Как найти площадь равнобедренного треугольника через тангенс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Площадь равнобедренного треугольника важна для вычисления многих геометрических и математических задач. Например, определение площади любого многоугольника связано с его разделением на ряд треугольников и расчетом площади каждого из них.

Геометрическое тело, обладающее двумя равными сторонами и углами – есть частный случай простого разностороннего многоугольника.

Каждая из идентичных линий называется боковой, а третья – основанием.

Если в таком треугольнике опустить среднюю линию из его вершины на 3-ю сторону, то образовавшиеся два плоских тела будут идентичны (так как имеют все признаки подобия).

Площадь (S) фигуры с тремя углами возможно установить:

по двум сторонам и высоте;
через угол между двумя сторонами и величину одной из них;
по двум сторонам;
через синус противолежащего основанию угла;
зная синус прилежащего угла и др.

Площадь равнобедренного треугольника через высоту

Вычисление площади треугольника с использованием его высоты и параметров основания – самый актуальный вариант, на базе которого строятся многие другие методы решения.

У планиметрической фигуры с двумя тождественными углами и боковыми отрезками высота может рассматриваться, как медиана и биссектриса. То есть линия, проведенная из вершины, делит планиметрический объект на два эквивалентных прямоугольных треугольника.

И общая их площадь сводится к:

где:

b — размер основания;
h – высота.

Задача №1.

Требуется рассчитать S тупоугольного равнобедренного многоугольника. Его h=3 см, а длина b = 8 см.

Вычисления выглядят следующим образом:

Ответ: 12 см².

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Найти S планиметрического тела с двумя одинаковыми чертами, зная их параметры, возможно.

Для этого необходима теорема Пифагора, формулы которой видны на картинке,

и формула для отыскания S через биссектрису S = ½ * b * h.

После проведения медианы к середине 3-его отрезка, в равнобедренном треугольнике образуются 2 единообразных плоских тела с h между 2-мя катетами.

Таким образом, используя свойство сторон прямоугольного треугольника, выводим формулу, которая показана на картинке:

При высчитывание S равностороннего треугольника это выражение примет другой вид. Сравнить формулы нахождения площади равностороннего и равнобедренного треугольников можно, взглянув на картинку:

Задача №2.

У остроугольного равнобедренного треугольника даны габариты боковины b = 3 см и базиса a = 2 см. Надлежит найти его S:

Ответ: 8 см².

Площадь равнобедренного треугольника через синус угла

В геометрии встречаются задания по отысканию площади многоугольника с тремя схожими краями через данный угол и длину прилегающей стороны.

В этой ситуации определение размера h будет осуществляться с использованием угла, прилегающего к измеренной грани. Таким образом выводится выражение, которое хорошо иллюстрирует следующая картинка:

Задача №3.

Посмотрим на рисунок, приведенный выше. Известно, что ∠ACB фигуры 30 градусов, а величина его боковой стороны AC = AB равняется 4 см. Требуется вычислить её S.

Ответ: 4 см².

Формула площади равнобедренного треугольника через тангенс угла

Как правило, в планиметрии нередко встречаются задания по нахождению S треугольника, в котором определено значение стороны и угол.

Рисунок 1

Разнообразные равенства для решения задач, в том числе и нахождения S через тангенс угла, можно увидеть ниже:

Задача №4.

Дан равнобедренный треугольник OPQ (см. рис. 1). Известны величины: основание OQ = 5 см и угол QOP = 45⁰. Требуется найти площадь треугольника OPQ.

Прежде всего посмотрим, как найти нам требуемую величину и какую применить формулу. Остановим свой выбор на формуле нахождения площади S по тангенсу угла.

Зная, что у нас равнобедренный треугольник, у которого углы у основания равны, найдем третий угол:

180 — 45 — 45 = 90⁰ — угол OPQ.

Вычисляем S_OPQ:

S_OPQ = 5²/4 * tg 45° = 25/4 * 1 = 6, 25 см²

Ответ: 6,25 см².

Вот так, используя прежде всего знания о свойствах фигур, можно получать самые разнообразные способы вычисления той величины, какая требуется в задаче.

Источник

Площадь треугольника через тангенс

Площадь равнобедренного треугольника — формулы вычисления

Каждая из идентичных линий называется боковой, а третья – основанием.

Площадь (S) фигуры с тремя углами возможно установить:

по двум сторонам и высоте;

через угол между двумя сторонами и величину одной из них;

по двум сторонам;

через синус противолежащего основанию угла;

зная синус прилежащего угла и др.

Площадь равнобедренного треугольника через высоту

И общая их площадь сводится к:

b — размер основания;

Требуется рассчитать S тупоугольного равнобедренного многоугольника. Его h=3 см, а длина b = 8 см.

Вычисления выглядят следующим образом:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Найти S планиметрического тела с двумя одинаковыми чертами, зная их параметры, возможно.

Для этого необходима теорема Пифагора, формулы которой видны на картинке,

и формула для отыскания S через биссектрису S = ½ * b * h.

Площадь равнобедренного треугольника через синус угла

Формула площади равнобедренного треугольника через тангенс угла

Разнообразные равенства для решения задач, в том числе и нахождения S через тангенс угла, можно увидеть ниже:

Дан равнобедренный треугольник OPQ (см. рис. 1). Известны величины: основание OQ = 5 см и угол QOP = 45 0 . Требуется найти площадь треугольника OPQ.

Зная, что у нас равнобедренный треугольник, у которого углы у основания равны, найдем третий угол:

180 — 45 — 45 = 90 0 — угол OPQ.

SOPQ = 5 2 /4 * tg 45° = 25/4 * 1 = 6, 25 см 2

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Площадь прямоугольного треугольника

О чем эта статья:

площадь, 8 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен 90˚.

Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу.

Катеты — это стороны, прилежащие к прямому углу.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно применить любую формулу нахождения площади треугольника — их несколько.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты

Чтобы найти площадь, нужно вывести формулу:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то один катет — это высота, проведенная ко второму катету.

Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.

S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

где с — гипотенуза,

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу по формуле:

S прямоугольного треугольника = r (r + c) = c1 × c2

r — радиус вписанной окружности

C1 и С2 — отрезки, полученные делением гипотенузы на две части точкой касания с окружностью

Уверены, что во всем разобрались? Закрепите знания на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart!

Площадь равнобедренного треугольника — формулы вычисления

Каждая из идентичных линий называется боковой, а третья – основанием.

Площадь (S) фигуры с тремя углами возможно установить:

по двум сторонам и высоте;

через угол между двумя сторонами и величину одной из них;

по двум сторонам;

через синус противолежащего основанию угла;

зная синус прилежащего угла и др.

Площадь равнобедренного треугольника через высоту

И общая их площадь сводится к:

b — размер основания;

Требуется рассчитать S тупоугольного равнобедренного многоугольника. Его h=3 см, а длина b = 8 см.

Вычисления выглядят следующим образом:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Найти S планиметрического тела с двумя одинаковыми чертами, зная их параметры, возможно.

Для этого необходима теорема Пифагора, формулы которой видны на картинке,

и формула для отыскания S через биссектрису S = ½ * b * h.

Площадь равнобедренного треугольника через синус угла

Формула площади равнобедренного треугольника через тангенс угла

Разнообразные равенства для решения задач, в том числе и нахождения S через тангенс угла, можно увидеть ниже:

Зная, что у нас равнобедренный треугольник, у которого углы у основания равны, найдем третий угол:

180 — 45 — 45 = 90 0 — угол OPQ.

SOPQ = 5 2 /4 * tg 45° = 25/4 * 1 = 6, 25 см 2

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла

R — большая полуось

r — малая полуось

π ≈ 3.14

Формула площади эллипса, через полуоси:

Калькулятор, вычислить площадь элипса:

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а — нижнее основание

b — верхнее основание

с — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, ( S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, ( S ):

2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α , β — углы трапеции

а — нижнее основание

b — верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, ( S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

R — радиус вписанной окружности

m — средняя линия

O — центр вписанной окружности

c — боковые стороны

а — нижнее основание

b — верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию ( S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d — диагональ трапеции

α , β — углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, ( S ):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

c — боковая сторона

m — средняя линия трапеции

α , β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, ( S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, ( S ):

a , b , c — стороны треугольника

α , β , γ — противолежащие углы

Площадь треугольника через сторону и два угла (S):

Формулы для треугольника:

Зная длины всех трех сторон

и используя формулу Герона можно найти площадь разностороннего треугольника

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):

Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника:

Формулы для треугольника:

Треугольник это плоская фигура, которая имеет три стороны и три угла. Сумма всех трех углов, равна 180 градусов.
Высота треугольника это — опущенный перпендикуляр из вершины угла на противоположенную сторону или ее продолжение, которую в этом случае, называют основанием.

Что бы найти площадь треугольника,

для этого надо основание умножить на высоту и разделить на два

1. Площадь разностороннего треугольника

h — высота треугольника

Формула площади треугольника (S):

Калькулятор для расчета площади треугольника

2. Площадь треугольника с тупым углом

h — высота треугольника

Формула площади треугольника с тупым углом (S):

Формулы для треугольника:

Зная у треугольника

две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь

a , b , c — стороны треугольника

α , β , γ — углы

Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, (S):

Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника:

Формулы для треугольника:

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется — гипотенуза

1. Если известны только катеты

a , b — катеты треугольника

Формула площади треугольника через катеты ( S ) :

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

c — гипотенуза

a , b — катеты

α , β — острые углы

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если

то справедливы следующие тождества:

3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

c — гипотенуза

c 1 , c 2 — отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r — радиус вписанной окружности

О — центр вписанной окружности

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

b — основание треугольника

a — равные стороны

h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b , (S):

Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника через высоту и основание:

Формула площади треугольника через, стороны a , b , (S):

Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника через равные стороны и основание:

b — основание треугольника

a — равные стороны

h — высота

Формулы для треугольника:

Если вы знаете сторону или высоту

вы можете найти площадь равностороннего треугольника

a — сторона треугольника

h — высота

Площадь треугольника через сторону a и высоту h , (S):

Площадь треугольника только через сторону a , (S):

Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника

Площадь треугольника только через высоту h , ( S ):

Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника

a — сторона треугольника

h — высота

Формулы для треугольника:

Формула площади круга, диаметр

Круг это плоская фигура, все точки которой, расположены на любом расстоянии от определенной точки (центр круга) но не больше заданной длины (радиус).
Радиус круга — отрезок, соединяющий центр окружности и любую, максимально удаленную от центра точку круга.
Диаметр круга — отрезок, соединяющий две любые точки максимально удаленные от центра круга и проходящий через этот центр. Диаметр, в два раза больше радиуса

или радиус круга или длину окружности, можно найти его площадь.

r — радиус круга

D — диаметр круга

Формула площади круга, (S):

на тему: Площадь круга

Калькулятор для расчета площади круга через радиус

Калькулятор для расчета площади круга через диаметр

L — длина окружности

О — центр круга

Формула площади круга если известна длина окружности, (S):

на тему: Площадь круга

Калькулятор для расчета площади круга через длину

Площадь кольца равна — число π , умноженное на разницу квадратов, радиуса внешней окружности и радиуса внутренней окружности

R — радиус внешней окружности

r — радиус внутренней окружности

Формула площади кольца (S):

Калькулятор — вычислить, найти площадь кольца

R — радиус внешней окружности

r — радиус внутренней окружности

α — угол сектора AOB, в градусах

Формула площади сектора кольца (S):

R — радиус круга

α — угол сегмента в градусах

Формула площади сегмента круга (S), отсекаемая хордой AC :

Калькулятор для расчета длины дуги окружности :

Формулы для окружности и круга:

Найти площадь сектора круга если даны радиус и длина дуги или радиус и центральный угол

r — радиус круга

L — длина дуги AB

α — угол сектора круга AOB в градусах

Формула площади сектора круга (S), через длину дуги ( L ):

Формула площади сектора круга (S), через угол ( α ):

Формулы для окружности и круга:

Вычислить площадь ромба, зная: (диагонали) или (сторону и угол между ними) или (диагональ и угол между сторонами)

a — сторона ромба

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

β — тупой угол

Формулы площади ромба через диагонали и углы между сторонами ( S ):

a — сторона ромба

h — высота

r — радиус вписанной окружности

Формула площади ромба через высоту или радиус вписанной окружности ( S ):

1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы

a, b — стороны параллелограмма

α , β — углы параллелограмма

Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):

Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:

2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

a, b — стороны параллелограмма

H _b — высота на сторону b

H _a — высота на сторону a

Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, ( S ):

3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

D — большая диагональ

d —меньшая диагональ

α , β — углы между диагоналями

Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , ( S ):

Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:

Формулы для параллелограмма:

источники:

http://sprint-olympic.ru/uroki/geometrija/85090-ploshad-ravnobedrennogo-treygolnika-formyly-vychisleniia.html

http://www-formula.ru/2011-09-21-23-43-54/24-elementgeom/ploshadploskfigur

Источник

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Площадь равнобедренного треугольника

В данном уроке размещены формулы и задачи на нахождение площади равнобедренного треугольника. Формулы снабжены пояснениями и комментариями. На отдельном рисунке приведено соответствие условных обозначений формул и элементов равнобедренного треугольника. Далее приведен раздел с примерами решения задач.

См. также:

Свойства равнобедренного треугольника,
Площадь произвольного треугольника.

Буквенные обозначения сторон и углов на приведенном рисунке соответствуют обозначениям, которые указаны в формулах. Таким образом, это поможет Вам сопоставить их с элементами равнобедренного треугольника. Из условия задачи определите, какие элементы известны, найдите на чертеже их обозначения и подберите подходящую формулу.

