Как найти площадь с помощью средней линии - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

$[S = frac{1}{2}a cdot {h_a}]$

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

$[m = frac{1}{2}a,]$

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

$[S = m cdot {h_a}]$

Вывод:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Поскольку

$[MN = frac{1}{2}AC,]$

то

$[frac{{MN}}{{AC}} = frac{{MB}}{{AB}} = frac{{NB}}{{CB}} = frac{1}{2}.]$

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

$[frac{{{S_{Delta MBN}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = {(frac{1}{2})^2} = frac{1}{4},]$

то есть

$[{S_{Delta MBN}} = frac{1}{4}{S_{Delta ABC}}.]$

Вывод:

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

$[{S_{Delta MBN}} = frac{1}{4}{S_{Delta ABC}} = frac{1}{4} cdot 40 = 10(c{m^2})]$

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

$[{S_{AMNC}} = frac{3}{4}{S_{Delta ABC}} = frac{3}{4} cdot 40 = 30(c{m^2}),]$

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Источник

На чтение 4 мин Просмотров 2.2к. Опубликовано 04.07.2019

Содержание

Содержание
Средняя линия треугольника [ править | править код ]
Свойства [ править | править код ]
Признаки [ править | править код ]
Средняя линия четырёхугольника [ править | править код ]
Свойства [ править | править код ]
Средняя линия трапеции [ править | править код ]

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Содержание

Средняя линия треугольника [ править | править код ]

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника [1] .

Свойства [ править | править код ]

средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки [ править | править код ]

Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника [ править | править код ]

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства [ править | править код ]

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции [ править | править код ]

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: E F = A D + B C 2 <displaystyle EF=<frac <2>>> , где AD и BC — основания трапеции.

07.06.2019

5 июня Что порешать по физике

30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике

Площадь треугольника ABC равна 176, DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему с коэффициентом подобия Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда