Как найти площадь ромба вписанного в квадрат - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Площадь ромба можно найти по формулам для нахождения площади параллелограмма. С учётом свойств ромба, некоторые из этих формул меняют свой вид.

I. Площадь ромба по стороне и высоте

Площадь ромба равна произведению стороны ромба и его высоты.

Формула для нахождения площади ромба по стороне и высоте не отличается от соответствующей формулы площади параллелограмма:

$[S = a cdot {h_a}]$

Например, площадь ромба ABCD равна

$[{S_{ABCD}} = AD cdot BF]$

Так как все стороны ромба равны и все его высоты равны, для нахождения площади можно брать любую сторону и любую высоту.

II. Площадь ромба по стороне и углу

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла.

Формула для нахождения площади ромба через сторону и угол:

$[S = {a^2} cdot sin alpha ]$

Например,площадь ромба ABCD равна

$[{S_{ABCD}} = A{B^2} cdot sin angle A]$

Так как ∠D=180-∠A, sin∠D=sin(180-∠A)=sin∠A, то для нахождения площади можно брать синус любого угла.

III. Площадь ромба через его диагонали

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Формула для нахождения площади ромба по его диагоналям

$[S = frac{1}{2}{d_1} cdot {d_2}]$

по сравнению с соответствующей формулой площади параллелограмма упрощается (так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а синус прямого угла равен единице).

Например, площадь ромба ABCD равна

$[{S_{ABCD}} = frac{1}{2}AC cdot DD]$

IV. Площадь ромба через радиус вписанной окружности

Площадь ромба равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Формула для нахождения площади ромба через радиус вписанной окружности

аналогов среди формул для нахождения площади параллелограмма не имеет (поскольку из всех параллелограммов окружность можно вписать только в ромб и квадрат).

Например, площадь ромба ABCD равна

$[{S_{ABCD}} = p cdot r]$

Так как полупериметр ромба равен p=2a, формулу можно записать в виде

Источник

ПЛОЩАДЬ РОМБА

Площадь ромба: все формулы и Онлайн-Калькулятор

Площадь ромба находится по формулам площади параллелограмма. Однако с учётом свойств ромба, некоторые из этих формул выглядят иначе. Обычно используется пять формул: 1) по стороне и высоте, 2) по стороне и углу, 3) по диагоналям ромба, 4) через радиус вписанной окружности и сторону, 5) через радиус вписанной окружности и угол. Ниже представлены ПЯТЬ калькуляторов для расчета площади ромба онлайн.

1-й калькулятор (по стороне и высоте ромба).

Площадь ромба равна произведению стороны ромба и его высоты. По определению у ромба все стороны равны и все его высоты равны. Следовательно, для нахождения площади можно брать любую сторону и любую высоту.

2-й калькулятор (по стороне и острому углу ромба).

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус острого угла.

3-й калькулятор (по двум диагоналям)

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. По сравнению с соответствующей формулой площади параллелограмма упрощается (так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а синус прямого угла равен единице).

4-й калькулятор (по стороне и радиусу вписанной окружности)

Площадь ромба равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, или удвоенному произведению стороны на радиус. Примечание: из всех параллелограммов окружность можно вписать только в ромб и квадрат.

5-й калькулятор (по острому углу и радиусу вписанной окружности)

Источник

Rhombus is a special type of Parallelogram which is of huge importance. In a rhombus, all four sides are equal and opposite pairs of lines are congruent, also opposite angles in a rhombus are equal. Rhombus often gets confused with square but Rhombus is very different from the square. Why a rhombus is not considered a square is explained here. Area of the Rhombus is the space occupied by the boundaries of the Rhombus in 2-D space. Area of the Rhombus can be calculated using various methods some of which are discussed in this article.

What is Area of a Rhombus?

Area of the rhombus is considered as the space enclosed by the Rhombus in the 2-D plane. It depends on the dimensions of the rhombus. It is measured in square units, such as square meters, square centimeters, etc. Area of Rhombus is measured using the formulas listed below

Area of Rhombus Formula

Area of the rhombus can be found using various methods some of them are listed in the table below

Formulas for finding the Area of Rhombus
If Base and Height are given	A = b × h
If Diagonals are given	A = ½ × D × d
If Base and Interior angle is given	A = b² × Sin(a)

Where,

D = length of first diagonal
d = length of second diagonal
b = length of side of rhombus
h = height of rhombus
a = measure of an interior angle

Derivation of Area Formula for Rhombus

Let us consider a rhombus ABCD with O as the point of intersection of two diagonals AC and BD.

The area of rhombus will be

Area = 4 × area of △AOB

= 4 × (1/2) × AO × OB sq.units

= 4 × (1/2) × (1/2) d₁× (1/2) d₂ sq.unit

= 4 × (1/8) d₁ × d₂

= 1/2 d₁ × d₂

Therefore, the area of a rhombus is A = 1/2 d₁ × d₂.