Формула площади равнобедренного треугольника

Далее приведены формулы нахождения площади равнобедренного треугольника: через стороны, боковую сторону и угол между ними, через боковую сторону, основание и угол при вершине, через сторону основания и угол при основании и т.д. Просто найдите наиболее подходящую на рисунке слева. Для самых любопытных в тексте справа поясняется, почему формула явяляется правильной и как именно с ее помощью находится площадь.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти, зная его сторону и основание. Данное выражение было получено путем упрощения более общей, универсальной формулы. Если за основу взять формулу Герона, а затем принять во внимание, что две стороны треугольника равны меду собой, то выражение упрощается до формулы, представленной на картинке.
Пример использования такой формулы приведен на примере решения задачи ниже.
Вторая формула позволяет найти его площадь через боковые стороны и угол между ними — это половина квадрата боковой стороны, умноженная на синус угла между боковыми сторонами
Если мысленно опустить высоту на боковую сторону равнобедренного треугольника, заметим, что ее длина будет равна a * sin β. Поскольку длина боковой стороны нам известна, высота, опущенная на нее теперь известна, половина их произведения и будет равна площади данного равнобедренного треугольника (Пояснение: полное произведение дает площадь прямоугольника, что очевидно. Высота делит этот прямоугольник на два малых прямоугольника, при этом стороны треугольника являются их диагоналями, которые делят их ровно пополам. Таким образом, площадь равнобедренного треугольника и будет равна половине произведения боковой стороны на высоту). См. также Формулу 5
Третья формула показывает нахождение площади через боковую сторону, основание и угол при вершине.
Строго говоря, зная один из углов равнобедренного треугольника, можно найти и остальные, поэтому применение данной или предыдущей формулы — вопрос вкуса (кстати, поэтому можно запомнить только одну из них).
У третьей формулы также есть еще одна интересная особенность — произведение a sin α даст нам длину высоты, опущенной на основание. В результате мы получим простую и очевидную формулу 5.
Площадь равнобедренного треугольника можно также найти через сторону основания и угол при основании (углы при основании равны) как квадрат основания, деленный на четыре тангенса половины угла, образованного его боковыми сторонами. Если присмотреться внимательнее, то станет очевидно, что половина основания (b/2) умноженная на tg(β/2) даст нам высоту треугольника. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике является, одновременно, биссектрисой и медианой, то tg(β/2) — это отношение половины основания (b/2) к высоте — tg(β/2) = (b/2)/h. Откуда h = b / (2 tg(β/2) ). В итоге формула снова будет сведена к более простой Формуле 5, которая вполне очевидна.
Разумеется, площадь равнобедренного треугольника можно найти, опустив высоту из вершины на основание, в результате чего получится два прямоугольных треугольника. Далее — все очевидно. Половина произведения высоты на основание и есть искомая площадь. Пример использования данной формуле см. в задаче ниже (2-й способ решения)
Эта формула получается, если попытаться найти площадь равнобедренного треугольника с помощью теоремы Пифагора. Для этого выразим высоту из предыдущей формулы, которая одновременно, является катетом прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, половиной его основания и высотой, через теорему Пифагора. Боковая сторона является гипотенузой, поэтому из квадрата боковой стороны (а) вычтем квадрат второго катета. Поскольку он равен половине основания (b/2) то его квадрат будет равен b²/4. Извлечение корня из данного выражения и даст нам высоту. Что и видно в Формуле 6. Если числитель и знаменатель умножить на два, а потом двойку числителя внести под знак корня, получим второй вариант той же самой формулы, который написан через знак «равно».
Кстати, самые сообразительные могут увидеть, что если в Формуле 1 раскрыть скобки, то она превратиться в Формулу 6. Или наоборот, разность квадратов двух чисел, разложенная на множители, даст нам исходную, первую.

Обозначения, которые были применены в формулах на рисунке:

a — длина одной из двух равных сторон треугольника

b — длина основания

α — величина одного из двух равных углов при основании

β — величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию

h — длина высоты, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на основание

Важно. Обратите внимание на обозначения переменных! Не перепутайте α и β, а также a и b!

См. также: другие формулы и свойства равнобедренного треугольника

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел площадь равнобедренного треугольника). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Задача

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь равнобедренного треугольника.

Решение.

1-й способ. Применим формулу Герона. Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет более простой вид (см. формулу 1 в списке формул выше):

где а — длина боковых сторон, а b — длина основания.
Подставив значения длин сторон треугольника из условия задачи, получим:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5 )( 13 — 5 )) = 5 √ (18 * = 60 см²

2-й способ. Применим теорему Пифагора
Предположим, что мы не помним формулу, использованную в первом способе решения. Поэтому опустим из вершины B на основание AC высоту BK.
Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см .

Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник ABK. В этом треугольнике нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.

Соответственно, высота будет равна:

h = √ ( 13² — 5² ) = √144 = 12 см

Площадь исходного равнобедренного треугольника ABC будет равна площади двух прямоугольных треугольников ABK и CBK, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Оба прямоугольных треугольника равны между собой. Гипотенузы — это стороны равнобедренного треугольника, поэтому они равны, один из катетов — общий, а, поскольку, BK одновременно является и биссектрисой и высотой, то, соответствующие углы также равны. Поэтому нам будет достаточно найти площадь одного из них и умножить полученное число на два.

Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим:

S = AK * BK / 2
S = 5 * 12 / 2 = 30 см²

Поскольку в составе треугольника ABC два равных прямоугольных треугольника ABK и CBK, то общая площадь равнобедренного треугольника ABC составит:

30 * 2 = 60 см² .

Как видно, оба способа решения дают один и тот же результат.

Ответ: Площадь равнобедренного треугольника составляет 60 см² .

Рівнобедрений трикутник |

Описание курса

| Площа рівнобедреного трикутника

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!

Источник

Площадь треугольника — все формулы, калькулятор онлайн

Площадь треугольника — это численная характеристика, показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц. В зависимости от типа треугольника и известных исходных данных, площадь треугольника можно рассчитать по различным формулам. Приведенные калькуляторы площади треугольника используют все известные методики и упрощают процесс вычислений.

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная соединением отрезков трех точек, не лежащих на одной прямой. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Площадь треугольника — калькуляторы для всех видов

Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными, прямоугольными, разносторонними, равносторонними, равнобедренными. Рассмотренные в данном пункте калькуляторы и формулы подходят для всех видов треугольников.

Зная сторону треугольника (основание) и высоту проведенную к основанию, можно найти его площадь. Площадь треугольника будет равна половине произведения основания на высоту. Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

Площадь треугольника по основанию и высоте — калькулятор онлайн:

Формула	Результат
S = ½ × a × h
	Сторона a
Высота h

Если известно две стороны треугольника и угол между ними, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина произведения этих сторон умноженная на синус угла между ними. Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними — расчет:

Формула	Результат
S = ½ × a × b × α
	Сторона a
Сторона b
Угол α° между сторонами a и b

Если известно три стороны треугольника и радиус вписанной окружности, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина суммы этих сторон (полупериметр p = ½ × (a + b + c)) умноженная на радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам — онлайн калькулятор:

Формула	Результат
S = r × ½ × (a + b + c)
	Сторона a
Сторона b
Сторона c
Радиус r вписанной окружности

Если известно три стороны треугольника и радиус описанной окружности, то площадь треугольника равна частному от деления произведения сторон треугольника на четыре радиуса описанной около треугольника окружности.

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам — расчет:

Формула	Результат
S = (a × b × c) ⁄ (4 × R)
	Сторона a
Сторона b
Сторона c
Радиус R описанной окружности

Площадь треугольника по формуле Герона равна корню из произведения разностей полупериметра треугольника (p) и каждой из его сторон (a, b, c) на полупериметр. Полупериметр p = (a + b + c) × ½.

Площадь треугольника по формуле Герона — калькулятор онлайн:

Формула	Результат
S = √ p × (p — a) × (p — b) × (p — c)
	Сторона a
Сторона b
Сторона c

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам — расчет:

Формула	Результат
S = ½ × a² × (sin α × sin β) ⁄ sin (180 — (α + β))
	Сторона a
Угол β°
Угол α°

Калькулятор площади для равнобедренных треугольников

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию — калькулятор:

Формула	Результат
S = ¼ × c × √ (4 × a² — c²)
	Сторона a (a = b)
Сторона c

Если известны боковые стороны и угол между ними, то площадь равнобедренного треугольника определяется, как половина произведения квадрата боковой стороны на синус угла между боковыми сторонами.

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними:

Формула	Результат
S = ½ × a² × sin (α)
	Боковая сторона a (a = b)
Угол α° между боковыми сторонами

Если известна боковая сторона, основание и углу между ними, то площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения боковой стороны и основания на синус угла между ними.

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними — расчет:

Формула	Результат
S = ½ ×a × c × sin (β)
	Боковая сторона a (a = b)
Основание треугольника c
Угол β° между основанием и стороной

Если известно основание и угол между боковыми сторонами, то площадь равнобедренного треугольника рассчитывается, как четверть отношения квадрата основания на тангенс половинного угла между боковыми сторонами.

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами — онлайн:

Формула	Результат
S = c² ⁄ (4 × tg (½ × α))
	Основание треугольника c
Угол α° между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию — калькулятор:

Формула	Результат
S = ½ × c × h
	Основание треугольника c
Высота h

Площадь равносторонних треугольников — онлайн калькулятор, формулы

Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, все стороны которого равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Площадь равностороннего треугольника по известной стороне равна произведению одной четвертой корня из трех на квадрат стороны.

Площадь равностороннего треугольника по стороне — онлайн расчет:

Формула	Результат
S = ¼ × √(3) × a²
	Сторона a (a = b = c)

Если известна высота равностороннего треугольника, то его площадь равна отношению квадрата высоты к корню из трех.

Площадь равностороннего треугольника по высоте:

Формула	Результат
S = h² ⁄ √(3)
	Высота h

Если известен радиус вписанной окружности, то площадь равностороннего треугольника равна произведению трех корней из трех на квадрат радиуса вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности — калькулятор:

Формула	Результат
S = 3 × √(3) × r²
	Радиус r вписанной окружности

По известному радиусу описанной окружности площадь равностороннего треугольника определяется, как произведение трех четвертей корня из трех на квадрат радиуса.

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности:

Формула	Результат
S = ¾ × √(3) × R²
	Радиус R описанной окружности

Площадь прямоугольного треугольника — формулы и калькуляторы

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (90°).

По основанию и высоте площадь прямоугольно треугольника равна половине произведения катетов треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам — расчет:

Формула	Результат
S = ½ × a × b
	Катет a
Катет b

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол:

Формула	Результат
S = ¼ × c² × sin (2α)
	Сторона c
Угол α

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол — онлайн калькулятор:

Формула	Результат
S = ½ × b² × tg (α)
	Сторона b
Угол α

Если в треугольник вписана окружность и известны отрезки, на которые она делит гипотенузу, то площадь прямоугольно треугольника равна произведению этих отрезков.

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность:

Формула	Результат
S = d × e
	Отрезок d
Отрезок e

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность — расчет:

Формула	Результат
S = r × (r + c)
	Сторона с
Радиус r

Площадь прямоугольно треугольника по трем сторонам (формула Герона) равна произведению разностей полупериметра треугольника и каждого из катетов. Полупериметр p = ½ × (a + b + c)

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона:

Формула	Результат
S = ( ½ × (a + b + c) — a) × ( ½ × (a + b + c) — b)
	Сторона a
Сторона b
Сторона c

Таблица синусов (sin) для расчета площади треугольника

Таблица синусов — это записанные в таблицу посчитанные значения синусов углов от 0° до 360°. Используя ее вы сможете провести расчеты площади треугольника самостоятельно при помощи формул.

Таблица подходит для вычисления:

Площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол S = ¼ × c² × sin (2α).
Площади равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними S = ½ ×a × c × sin (β).
Площади равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними S = ½ × a² × sin (α).
Площади произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам S = ½ × a² × (sin α × sin β) ⁄ sin (180 — (α + β)).

Таблица синусов (sin) углов от 0° до 180°:

sin(0°) = 0
sin(1°) = 0.017452
sin(2°) = 0.034899
sin(3°) = 0.052336
sin(4°) = 0.069756
sin(5°) = 0.087156
sin(6°) = 0.104528
sin(7°) = 0.121869
sin(8°) = 0.139173
sin(9°) = 0.156434
sin(10°) = 0.173648
sin(11°) = 0.190809
sin(12°) = 0.207912
sin(13°) = 0.224951
sin(14°) = 0.241922
sin(15°) = 0.258819
sin(16°) = 0.275637
sin(17°) = 0.292372
sin(18°) = 0.309017
sin(19°) = 0.325568
sin(20°) = 0.34202
sin(21°) = 0.358368
sin(22°) = 0.374607
sin(23°) = 0.390731
sin(24°) = 0.406737
sin(25°) = 0.422618
sin(26°) = 0.438371
sin(27°) = 0.45399
sin(28°) = 0.469472
sin(29°) = 0.48481
sin(30°) = 0.5
sin(31°) = 0.515038
sin(32°) = 0.529919
sin(33°) = 0.544639
sin(34°) = 0.559193
sin(35°) = 0.573576
sin(36°) = 0.587785
sin(37°) = 0.601815
sin(38°) = 0.615661
sin(39°) = 0.62932
sin(40°) = 0.642788
sin(41°) = 0.656059
sin(42°) = 0.669131
sin(43°) = 0.681998
sin(44°) = 0.694658
sin(45°) = 0.707107

sin(46°) = 0.71934
sin(47°) = 0.731354
sin(48°) = 0.743145
sin(49°) = 0.75471
sin(50°) = 0.766044
sin(51°) = 0.777146
sin(52°) = 0.788011
sin(53°) = 0.798636
sin(54°) = 0.809017
sin(55°) = 0.819152
sin(56°) = 0.829038
sin(57°) = 0.838671
sin(58°) = 0.848048
sin(59°) = 0.857167
sin(60°) = 0.866025
sin(61°) = 0.87462
sin(62°) = 0.882948
sin(63°) = 0.891007
sin(64°) = 0.898794
sin(65°) = 0.906308
sin(66°) = 0.913545
sin(67°) = 0.920505
sin(68°) = 0.927184
sin(69°) = 0.93358
sin(70°) = 0.939693
sin(71°) = 0.945519
sin(72°) = 0.951057
sin(73°) = 0.956305
sin(74°) = 0.961262
sin(75°) = 0.965926
sin(76°) = 0.970296
sin(77°) = 0.97437
sin(78°) = 0.978148
sin(79°) = 0.981627
sin(80°) = 0.984808
sin(81°) = 0.987688
sin(82°) = 0.990268
sin(83°) = 0.992546
sin(84°) = 0.994522
sin(85°) = 0.996195
sin(86°) = 0.997564
sin(87°) = 0.99863
sin(88°) = 0.999391
sin(89°) = 0.999848
sin(90°) = 1

sin(91°) = 0.999848
sin(92°) = 0.999391
sin(93°) = 0.99863
sin(94°) = 0.997564
sin(95°) = 0.996195
sin(96°) = 0.994522
sin(97°) = 0.992546
sin(98°) = 0.990268
sin(99°) = 0.987688
sin(100°) = 0.984808
sin(101°) = 0.981627
sin(102°) = 0.978148
sin(103°) = 0.97437
sin(104°) = 0.970296
sin(105°) = 0.965926
sin(106°) = 0.961262
sin(107°) = 0.956305
sin(108°) = 0.951057
sin(109°) = 0.945519
sin(110°) = 0.939693
sin(111°) = 0.93358
sin(112°) = 0.927184
sin(113°) = 0.920505
sin(114°) = 0.913545
sin(115°) = 0.906308
sin(116°) = 0.898794
sin(117°) = 0.891007
sin(118°) = 0.882948
sin(119°) = 0.87462
sin(120°) = 0.866025
sin(121°) = 0.857167
sin(122°) = 0.848048
sin(123°) = 0.838671
sin(124°) = 0.829038
sin(125°) = 0.819152
sin(126°) = 0.809017
sin(127°) = 0.798636
sin(128°) = 0.788011
sin(129°) = 0.777146
sin(130°) = 0.766044
sin(131°) = 0.75471
sin(132°) = 0.743145
sin(133°) = 0.731354
sin(134°) = 0.71934
sin(135°) = 0.707107

sin(136°) = 0.694658
sin(137°) = 0.681998
sin(138°) = 0.669131
sin(139°) = 0.656059
sin(140°) = 0.642788
sin(141°) = 0.62932
sin(142°) = 0.615661
sin(143°) = 0.601815
sin(144°) = 0.587785
sin(145°) = 0.573576
sin(146°) = 0.559193
sin(147°) = 0.544639
sin(148°) = 0.529919
sin(149°) = 0.515038
sin(150°) = 0.5
sin(151°) = 0.48481
sin(152°) = 0.469472
sin(153°) = 0.45399
sin(154°) = 0.438371
sin(155°) = 0.422618
sin(156°) = 0.406737
sin(157°) = 0.390731
sin(158°) = 0.374607
sin(159°) = 0.358368
sin(160°) = 0.34202
sin(161°) = 0.325568
sin(162°) = 0.309017
sin(163°) = 0.292372
sin(164°) = 0.275637
sin(165°) = 0.258819
sin(166°) = 0.241922
sin(167°) = 0.224951
sin(168°) = 0.207912
sin(169°) = 0.190809
sin(170°) = 0.173648
sin(171°) = 0.156434
sin(172°) = 0.139173
sin(173°) = 0.121869
sin(174°) = 0.104528
sin(175°) = 0.087156
sin(176°) = 0.069756
sin(177°) = 0.052336
sin(178°) = 0.034899
sin(179°) = 0.017452
sin(180°) = 0

Таблица синусов (sin) углов от 181° до 360°:

sin(181°) = -0.017452
sin(182°) = -0.034899
sin(183°) = -0.052336
sin(184°) = -0.069756
sin(185°) = -0.087156
sin(186°) = -0.104528
sin(187°) = -0.121869
sin(188°) = -0.139173
sin(189°) = -0.156434
sin(190°) = -0.173648
sin(191°) = -0.190809
sin(192°) = -0.207912
sin(193°) = -0.224951
sin(194°) = -0.241922
sin(195°) = -0.258819
sin(196°) = -0.275637
sin(197°) = -0.292372
sin(198°) = -0.309017
sin(199°) = -0.325568
sin(200°) = -0.34202
sin(201°) = -0.358368
sin(202°) = -0.374607
sin(203°) = -0.390731
sin(204°) = -0.406737
sin(205°) = -0.422618
sin(206°) = -0.438371
sin(207°) = -0.45399
sin(208°) = -0.469472
sin(209°) = -0.48481
sin(210°) = -0.5
sin(211°) = -0.515038
sin(212°) = -0.529919
sin(213°) = -0.544639
sin(214°) = -0.559193
sin(215°) = -0.573576
sin(216°) = -0.587785
sin(217°) = -0.601815
sin(218°) = -0.615661
sin(219°) = -0.62932
sin(220°) = -0.642788
sin(221°) = -0.656059
sin(222°) = -0.669131
sin(223°) = -0.681998
sin(224°) = -0.694658
sin(225°) = -0.707107

sin(226°) = -0.71934
sin(227°) = -0.731354
sin(228°) = -0.743145
sin(229°) = -0.75471
sin(230°) = -0.766044
sin(231°) = -0.777146
sin(232°) = -0.788011
sin(233°) = -0.798636
sin(234°) = -0.809017
sin(235°) = -0.819152
sin(236°) = -0.829038
sin(237°) = -0.838671
sin(238°) = -0.848048
sin(239°) = -0.857167
sin(240°) = -0.866025
sin(241°) = -0.87462
sin(242°) = -0.882948
sin(243°) = -0.891007
sin(244°) = -0.898794
sin(245°) = -0.906308
sin(246°) = -0.913545
sin(247°) = -0.920505
sin(248°) = -0.927184
sin(249°) = -0.93358
sin(250°) = -0.939693
sin(251°) = -0.945519
sin(252°) = -0.951057
sin(253°) = -0.956305
sin(254°) = -0.961262
sin(255°) = -0.965926
sin(256°) = -0.970296
sin(257°) = -0.97437
sin(258°) = -0.978148
sin(259°) = -0.981627
sin(260°) = -0.984808
sin(261°) = -0.987688
sin(262°) = -0.990268
sin(263°) = -0.992546
sin(264°) = -0.994522
sin(265°) = -0.996195
sin(266°) = -0.997564
sin(267°) = -0.99863
sin(268°) = -0.999391
sin(269°) = -0.999848
sin(270°) = -1

