Как найти площадь ромба формула герона

Ромб – это геометрическая фигура; параллелограмм, имеющие 4 равные стороны.

  • Формула вычисления площади

    • По длине стороны и высоте

    • По длине стороны и углу

    • По длинам диагоналей

  • Примеры задач

Формула вычисления площади

По длине стороны и высоте

Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:

S = a ⋅ h

Площадь ромба

По длине стороны и углу

Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:

S = a 2 ⋅ sin α

Площадь ромба

По длинам диагоналей

Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.

S = 1/2 ⋅ d1 ⋅ d2

Площадь ромба

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.

Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см ⋅ 8 см = 80 см2.

Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.

Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см)2 ⋅ sin 30° = 36 см2 ⋅ 1/2 = 18 см2.

Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.

Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 ⋅ 4 см ⋅ 8 см = 16 см2.

Источник

Формулы площади геометрических фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Треугольник

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    Формула Герона

    S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    где S — площадь треугольника,
    a, b, c — длины сторон треугольника,
    h — высота треугольника,
    γ — угол между сторонами a и b,
    r — радиус вписанной окружности,
    R — радиус описанной окружности,

    p = a + b + c — полупериметр треугольника.
    2

Формулы площади квадрата

Квадрат

  1. Формула площади квадрата по длине стороны
    Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

    S = a2

  2. Формула площади квадрата по длине диагонали
    Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

    где S — площадь квадрата,
    a — длина стороны квадрата,
    d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Прямоугольник

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b

где S — Площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

параллелограмм

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
    Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    S = a · h

  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

    S = a · b · sin α

  3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

    где S — Площадь параллелограмма,
    a, b — длины сторон параллелограмма,
    h — длина высоты параллелограмма,
    d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
    α — угол между сторонами параллелограмма,
    γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

ромб

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
    Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    S = a · h

  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
    Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

    S = a2 · sin α

  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
    Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

    где S — Площадь ромба,
    a — длина стороны ромба,
    h — длина высоты ромба,
    α — угол между сторонами ромба,
    d1, d2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

трапеция

  1. Формула Герона для трапеции

    S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)
    |a — b|

  2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте

    Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

    где S — площадь трапеции,
    a, b — длины основ трапеции,
    c, d — длины боковых сторон трапеции,

    p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.
    2

Формулы площади выпуклого четырехугольника

выпуклый четырехугольник

  1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

    Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

    где S — площадь четырехугольника,
    d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника,
    α — угол между диагоналями четырехугольника.

  2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)

    Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

    S = p · r

  3. выпуклый четырехугольник

    Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

    S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ

    где S — площадь четырехугольника,

    a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,

    p = a + b + c + d2 — полупериметр четырехугольника,

    θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

  4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

    S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Формулы площади круга

круг

  1. Формула площади круга через радиус
    Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

    S = π r2

  2. Формула площади круга через диаметр
    Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

    где S — Площадь круга,
    r — длина радиуса круга,
    d — длина диаметра круга.

Формулы площади эллипса

эллипс

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

S = π · a · b

где S — Площадь эллипса,

a — длина большей полуоси эллипса,

b — длина меньшей полуоси эллипса.

Источник

Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.

Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

Высота (BE), проведённая между длинными сторонами, короче высоты (BF), проведённой между короткими сторонами.

Pgrama_augst.png

Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: (BE = BF).

Romba_augst.png 

Площадь произвольного параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

Pgrama_lauk1.png

Проведём высоты из двух вершин (B) и (C) к стороне (AD) .

Прямоугольные треугольники (ABE) и (DCF) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).

Параллелограмм (ABCD) и прямоугольник (EBCF) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:

SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.

Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:

SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.

Если обозначить сторону через (a), высоту — через (h), то:

Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Romba_lauk.png

SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO

.

Формула определения площади ромба:

Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.

Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Trijst_lauk1.png

Sтреуг=aha2

, где (h) — высота (на рисунке — (BE)), проведённая к стороне (a) (на рисунке — (AD)).

Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

SΔ=pp−ap−bp−c;p=a+b+c2

— формула Герона, где (a), (b) и (c) — стороны треугольника, (p) — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

S=a⋅b2, где (a) и (b) — катеты.

Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. вычислим площадь треугольника со сторонами (17) см, (39) см, (44) см.

Решение:

p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.

Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: 

a⋅a=a

.

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны (15) см, (13) см, (4) см.

Решение:

используем две формулы вычисления площади: 

SΔ=aha2

 и

SΔ=pp−ap−bp−c

.

Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому (a =) (15) см.

SΔ=pp−ap−bp−c=16⋅1⋅3⋅12=24см2

.

15⋅h2=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. дан параллелограмм со сторонами (17) см и (39) см, длина диагонали равна (44) см. Вычислим площадь параллелограмма.  

Решение:

диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2)

.

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

Trapeces_augst.png

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.
 

Trapeces_lauk.png

SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.

Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через (a) и (b), высоту через (h), то:

Обрати внимание!

Важные следствия:

1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Источник

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне
    высоты

  2. Формула площади треугольника по трем сторонам 

    Формула Герона

    S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними 
    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между
    ними.

  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    где S — площадь треугольника,
    a, b, c — длины сторон
    треугольника,
    h — высота треугольника,
    γ — угол между сторонами a и b,
    r — радиус вписанной окружности,
    R — радиус описанной окружности,

    p =  a + b + c   — полупериметр треугольника.
    2

  1. Формула площади квадрата по длине стороны
    Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

    S = a2

  2. Формула площади квадрата по длине диагонали
    Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

    где S — Площадь квадрата,
    a — длина стороны квадрата,
    d — длина диагонали квадрата.

Площадь
прямоугольника равна произведению длин
двух его смежных сторон

S = a · b


где S — Площадь
прямоугольника,
a,
b —
длины сторон прямоугольника.

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
    Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    S = a · h

  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

    S = a · b · sin α

  3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

    где S — Площадь параллелограмма,
    a, b — длины сторон параллелограмма,
    h — длина высоты параллелограмма,
    d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
    α — угол между сторонами параллелограмма,
    γ — угол между диагоналями параллелограмма.

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
    Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    S = a · h

  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
    Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

    S = a2 · sin α

  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
    Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

    где S — Площадь ромба,
    a — длина стороны ромба,
    h — длина высоты ромба,
    α — угол между сторонами ромба,
    d1, d2 — длины диагоналей.

  1. Формула Герона для трапеции

    S =  a + b √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
    4|a — b|
  2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте 
    Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту 

    где S — Площадь трапеции,
    a, b — длины основ трапеции,
    c, d — длины боковых сторон трапеции,

    p =  a + b + c + d   — полупериметр трапеции.
    2
  1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
    Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

    где S — площадь четырехугольника,
    d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника,
    α — угол между
    диагоналями четырехугольника.
  2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности) 
    Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

    S = p · r


  3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

    S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ

    где S — площадь четырехугольника,
    a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,

    p =  a + b + c + d   — полупериметр четырехугольника,
    2
    θ =  α + β  — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
    2

  4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

    S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

  1. Формула площади круга через радиус
    Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

    S = π r2

  2. Формула площади круга через диаметр
    Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

    где S — Площадь круга,
    r — длина радиуса круга,
    d — длина диаметра круга.

Площадь
эллипса равна произведению длин
большой и малой полуосей эллипса на число пи.

S = π · a · b


где S — Площадь
эллипса, 
a — длина большей полуоси
эллипса, 
b — длина меньшей полуоси
эллипса.

Источник

Формулы площади треугольника

Треугольник

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам 

    Формула Герона

    S = √

    p

    (

    p — a

    )(

    p — b

    )(

    p — c

    )

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними 
    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между ними.
  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    6. где S — площадь треугольника,

    a, b, c

     — длины сторон треугольника,

    h

     — высота треугольника,

    γ

     — угол между сторонами 

    a

     и 

    b

    ,

    r

     — радиус вписанной окружности,
    R — радиус описанной окружности,

    p

     = 

    a

     + 

    b

     + 

    c

    		   — полупериметр треугольника.
    2

Формула площади прямоугольника

Прямоугольник

    Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

    где S — Площадь прямоугольника,

    a, b

     — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

параллелограмм

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
    Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
  2. Формула площади параллелограмма по диагоналям и углу между ними                                                                                 Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей, умноженному на синус угла между ними.
    S = 1/2 

    d1 · d2 · sin 

    γ

  3.  
  4. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон, умноженному на синус угла между ними.

    5. где S — Площадь параллелограмма,

    a, b

     — длины сторон параллелограмма,

    h

     — длина высоты параллелограмма,

    α

     — угол между сторонами параллелограмма,

    γ — угол между диагоналями параллелограмма, 
    d1, d2 —  длины диагоналей параллелограмма.

    Формулы площади ромба

    ромб

    1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
      Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
    2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
      Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
    3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
      Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

      4. где S — Площадь ромба,

      a

       — длина стороны ромба,

      h

       — длина высоты ромба,

      α

       — угол между сторонами ромба,

      d

      1, 

      d

      2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

трапеция

  1. Формула Герона для трапеции
    S = 

    a

     + 

    b

    		 √(

    p — a

    )(

    p — b

    )(

    p — a — c

    )(

    p — a — d

    )
    4|

    a

     — 

    b

    |
  2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте 
    Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту 
    где S — Площадь трапеции,

    a, b

     — длины основ трапеции,

    c, d

     — длины боковых сторон трапеции,

    p

     = 

    a

     + 

    b

     + 

    c

     + 

    d

    		   — полупериметр трапеции.
    2
Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти клад заговор
  • Как найти смешные сценки
  • Как найти яндекс портал
  • Как составить резюме няни на работу образец
  • Как найти sin 330 градусов