How to Find the Area of a Rhombus?

The area of a rhombus is the total space covered or enclosed by the rhombus on a two-dimensional plane. The area of the rhombus can be calculated by three different methods by using diagonal, using base and height, and using trigonometry.

Different methods for finding area of Rhombus are given below

Area of Rhombus using Diagonal

Area = (d₁ × d₂)/2 sq. units

Where,

d₁ is the length of diagonal 1

d₂is the length of diagonal 2

Example 1: Find the area of a rhombus having diagonals 16 m and 18 m.

Solution:

Diagonal 1, d₁= 16 m

Diagonal 2, d₂= 18 m

Area of a rhombus, A = (d₁ × d₂) / 2

= (16 × 18) / 2

= 288 / 2

= 144 m²

Thus, the area of the rhombus is 144 m²

Area of Rhombus using Base and Height

Area of a Rhombus = b × h sq units

Where,

b is the length of any side of the rhombus

h is the height of the rhombus

Example 2: Find the area of a rhombus having base of 12 m and height is 16 m.

Solution:

Base, b = 12 m

Height, h = 16 m

Area, A = b × h

= 12 × 16 m²

A = 192 m²

Thus, the area of the rhombus is 192 m²

Area of Rhombus using Trigonometric Ratios

Area of a Rhombus = b² × sin(A) sq. units

Where,

b is the length of any side of the rhombus

A is a measure of any interior angle

Example 3: Find the area of a rhombus if the length of its side is 12 m and one of its angles A is 60°

Solution:

Side = s = 12 m

Angle A = 60°

Area = s² × sin (60°)

A = 144 × √3/2

A = 72√3 m²

Solved Examples on Area of Rhombus

Example 1: Calculate the area of a rhombus (using base and height) if its base is 5cm and height is 3cm.

Solution:

Given,

Base (b) = 5cm

height of rhombus(h) = 3cm

Now,’

Area of the rhombus(A) = b × h

= 5 × 3

= 15cm²

Example 2: Calculate the area of a rhombus (using diagonal) having diagonals equal to 4cm and 3cm.

Solution:

Given,

Length of diagonal 1 (d1) = 4cm

Length of diagonal 2 (d2) = 3cm

Now,

Area of Rhombus (A) = 1/2 d1 × d2

= 4 x3/2 = 6cm²

Example 3: Calculate the area of the rhombus (using trigonometry) if its side is 8cm and one of its angles A is 30 degrees.

Solution:

Side of the rhombus (b) = 8cm

angle (a) = 30 degrees

Now,

Area of the rhombus(A) = b² × sin(a)

= (8) × sin(30)

= 64 × 1/2 = 32 cm²

Example 4: Calculate the base of a rhombus if its area is 25cm² and height is 10cm.

Solution:

Given,

Area = 25 cm²

height of rhombus(h) = 10 cm

Now,

Area of the rhombus(A) = b × h

25 = b × 10

= 2.5 cm

FAQs on Area of Rhombus

Question 1: What do we mean by Rhombus?

Answer:

A rhombus is a type of quadrilateral whose opposite sides are parallel and equal. Also, the opposite angles of a rhombus are equal and the diagonals bisect each other at right angles.

Question 2: Give the Formula for finding the Area of a Rhombus.

Answer:

For finding the area of a rhombus, the given formula is used:

A = ½ × d₁ × d₂

where, d₁ and d₂are diagonals of rhombus

Question 3: How to calculate the perimeter of a rhombus?

Solution:

The perimeter of a rhombus can be calculated by the formula

P= 4b units

where b is a side of the rhombus.

Question 4: How to Find the Area of a Rhombus When the Side and Height are Given?

Answer:

The area of a rhombus its height and side are given is calculated using

A = Base × Height sq units

Question 5: Can area of a rhombus be same as the area of a square?

Answer:

No, The area of a rhombus is not the same as the area of a square. The area of a square is the square of its side, whereas the area of a rhombus is the half the product of diagonal 1 and diagonal 2.

Question 6: Write the Difference between Area of Rhombus and Perimeter of Rhombus.

Answer:

Perimeter of a rhombus is the measure of its boundary and it is calculated by adding the length of all its sides i.e. Perimeter = 4 × sides, whereas area of Rhombus is the product of its base and height, i.e., Area = base × height.

Источник

Определение ромба

Ромб — это параллелограмм, в котором все стороны равны друг другу.

Онлайн-калькулятор площади ромба

Если стороны ромба образуют прямой угол, то получим квадрат.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба, как и площади большинства геометрических фигур, можно найти несколькими способами. Разберемся в их сути и рассмотрим примеры решений.

Формула площади ромба по стороне и высоте

Пусть нам дан ромб со стороной aa и высотой hh, проведенной к этой стороне. Так как ромб это параллелограмм, то его площадь мы находим так же, как и площадь параллелограмма.

S=a⋅hS=acdot h

aa — сторона;
hh — высота, опущенная на сторону aa.

