Как найти площадь ромба в прямоугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В этой статье вы узнаете, как можно найти площадь ромба различными методами. Благодаря этим формулам будет легко решать задачи по геометрии, ведь здесь в статье будет описано, как вычислить площадь ромба, зная величину диагонали большей и меньшей, стороны, углы и диаметр вписанной окружности в ромб.

Содержание

Как вычислить площадь ромба – свойства фигуры
Как вычислить площадь ромба?
Как найти площадь ромба, зная угол и сторону геометрической фигуры?
Как вычислять площадь ромба, зная его диагонали?
Как вычислять площадь ромба, зная его сторону и радиус вписанной в него окружности?
Видео: Пример того, как вычислять площадь ромба

Узнать площадь ромба можно по разным формулам. Достаточно знать свойства это фигуры и свойства других фигур, ведь ромб можно разбить на треугольники, приравнять его к параллелограмму и т.п. Ниже вы увидите такие формулы. Еще необходимо знать, чем отличается ромб от четырехугольника и параллелограмма. По математическому определению. Ромб представляет собой фигуру подобную параллелограмму с равными сторонами, но в отличие от квадрата – у ромба углы не прямые. Зато сумма двух углов у основания ромба будет равняться 180 градусов. Все эти знания пригодятся для расчета площади ромба, далее подробнее.

Как вычислить площадь ромба – свойства фигуры

Прежде, чем вычислить площадь ромба, лучше ознакомиться со свойствами данной фигуры. Ведь благодаря знанию этих характеристик дальше проще будет доказать вероятность той или иной формулы. Ранее упоминалось уже, что такое ромб. Он представляет собой фигуру с равными абсолютно всеми сторонами, равными противоположными острыми и тупыми углами, но не прямыми.

Ромб имеет следующие свойства:

у него все стороны между собой равны
углы, лежащие напротив друг друга, тоже равны
диагонали данной фигуры являются биссектрисами, в точке пересечения делятся на равные отрезки
также диагонали пересекаются в центре ромба и под прямыми углами
противоположные стороны фигуры не могут пересекаться, даже если продлить лучи они же параллельны, как у параллелограмма.

Свойства фигуры

ВАЖНО: Обратите внимание, что ромб можно разбить на четыре прямоугольных треугольника, которые будут между собой равны по площади, или на два равносторонних идентичных треугольника, см. изображение выше.

Как вычислить площадь ромба?

Итак, давайте выясним, как вычисляется площадь ромба. Давайте воспользуемся для этого формулой площади прямоугольника, где:

S = a • b, где a, b – стороны прямоугольника.

Чтобы было понятно, как вывести из этой формулы, формулу площади ромба, смотрите объяснение:

Нарисуйте ромб, проведите высоту к основанию ромба BH.
Из точки D на линию AD проведите тоже высоту CH1.
Выходит что треугольник ABH и треугольник CH1D между собой равны по двум общим сторонам, ∠ углу между ними.
Значит AH=DH1. Площадь образовавшегося квадрата будет равна площади ромба
А значит BH • HH1 – это и есть площадь ромба, другими словами произведение высоты BH ромба на сторону AD и будет S площадью ромба, поскольку HH1 = BC, а BH – это высота.

Высота ромба

Из доказательства вытекает, что:

S ромба = a • h и измеряется в квадратных единицах.

Как найти площадь ромба, зная угол и сторону геометрической фигуры?

Теперь мы знаем, как выглядит формула площади ромба, можем по этой же формуле найти и S площадь ромба, зная чему равна сторона ромба и ∠ угол, например, острый у основания, как на фото ниже.

S = a • h

Но в нашем случае нам неизвестна высота ромба, ее следует найти. Для этого придется рассмотреть треугольник прямоугольный, который получился, когда была проведена высота к основанию ромба.

В этом треугольнике известна гипотенуза и ∠α. Чтобы вычислить площадь всей фигуры, понадобится найти высоту. А h = a • sin∠α. Значит S площадь равностороннего параллелограмма (ромба) равняется:

S = a • a • sin∠α = a² • sin∠α

Площадь фигуры

Как вычислять площадь ромба, зная его диагонали?

Чтобы узнать формулу площади ромба, когда известны только (a, b) диагонали, следует рассмотреть следующий пример. Дано BCDA – ромб и знаем чему равны диагонали. Теперь следует найти S площадь равностороннего параллелограмма по величинам диагоналей.

Ранее уже рассматривали свойства ромба. Диагонали ромба равны, в точке пересечения делятся на равные отрезки. Из этого следует, что все треугольники, которые вписаны в фигуру в результате пересечения обеих диагоналей тоже равны между собой и они прямоугольные (по трем сторонам). Чтобы найти площадь ромба, достаточно найти площадь одного треугольника и полученные данные умножить на 4.

Итого выходит, что:

S ромба = 4 (1/2 AO • OB + 1/2 BO • OC + 1/2 OC • OD + 1/2 OD • AO) = 4 • 1/8 AC • BD = 1/2 BD • AC, итого площадь S ромба будет = произведению a • b (диагоналей) деленное на два: S = 1/2 a • b

Площадь фигуры

Как вычислять площадь ромба, зная его сторону и радиус вписанной в него окружности?

Площадь ромба можно рассчитать, зная r – радиус и a – длину стороны фигуры. Уже известно, что S – площадь фигуры будет равна произведению b – стороны на h – высоту. Через центр окружности, он же будет являться и центром пересечения a, b – диагоналей ромба. Проведите высоту и одновременно диаметр ромба. На изображении видно, что высота фигуры – это два радиуса окружности. Теперь легко будет найти и площадь самого ромба:

S = a • h = a • 2r

Ниже смотрите пример задачи на данную тематику.

Площадь ромба

Еще смотрите подобные статьи на данную тематику здесь:

Площадь прямоугольника, как найти?
Как найти площадь круга?
Площадь квадрата – формулы.

Видео: Пример того, как вычислять площадь ромба

Источник

Как найти площадь ромба?

12 ответов:

1

0

Нужно перемножить его диагонали и разделить произведение пополам. Чтобы не зубрить и не путать, можно объяснить как-нибудь этот процесс для себя. Лично я в школе прибегал к такой уловке. Диагонали делят ромб на 4 прямоугольных треугольника. Добавляя еще четыре таких же, мы получим прямоугольник, в который вписан этот ромб. Его площадь равна произведению сторон, которые равны диагоналям ромба. При этом площадь самого прямоугольника в 2 раза больше площади ромба. Поэтому площадь ромба равна половине площади прямоугольника, в который он вписан. Это долго объяснять словами, но картинка говорит сама за себя.

1

0

Еще со школы помню, что узнать площадь данной фигуры можно так:

перемножить диагонали и поделить на два (2)
умножить высоту фигуры на длину стороны

К примеру, если диагонали ромба имеют длину 5 и 6 см, то площадь ромба равна 15 см. То есть умножает 5 на 6 и делим на 2.

0

0

В переводе с латинского слово ромб означает бубен. Это многое объясняет для любителей карточных игр. Просто в древности бубны делали не круглыми, а в виде параллелограммов. Поскольку ромб – параллелограмм, то площадь ромба можно найти несколькими способами.

Во-первых, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Это многие помнят еще со школы.

Во-вторых, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту.

А в-третьих, площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус прилегающего угла.

0

0

Площадь ромба можно вычислить по нескольким формулам, важно знать хоть какие-нибудь величины, характеризующие его.

Если известны его диагонали, то площадь — это произведение диагоналей, разделенные на два.

Если знаете его сторону и высоту, то их нужно перемножить, чтобы узнать площадь.

0

0

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат тоже является ромбом, это частный случай. для расчета площади ромба существует формула:

S= 1/2 d1*d2, где d1, d2 — диагонали ромба. То есть площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Так как ромб — это параллелограмм, то площадь также равна произвению его стороны на высоту.

0

0

Для того что бы найти площадь ромба, необходимо знать, что площадь ромба равна половине произведений его диагоналей. Это дети учат в восьмом классе. Так же, нужно знать, что ромб является параллелограммом, его площадь так же равна произведению его стороны на высоту.

0

0

Площадь ромба S можно найти несколькими способами:1)S=a*a*sinA=a^2*sinA,где а -сторона ромба,А-угол между сторонами.2)S=а*h,где а-сторона ромба,h-высота,опущенная на сторону из вершины.3)S=d1*d2,где d1,d2-диагонали ромба.Делить на 2 не надо,просто перемножить диагонали!

0

0

Возможны три варианта нахождения площади ромба, в зависимости от исходных данных:

1) даны основание (а) и высота (h). S=a*h.

2) даны сторона (a) и угол между ними (y). S=a*a*sin(y).

3) даны размеры диагоналей (d1 и d2). S=d1*d2/2.

0

0

Площадь ромба определяется пересечением двух прямых по середине данной геометрической фигуры, делается это достаточно просто, проведя две линии выявляется непосредственно площадь ромба, которая напрямую зависит от сторон того же ромба.

0

0

Это сделать легко.