sin(271°) = -0.999848
sin(272°) = -0.999391
sin(273°) = -0.99863
sin(274°) = -0.997564
sin(275°) = -0.996195
sin(276°) = -0.994522
sin(277°) = -0.992546
sin(278°) = -0.990268
sin(279°) = -0.987688
sin(280°) = -0.984808
sin(281°) = -0.981627
sin(282°) = -0.978148
sin(283°) = -0.97437
sin(284°) = -0.970296
sin(285°) = -0.965926
sin(286°) = -0.961262
sin(287°) = -0.956305
sin(288°) = -0.951057
sin(289°) = -0.945519
sin(290°) = -0.939693
sin(291°) = -0.93358
sin(292°) = -0.927184
sin(293°) = -0.920505
sin(294°) = -0.913545
sin(295°) = -0.906308
sin(296°) = -0.898794
sin(297°) = -0.891007
sin(298°) = -0.882948
sin(299°) = -0.87462
sin(300°) = -0.866025
sin(301°) = -0.857167
sin(302°) = -0.848048
sin(303°) = -0.838671
sin(304°) = -0.829038
sin(305°) = -0.819152
sin(306°) = -0.809017
sin(307°) = -0.798636
sin(308°) = -0.788011
sin(309°) = -0.777146
sin(310°) = -0.766044
sin(311°) = -0.75471
sin(312°) = -0.743145
sin(313°) = -0.731354
sin(314°) = -0.71934
sin(315°) = -0.707107

sin(316°) = -0.694658
sin(317°) = -0.681998
sin(318°) = -0.669131
sin(319°) = -0.656059
sin(320°) = -0.642788
sin(321°) = -0.62932
sin(322°) = -0.615661
sin(323°) = -0.601815
sin(324°) = -0.587785
sin(325°) = -0.573576
sin(326°) = -0.559193
sin(327°) = -0.544639
sin(328°) = -0.529919
sin(329°) = -0.515038
sin(330°) = -0.5
sin(331°) = -0.48481
sin(332°) = -0.469472
sin(333°) = -0.45399
sin(334°) = -0.438371
sin(335°) = -0.422618
sin(336°) = -0.406737
sin(337°) = -0.390731
sin(338°) = -0.374607
sin(339°) = -0.358368
sin(340°) = -0.34202
sin(341°) = -0.325568
sin(342°) = -0.309017
sin(343°) = -0.292372
sin(344°) = -0.275637
sin(345°) = -0.258819
sin(346°) = -0.241922
sin(347°) = -0.224951
sin(348°) = -0.207912
sin(349°) = -0.190809
sin(350°) = -0.173648
sin(351°) = -0.156434
sin(352°) = -0.139173
sin(353°) = -0.121869
sin(354°) = -0.104528
sin(355°) = -0.087156
sin(356°) = -0.069756
sin(357°) = -0.052336
sin(358°) = -0.034899
sin(359°) = -0.017452
sin(360°) = 0

Таблица тангенсов (tg) для расчета площади треугольника

Таблица тангенсов — это записанные в таблицу посчитанные значения тангенсов углов от 0° до 360°. С ее помощью вы сможете провести расчеты площади треугольника самостоятельно по следующим формулам:

S = ½ × b² × tg (α) — площадь прямоугольного треугольника через катет и угол.
S = c² ⁄ (4 × tg (½ × α)) — площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами.

Таблица тангенсов (tg) углов от 0° до 180°:

tg(0°) = 0
tg(1°) = 0.01746
tg(2°) = 0.03492
tg(3°) = 0.05241
tg(4°) = 0.06993
tg(5°) = 0.08749
tg(6°) = 0.1051
tg(7°) = 0.12278
tg(8°) = 0.14054
tg(9°) = 0.15838
tg(10°) = 0.17633
tg(11°) = 0.19438
tg(12°) = 0.21256
tg(13°) = 0.23087
tg(14°) = 0.24933
tg(15°) = 0.26795
tg(16°) = 0.28675
tg(17°) = 0.30573
tg(18°) = 0.32492
tg(19°) = 0.34433
tg(20°) = 0.36397
tg(21°) = 0.38386
tg(22°) = 0.40403
tg(23°) = 0.42447
tg(24°) = 0.44523
tg(25°) = 0.46631
tg(26°) = 0.48773
tg(27°) = 0.50953
tg(28°) = 0.53171
tg(29°) = 0.55431
tg(30°) = 0.57735
tg(31°) = 0.60086
tg(32°) = 0.62487
tg(33°) = 0.64941
tg(34°) = 0.67451
tg(35°) = 0.70021
tg(36°) = 0.72654
tg(37°) = 0.75355
tg(38°) = 0.78129
tg(39°) = 0.80978
tg(40°) = 0.8391
tg(41°) = 0.86929
tg(42°) = 0.9004
tg(43°) = 0.93252
tg(44°) = 0.96569
tg(45°) = 1
tg(46°) = 1.03553
tg(47°) = 1.07237
tg(48°) = 1.11061
tg(49°) = 1.15037
tg(50°) = 1.19175
tg(51°) = 1.2349
tg(52°) = 1.27994
tg(53°) = 1.32704
tg(54°) = 1.37638
tg(55°) = 1.42815
tg(56°) = 1.48256
tg(57°) = 1.53986
tg(58°) = 1.60033
tg(59°) = 1.66428
tg(60°) = 1.73205

tg(61°) = 1.80405
tg(62°) = 1.88073
tg(63°) = 1.96261
tg(64°) = 2.0503
tg(65°) = 2.14451
tg(66°) = 2.24604
tg(67°) = 2.35585
tg(68°) = 2.47509
tg(69°) = 2.60509
tg(70°) = 2.74748
tg(71°) = 2.90421
tg(72°) = 3.07768
tg(73°) = 3.27085
tg(74°) = 3.48741
tg(75°) = 3.73205
tg(76°) = 4.01078
tg(77°) = 4.33148
tg(78°) = 4.70463
tg(79°) = 5.14455
tg(80°) = 5.67128
tg(81°) = 6.31375
tg(82°) = 7.11537
tg(83°) = 8.14435
tg(84°) = 9.51436
tg(85°) = 11.43005
tg(86°) = 14.30067
tg(87°) = 19.08114
tg(88°) = 28.63625
tg(89°) = 57.28996
tg(90°) = ∞
tg(91°) = -57.28996
tg(92°) = -28.63625
tg(93°) = -19.08114
tg(94°) = -14.30067
tg(95°) = -11.43005
tg(96°) = -9.51436
tg(97°) = -8.14435
tg(98°) = -7.11537
tg(99°) = -6.31375
tg(100°) = -5.67128
tg(101°) = -5.14455
tg(102°) = -4.70463
tg(103°) = -4.33148
tg(104°) = -4.01078
tg(105°) = -3.73205
tg(106°) = -3.48741
tg(107°) = -3.27085
tg(108°) = -3.07768
tg(109°) = -2.90421
tg(110°) = -2.74748
tg(111°) = -2.60509
tg(112°) = -2.47509
tg(113°) = -2.35585
tg(114°) = -2.24604
tg(115°) = -2.14451
tg(116°) = -2.0503
tg(117°) = -1.96261
tg(118°) = -1.88073
tg(119°) = -1.80405
tg(120°) = -1.73205

tg(121°) = -1.66428
tg(122°) = -1.60033
tg(123°) = -1.53986
tg(124°) = -1.48256
tg(125°) = -1.42815
tg(126°) = -1.37638
tg(127°) = -1.32704
tg(128°) = -1.27994
tg(129°) = -1.2349
tg(130°) = -1.19175
tg(131°) = -1.15037
tg(132°) = -1.11061
tg(133°) = -1.07237
tg(134°) = -1.03553
tg(135°) = -1
tg(136°) = -0.96569
tg(137°) = -0.93252
tg(138°) = -0.9004
tg(139°) = -0.86929
tg(140°) = -0.8391
tg(141°) = -0.80978
tg(142°) = -0.78129
tg(143°) = -0.75355
tg(144°) = -0.72654
tg(145°) = -0.70021
tg(146°) = -0.67451
tg(147°) = -0.64941
tg(148°) = -0.62487
tg(149°) = -0.60086
tg(150°) = -0.57735
tg(151°) = -0.55431
tg(152°) = -0.53171
tg(153°) = -0.50953
tg(154°) = -0.48773
tg(155°) = -0.46631
tg(156°) = -0.44523
tg(157°) = -0.42447
tg(158°) = -0.40403
tg(159°) = -0.38386
tg(160°) = -0.36397
tg(161°) = -0.34433
tg(162°) = -0.32492
tg(163°) = -0.30573
tg(164°) = -0.28675
tg(165°) = -0.26795
tg(166°) = -0.24933
tg(167°) = -0.23087
tg(168°) = -0.21256
tg(169°) = -0.19438
tg(170°) = -0.17633
tg(171°) = -0.15838
tg(172°) = -0.14054
tg(173°) = -0.12278
tg(174°) = -0.1051
tg(175°) = -0.08749
tg(176°) = -0.06993
tg(177°) = -0.05241
tg(178°) = -0.03492
tg(179°) = -0.01746
tg(180°) = 0

Таблица тангенсов (tg) углов от 181° до 360°:

tg(181°) = 0.01746
tg(182°) = 0.03492
tg(183°) = 0.05241
tg(184°) = 0.06993
tg(185°) = 0.08749
tg(186°) = 0.1051
tg(187°) = 0.12278
tg(188°) = 0.14054
tg(189°) = 0.15838
tg(190°) = 0.17633
tg(191°) = 0.19438
tg(192°) = 0.21256
tg(193°) = 0.23087
tg(194°) = 0.24933
tg(195°) = 0.26795
tg(196°) = 0.28675
tg(197°) = 0.30573
tg(198°) = 0.32492
tg(199°) = 0.34433
tg(200°) = 0.36397
tg(201°) = 0.38386
tg(202°) = 0.40403
tg(203°) = 0.42447
tg(204°) = 0.44523
tg(205°) = 0.46631
tg(206°) = 0.48773
tg(207°) = 0.50953
tg(208°) = 0.53171
tg(209°) = 0.55431
tg(210°) = 0.57735
tg(211°) = 0.60086
tg(212°) = 0.62487
tg(213°) = 0.64941
tg(214°) = 0.67451
tg(215°) = 0.70021
tg(216°) = 0.72654
tg(217°) = 0.75355
tg(218°) = 0.78129
tg(219°) = 0.80978
tg(220°) = 0.8391
tg(221°) = 0.86929
tg(222°) = 0.9004
tg(223°) = 0.93252
tg(224°) = 0.96569
tg(225°) = 1
tg(226°) = 1.03553
tg(227°) = 1.07237
tg(228°) = 1.11061
tg(229°) = 1.15037
tg(230°) = 1.19175
tg(231°) = 1.2349
tg(232°) = 1.27994
tg(233°) = 1.32704
tg(234°) = 1.37638
tg(235°) = 1.42815
tg(236°) = 1.48256
tg(237°) = 1.53986
tg(238°) = 1.60033
tg(239°) = 1.66428
tg(240°) = 1.73205

tg(241°) = 1.80405
tg(242°) = 1.88073
tg(243°) = 1.96261
tg(244°) = 2.0503
tg(245°) = 2.14451
tg(246°) = 2.24604
tg(247°) = 2.35585
tg(248°) = 2.47509
tg(249°) = 2.60509
tg(250°) = 2.74748
tg(251°) = 2.90421
tg(252°) = 3.07768
tg(253°) = 3.27085
tg(254°) = 3.48741
tg(255°) = 3.73205
tg(256°) = 4.01078
tg(257°) = 4.33148
tg(258°) = 4.70463
tg(259°) = 5.14455
tg(260°) = 5.67128
tg(261°) = 6.31375
tg(262°) = 7.11537
tg(263°) = 8.14435
tg(264°) = 9.51436
tg(265°) = 11.43005
tg(266°) = 14.30067
tg(267°) = 19.08114
tg(268°) = 28.63625
tg(269°) = 57.28996
tg(270°) = ∞
tg(271°) = -57.28996
tg(272°) = -28.63625
tg(273°) = -19.08114
tg(274°) = -14.30067
tg(275°) = -11.43005
tg(276°) = -9.51436
tg(277°) = -8.14435
tg(278°) = -7.11537
tg(279°) = -6.31375
tg(280°) = -5.67128
tg(281°) = -5.14455
tg(282°) = -4.70463
tg(283°) = -4.33148
tg(284°) = -4.01078
tg(285°) = -3.73205
tg(286°) = -3.48741
tg(287°) = -3.27085
tg(288°) = -3.07768
tg(289°) = -2.90421
tg(290°) = -2.74748
tg(291°) = -2.60509
tg(292°) = -2.47509
tg(293°) = -2.35585
tg(294°) = -2.24604
tg(295°) = -2.14451
tg(296°) = -2.0503
tg(297°) = -1.96261
tg(298°) = -1.88073
tg(299°) = -1.80405
tg(300°) = -1.73205