Решим простой пример.

Пример

Сторона ромба равна 5 (см.). Высота, опущенная к этой стороне, имеет длину 2 (см.). Найти площадь ромба SS.

Решение

a=5a=5
h=2h=2

Пользуемся нашей формулой и вычисляем:
S=a⋅h=5⋅2=10S=acdot h=5cdot 2=10 (см. кв.)

Ответ: 10 см. кв.

Формула площади ромба через диагонали

Здесь все так же просто. Нужно просто взять половину произведения диагоналей и получить площадь.

S=12⋅d1⋅d2S=frac{1}{2}cdot d_1cdot d_2

d1,d2d_1, d_2 — диагонали ромба.

Пример

Одна из диагоналей ромба равна 7 (см.), а другая в 2 раза больше первой. Найдите площадь фигуры.

Решение

d1=7d_1=7
d2=2⋅d1d_2=2cdot d_1

Найдем вторую диагональ:
d2=2⋅d1=2⋅7=14d_2=2cdot d_1=2cdot 7=14
Тогда площадь:
S=12⋅7⋅14=49S=frac{1}{2}cdot7cdot14=49 (см. кв.)

Ответ: 49 см. кв.

Формула площади ромба через две стороны и угол между ними

S=a2⋅sin⁡(α)S=a^2cdotsin(alpha)

aa — сторона ромба;
αalpha — любой угол ромба.

Пример

Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.

Решение

a=10a=10
α=30∘alpha=30^{circ}

По формуле получаем:
S=a2⋅sin⁡(α)=100⋅sin⁡(30∘)=50S=a^2cdotsin(alpha)=100cdotsin(30^{circ})=50 (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и углу

S=4⋅r2sin⁡(α)S=frac{4cdot r^2}{sin(alpha)}

rr — радиус вписанной окружности в ромб;
αalpha — любой угол ромба.

Пример

Найти площадь ромба, если угол между основаниями равен 60 градусов, а радиус вписанной окружности — 4 (см.).

Решение

r=4r=4
α=60∘alpha=60^{circ}

S=4⋅r2sin⁡(α)=4⋅16sin⁡(60∘)≈73.9S=frac{4cdot r^2}{sin(alpha)}=frac{4cdot 16}{sin(60^{circ})}approx73.9 (см. кв.)

Ответ: 73.9 см. кв.

Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и стороне

S=2⋅a⋅rS=2cdot acdot r

aa —сторона ромба;
rr — радиус вписанной окружности в ромб.

Пример

Возьмем условие из предыдущей задачи, но пусть вместо угла нам известна сторона ромба, равная 5 см.

Решение

a=5a=5
r=4r=4

S=2⋅a⋅r=2⋅5⋅4=40S=2cdot acdot r=2cdot5cdot4=40 (см. кв.)

Ответ: 40 см. кв.

Ищете того, кто сможеит помочь вам решить контрольную работу по геометрии? Наши эксперты окажут вам быструю и качественную помощь с выполнением работы!

Тест на тему “Площадь ромба”

Источник

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб с прямыми углами называется квадратом и считается частным случаем ромба. Найти площадь ромба можно различными способами, используя все его элементы – стороны, диагонали, высоту. Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту.

S=ah

Пример расчета площади ромба по этой формуле очень прост. Необходимо только подставить данные и высчитать площадь.

Площадь ромба через диагонали

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Формула площади ромба через диагонали представляет собой произведение его диагоналей, разделенное на 2.
$S={1/2} d_1 d_2$

Рассмотрим пример расчета площади ромба через диагонали. Пусть дан ромб с диагоналями
d1=5 см и d2=4. Найдем площадь.
$S={1/2}*5*4=10{cm}^2$

Формула площади ромба через стороны подразумевает и применение других элементов. Если в ромб вписана окружность, то площадь фигуры можно просчитать по сторонам и ее радиусу: S=2ar

Пример расчета площади ромба через стороны также весьма прост. Требуется только просчитать радиус вписанной окружности. Его можно вывести из теоремы Пифагора и по формуле площади прямоугольного треугольника.

Площади ромба через сторону и угол

Формула площади ромба через сторону и угол используется очень часто.

$S=a^2*sin{alpha}$

Рассмотрим пример расчета площади ромба через сторону и угол.

Задача:

Дан ромб, диагонали которого равны d1=4 см,d2=6 см. Острый угол равен α = 30°. Найдите площадь фигуры через сторону и угол.
Для начала найдем сторону ромба. Используем для этого теорему Пифагора. Мы знаем, что в точке пересечения диагонали делятся пополам и образуют прямой угол. Следовательно: $a=sqrt{({d_1}/2)^2+({d_2}/2)^2}$
Подставим значения: $a=sqrt{2^2+3^2}=sqrt{4+9}=sqrt{13}=3,6$
Теперь мы знаем сторону и угол. Найдем площадь:
$S={3,6}^2*{1/2}={13}/2=6,5$

Источник