Нужно умножить одну диагональ на другую. Полученное произведение дальше делится пополам. Это и будет искомая площадь такой фигуры,как ромб.

Сложность в том,что в задачах как правило,сначала нужно узнать,чему же равны диагонали ромба.

0

0

Рассчитать площадь ромба можно различными способами. Наиболее простой формулой, по моему мнению, является произведение длины перпендикуляра, проведенного из угла к противоположной стороне, и длины этой стороны.

Для наглядности размещаю схематичный вид поиска площади ромба.

Согласно другому способу, зная расстояние двух диагоналей фигуры, легко произвести искомый расчет.

Формула вычисления площади

По длине стороны и высоте

Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:

S = a ⋅ h

По длине стороны и углу

Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:

S = a² ⋅ sin α

По длинам диагоналей

Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.

S = ¹/₂ ⋅ d₁ ⋅ d₂

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.

Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см ⋅ 8 см = 80 см².

Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.

Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см)² ⋅ sin 30° = 36 см² ⋅ 1/2 = 18 см².

Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.

Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 ⋅ 4 см ⋅ 8 см = 16 см².

Источник

Так как ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны, то для него действуют все те же формулы, как и для параллелограмма, включая формулу нахождения площади через произведение высоты и стороны.

Площадь ромба можно найти, также зная его диагонали. Диагонали делят ромб на четыре абсолютно одинаковых прямоугольных треугольника. Если мы их рассортируем, так чтобы получить прямоугольник, то его длина и ширина будут равны одной целой диагонали и половине второй диагонали. Поэтому площадь ромба находится умножением диагоналей ромба, сокращенных на два (как площади получившегося прямоугольника).

Если в распоряжении только угол и сторона, то можно вооружиться диагональю в качестве помощника и начертить ее напротив известного угла. Тогда она разделит ромб на два конгруэнтных треугольника, площади которых в сумме дадут нам площадь ромба. Площадь каждого из треугольников будет равна половине произведения квадрата стороны на синус известного угла, как площадь равнобедренного треугольника. Поскольку таких треугольников два, то коэффициенты сокращаются, оставив только сторону во второй степени и синус:

Если внутри ромба вписать окружность, то его радиус будет относиться к стороне под углом 90°, что значит, что удвоенный радиус будет равен высоте ромба. Подставив вместо высоты h=2r в предыдущую формулу, получим площадь S=ha=2ra

Если же вместе с радиусом вписанной окружности, дана не сторона, а угол, то следует сначала найти сторону, проведя высоту таким образом, чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным углом. Тогда сторона a может быть найдена из тригонометрических отношений по формуле . Подставляя это выражение в ту же стандартную формулу площади ромба, выходит

Источник

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб с прямыми углами называется квадратом и считается частным случаем ромба. Найти площадь ромба можно различными способами, используя все его элементы – стороны, диагонали, высоту. Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту.

S=ah

Пример расчета площади ромба по этой формуле очень прост. Необходимо только подставить данные и высчитать площадь.

Площадь ромба через диагонали

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Формула площади ромба через диагонали представляет собой произведение его диагоналей, разделенное на 2.
$S={1/2} d_1 d_2$

Рассмотрим пример расчета площади ромба через диагонали. Пусть дан ромб с диагоналями
d1=5 см и d2=4. Найдем площадь.
$S={1/2}*5*4=10{cm}^2$

Формула площади ромба через стороны подразумевает и применение других элементов. Если в ромб вписана окружность, то площадь фигуры можно просчитать по сторонам и ее радиусу: S=2ar

Пример расчета площади ромба через стороны также весьма прост. Требуется только просчитать радиус вписанной окружности. Его можно вывести из теоремы Пифагора и по формуле площади прямоугольного треугольника.

Площади ромба через сторону и угол

Формула площади ромба через сторону и угол используется очень часто.

$S=a^2*sin{alpha}$

Рассмотрим пример расчета площади ромба через сторону и угол.

Задача:

Дан ромб, диагонали которого равны d1=4 см,d2=6 см. Острый угол равен α = 30°. Найдите площадь фигуры через сторону и угол.
Для начала найдем сторону ромба. Используем для этого теорему Пифагора. Мы знаем, что в точке пересечения диагонали делятся пополам и образуют прямой угол. Следовательно: $a=sqrt{({d_1}/2)^2+({d_2}/2)^2}$
Подставим значения: $a=sqrt{2^2+3^2}=sqrt{4+9}=sqrt{13}=3,6$
Теперь мы знаем сторону и угол. Найдем площадь:
$S={3,6}^2*{1/2}={13}/2=6,5$

Источник