tg(301°) = -1.66428
tg(302°) = -1.60033
tg(303°) = -1.53986
tg(304°) = -1.48256
tg(305°) = -1.42815
tg(306°) = -1.37638
tg(307°) = -1.32704
tg(308°) = -1.27994
tg(309°) = -1.2349
tg(310°) = -1.19175
tg(311°) = -1.15037
tg(312°) = -1.11061
tg(313°) = -1.07237
tg(314°) = -1.03553
tg(315°) = -1
tg(316°) = -0.96569
tg(317°) = -0.93252
tg(318°) = -0.9004
tg(319°) = -0.86929
tg(320°) = -0.8391
tg(321°) = -0.80978
tg(322°) = -0.78129
tg(323°) = -0.75355
tg(324°) = -0.72654
tg(325°) = -0.70021
tg(326°) = -0.67451
tg(327°) = -0.64941
tg(328°) = -0.62487
tg(329°) = -0.60086
tg(330°) = -0.57735
tg(331°) = -0.55431
tg(332°) = -0.53171
tg(333°) = -0.50953
tg(334°) = -0.48773
tg(335°) = -0.46631
tg(336°) = -0.44523
tg(337°) = -0.42447
tg(338°) = -0.40403
tg(339°) = -0.38386
tg(340°) = -0.36397
tg(341°) = -0.34433
tg(342°) = -0.32492
tg(343°) = -0.30573
tg(344°) = -0.28675
tg(345°) = -0.26795
tg(346°) = -0.24933
tg(347°) = -0.23087
tg(348°) = -0.21256
tg(349°) = -0.19438
tg(350°) = -0.17633
tg(351°) = -0.15838
tg(352°) = -0.14054
tg(353°) = -0.12278
tg(354°) = -0.1051
tg(355°) = -0.08749
tg(356°) = -0.06993
tg(357°) = -0.05241
tg(358°) = -0.03492
tg(359°) = -0.01746
tg(360°) = 0

Площадь треугольника можно посчитать самостоятельно по формулам, или воспользоваться для этого онлайн калькулятором. В рассмотренном материале приведены как формулы и таблицы синусов, тангенсов, так и калькуляторы с возможностью расчета площади 21 способом.

Источник

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного (разностороннего) по 22 формулам.

Калькулятор площади треугольника
Площадь треугольника
1. через основание и высоту
2. через две стороны и угол между ними
3. через сторону и два прилежащих угла
4. через радиус описанной окружности и 3 стороны
5. через радиус вписанной окружности и 3 стороны
6. по формуле Герона
Площадь прямоугольного треугольника
1. через катеты
2. через гипотенузу и прилежащий угол
3. через катет и прилежащий угол
4. через радиус вписанной окружности и гипотенузу
5. через вписанную окружность
6. по формуле Герона
7. через катет и гипотенузу
Площадь равнобедренного треугольника
1. через основание и сторону
2. через основание, боковую сторону и угол
3. через основание и высоту
4. через боковые стороны и угол между ними
5. через основание и угол между боковыми сторонами
Площадь равностороннего треугольника
1. через сторону
2. через высоту
3. через радиус описанной окружности
4. через радиус вписанной окружности
Примеры задач

Площадь треугольника

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

a — длина основания

h — высота, проведенная к основанию

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin(alpha)}

a и b — стороны треугольника

α — угол между сторонами a и b

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S = dfrac{a^2}{2} cdot dfrac{sin{(alpha)} cdot sin{(beta)}}{sin{(gamma)}}}
{gamma = 180 — (alpha + beta)}

a — сторона треугольника

α и β — прилежащие к стороне a углы

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S = dfrac{a cdot b cdot c}{4 cdot R}}

a, b и c — стороны треугольника

R — радиус описанной окружности

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S = r cdot dfrac{a + b + c}{2}}

a, b и c — стороны треугольника

r — радиус вписанной окружности

Площадь треугольника по формуле Герона

{S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c — стороны треугольника

p — полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен 90 градусов).

Площадь прямоугольного треугольника через катеты

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b}

a и b — стороны треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)}}

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

α — прилежащий к гипотенузе c угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot tg{(alpha)}}

a — катет прямоугольного треугольника

α — прилежащий к катету a угол

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S = r cdot (r+c)}

r — радиус вписанной окружности

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S = c_1 cdot c_2}

с₁ и с₂ — отрезки, полученные делением гипотенузы точкой касания окружности

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S = (p-a) cdot (p-b)}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c — стороны треугольника

p — полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2}}

a — катет прямоугольного треугольника

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2}}

a — боковая сторона равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание, сторону и угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin{(alpha)}}

a — боковая сторона равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

α — угол между основанием и боковой стороной

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot b cdot h}

b — основание равнобедренного треугольника

h — высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot sin(alpha)}

a — боковые стороны равнобедренного треугольника

α — угол между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S = dfrac{b^2}{4 cdot tg {( dfrac{alpha}{2} )}}}

b — основание равнобедренного треугольника

α — угол между боковыми сторонами

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4}}

a — сторона равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}}

h — высота равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S = dfrac{3 sqrt{3} cdot R^2}{4}}

R — радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S = 3 sqrt{3} cdot r^2}

r — радиус описанной окружности

Примеры задач на нахождение площади треугольника

Задача 1

Найдите площадь треугольника со сторонами 13 14 15.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой Герона.

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}

Для начала нам необходимо найти полупериметр p:

p= dfrac{a+b+c}{2}p= dfrac{13+14+15}{2}= dfrac{42}{2} = 21

Теперь можем подставить его в формулу Герона и найти ответ:

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)} = sqrt{21 cdot (21-13) cdot (21-14) cdot (21-15)} = sqrt{21 cdot (8) cdot (7) cdot (6)} = sqrt{21 cdot 336} = sqrt{7056} = 84 : см^2

Ответ: 84 см²

Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 100.

Решение

Воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{100^2 — 28^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{10000 — 784} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{9216} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot 96 = 14 cdot 96 = 1344 : см^2

Ответ: 1344 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.

Решение

Задача аналогична предыдущей, поэтому решение очень похоже.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{17^2 — 15^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{289 — 225} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{64} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = 15 cdot 4 = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 4

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 40 см а острый угол равен 60°.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)} = dfrac{1}{4} cdot 40^2 cdot sin{(2 cdot 60°)} = dfrac{1}{4} cdot 1600 cdot sin{(120°)} = 400 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Ответ: 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см а основание 4 см.

Решение

В этой задаче используем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и боковую сторону.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2} = dfrac{4}{4} sqrt{4 cdot 7^2 — 4^2} = sqrt{4 cdot 49 — 16} = sqrt{196 — 16} = sqrt{180} = sqrt{36 cdot 5} = 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641 : см^2

Ответ: 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30, боковая сторона равна 17.

Решение

Решим эту задачу по анологии с предыдущей.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 17^2 — 30^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 289 — 900} = dfrac{30}{4} sqrt{1156 — 900} = dfrac{30}{4} sqrt{256} = dfrac{30}{4} cdot 16= 30 cdot 4 = 120 : см^2

Ответ: 120 см²

Проверка .

Задача 7

Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 12 см.

Решение

Используем для решения задачи формулу.

S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 12^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 144}{4} = 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Ответ: 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Проверка .

Источник