in terms of square units.^[9]
- To continue the example, the 5-5-6 triangle had a base of 6 cm and a height of 4 cm.
- A = ½bh
  A = ½(6cm)(4cm)
  A = 12cm².
10

Try a more difficult example. Most isosceles triangles are more difficult to work with than the last example. The height often contains a square root that doesn’t simplify to an integer. If this happens, leave the height as a square root in simplest form. Here’s an example:

1
Start with a side and an angle. If you know some trigonometry, you can find the area of an isosceles triangle even if you don’t know the length of one of its side. Here’s an example problem where you only know the following:^[10]
- The length s of the two equal sides is 10 cm.
- The angle θ between the two equal sides is 120 degrees.
2
Divide the isosceles into two right triangles. Draw a line down from the vertex between the two equal sides, that hits the base at a right angle. You now have two equal right triangles.^[11]
- This line divides θ perfectly in half. Each right triangle has an angle of ½θ, or in this case (½)(120) = 60 degrees.
3
Use trigonometry to find the value of h. Now that you have a right triangle, you can use the trigonometric functions sine, cosine, and tangent. In the example problem, you know the hypotenuse, and you want to find the value of h, the side adjacent to the known angle. Use the fact that cosine = adjacent / hypotenuse to solve for h:^[12]
- cos(θ/2) = h / s
- cos(60º) = h / 10
- h = 10cos(60º)
4
Find the value of the remaining side. There is one remaining unknown side of the right triangle, which you can call x. Solve for this using the definition sine = opposite / hypotenuse:
- sin(θ/2) = x / s
- sin(60º) = x / 10
- x = 10sin(60º)
5

Relate x to the base of the isosceles triangle. You can now «zoom out» to the main isosceles triangle. Its total base b is equal to 2x, since it was divided into two segments each with a length of x.
6

Plug your values for h and b into the basic area formula. Now that you know the base and height, you can rely on the standard formula A = ½bh:
7
Turn this into a universal formula. Now that you know how this is solved, you can rely on the general formula without going through the full process every time. Here’s what you end up with if you repeat this process without using any specific values (and simplifying using properties of trigonometry):^[13]
- $A={frac {1}{2}}s^{2}sintheta$
- s is the length of one of the two equal sides.
- θ is the angle between the two equal sides.

Add New Question

Question

How can I find the side of an isosceles triangle when only the area and the length of equal sides are given?

A=area, L=length of 1 equal side, b=base, θ=HALF of angle between 2 equal sides. Split the triangle in half down the middle. The middle line is h, the height. Analyze the left triangle, where L is the hypotenuse and the smallest angle is θ. The smallest side is b/2, and the last side is h. sinθ = (b/2) / L —> b/2 = Lsinθ. cosθ = h/L —> h = Lcosθ. A = (1/2)bh = (b/2)h = (Lsinθ)(Lcosθ)=(L^2)sinθcosθ. sin(2θ) = 2sinθcosθ (by trig identities) —> sinθcosθ = (1/2)sin(2θ). —> A = (L^2)sinθcosθ = (1/2)(L^2)sin(2θ). Because A and L are known, the above equation can be used to find sin(2θ). Arcsin of sin(2θ) gives 2θ, allowing you to find θ. Then, you can find b from the equation: b/2 = Lsinθ.
Question

How can I show that a triangle is isoceles?

Coordinate proof: Given the coordinates of the triangle’s vertices, to prove that a triangle is isosceles
plot the 3 points (optional). Use the distance formula to calculate the side length of each side of the triangle. If any two sides have equal side lengths, then the triangle is isosceles.
Question

How do I find the base of a triangle if there is no height and no area?

You don’t. You must be given certain information: perimeter, other sides, area, or height.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

If you have an isosceles right triangle (two equal sides and a 90 degree angle), it is much easier to find the area. If you use one of the short sides as the base, the other short side is the height.^[14] Now the formula A = ½ b * h simplifies to ½s², where s is the length of a short side.
Square roots have two solutions, one positive and one negative, but you can ignore the negative one in geometry. You cannot have a triangle with «negative height,» for example.
Some trigonometry problems might give you other starting information, such as the base length and one angle (and the fact that the triangle is isosceles). The basic strategy is the same: divide the isosceles into right triangles and solve for the height using trigonometric functions.

References

About This Article

Article SummaryX

To find the area of an isosceles triangle using the lengths of the sides, label the lengths of each side, the base, and the height if it’s provided. Then, use the equation Area = ½ base times height to find the area. If the length of the height isn’t provided, divide the triangle into 2 right triangles, and use the pythagorean theorem to find the height. Once you have the value of the height, plug it into the area equation, and label your answer with the proper units. For more tips, like how to use trigonometry to find the area, keep reading!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 667,966 times.

Reader Success Stories

PAWAN CHATURVEDI

Jan 17, 2018

«Step by step process helped. »

Did this article help you?

Источник