Как найти площадь сечения параллелепипеда через ребра - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Сечение параллелепипеда: как рассчитать его площадь

Масса задач составлена на основе свойств многогранников. Грани объёмных фигур, как и конкретные точки на них, лежат в разных плоскостях. Если одну из таких плоскостей под определённым углом провести сквозь параллелепипед, то часть плоскости, лежащая в пределах многогранника и разделяющая его на части, будет его сечением.

Вам понадобится

— линейка
— карандаш

Инструкция

Постройте параллелепипед. Помните, что его основание и каждая из граней должны представлять собой параллелограмм. Это означает, что вам надо построить многогранник так, чтобы все противоположные рёбра параллельны. Если в условии сказано построить сечение прямоугольного параллелепипеда, то его грани сделайте прямоугольными. У прямой параллелепипед прямоугольные только 4 боковые грани. Если боковые грани параллелепипеда не перпендикулярны основанию, то такой многогранник называют наклонным. Если вы хотите построить сечение куба, изначально начертите прямоугольный параллелепипед с равными размерами. Тогда все шесть его граней будут представлять собой квадраты. Назовите все вершины для удобства обозначения.

Обозначьте две точки, которые будут принадлежать плоскости сечения. Иногда их положение указано в задаче: расстояние от ближайшей вершины, конец отрезка, проведённого по определенным условиям. Теперь проведите прямую через точки, лежащие в одной плоскости.

Найдите прямые на пересечении секущей плоскости с гранями параллелепипеда. Для выполнения этого шага найдите точки, в которых прямая, лежащая в плоскости сечения параллелепипеда, пересекается с прямой линией, принадлежащей грани параллелепипеда. Эти прямые должны находиться в одной плоскости.

Достройте сечение параллелепипеда. При этом помните, что ее плоскость должна пересекать параллельные грани параллелепипеда по параллельным прямым.

Стройте секущую плоскость в соответствии с исходными данными в задаче. Существует несколько возможностей построения плоскости сечения, проходящей:
— перпендикулярно заданной прямой линии через заданную точку;
— перпендикулярно заданной плоскости через заданную прямую;
— параллельно двум скрещивающимся прямым через заданную точку;
— параллельно другой заданной прямой через другую заданную прямую;
— параллельно заданной плоскости через заданную точку.
По таким исходным данным стройте сечение по принципу, описанному выше.

Видео по теме

Обратите внимание

Чтобы построить сечение параллелепипеда, нужно определить точки пересечения плоскости сечения с ребрами параллелепипеда, а затем соединить данные точки отрезками. Учтите, что соединять только те точки, которые лежат в плоскости одной грани. Параллельные грани параллелепипеда пересекайте секущей плоскостью по параллельным отрезкам. Если в плоскости грани только одна точка принадлежит плоскости сечения, постройте дополнительную такую точку. Для этого найдите точки пересечения построенных прямых с теми прямыми, которые лежат в нужных гранях.

Полезный совет

Параллелепипед имеет 6 граней. В его сечениях могут получиться треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и фигуры с шестью углами. Плоскость, в том числе и секущая, определяется:
— тремя точками;
— прямой линией и одной точкой;
— двумя линиями, параллельными друг другу;
— двумя прямыми, пересекающимися между собой.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Как найти сечение параллелепипеда

Сечения геометрических фигур имеют различные формы. У параллелепипеда сечение всегда представляет собой прямоугольник или квадрат. Оно имеет ряд параметров, которые могут быть найдены аналитическим способом.

Через параллелепипед можно провести четыре сечения, которые представляют собой квадраты или прямоугольники. Всего он имеет два диагональных и два поперечных сечения. Как правило, они имеют разные размеры. Исключением является куб, у которого они одинаковы.
Перед тем как строить сечение параллелепипеда, составьте представление о том, что представляет собой эта фигура. Существует два вида параллелепипедов — обычный и прямоугольный. У обычного параллелепипеда грани располагаются под некоторым углом к основанию, а у прямоугольного они перпендикулярны ему. Все грани прямоугольного параллелепипеда представляют собой прямоугольники или квадраты. Из этого следует,что куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда.

У любого сечения параллелепипеда есть определенные характеристики. Основными из них являются площадь, периметр, длины диагоналей. Если из условия задачи известны стороны сечения или какие-либо иные его параметры, этого достаточно, чтобы найти его периметр или площадь. По сторонам определяются также диагонали сечений. Первый из этих параметров — площадь диагонального сечения.
Для того чтобы найти площадь диагонального сечения, нужно знать высоту и стороны основания параллелепипеда. Если даны длина и ширина основания параллелепипеда, то диагональ найдите по теореме Пифагора:
d=√a^2+b^2.
Найдя диагональ и зная высоту параллелепипеда, вычислите площадь сечения параллелепипеда:
S=d*h.

Периметр диагонального сечения тоже можно вычислять по двум величинам — диагонали основания и высоте параллелепипеда. В этом случае вначале найдите две диагонали (верхнего и нижнего оснований) по теореме Пифагора, а затем сложите с удвоенным значением высоты.

Если провести плоскость, параллельную ребрам параллелепипеда, можно получить сечение-прямоугольник, сторонами которого являются одна из сторон основания параллелепипеда и высота. Площадь этого сечения найдите следующим образом:
S=a*h.
Периметр этого сечения найдите аналогичным образом по следующей формуле:
p=2*(a+h).

Последний случай возникает, когда сечение проходит параллельно двум основаниям параллелепипеда. Тогда его площадь и периметр равны значению площади и периметра оснований, т.е.:
S=a*b — площадь сечения;

p=2*(a+b).

Источник

было в ЕГЭ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 59 1–20 | 21–40 | 41–59

Добавить в вариант

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 3 : 4. Точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB = 9, AD = 6 , AA₁ = 14.

а)  В каком отношении плоскость ETD₁ делит ребро BB₁?

б)  Найдите угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью AA₁B₁.

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 4 : 3. Точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB = 5, AD = 8, AA₁ = 14.

а)  В каком отношении плоскость ETD₁ делит ребро BB₁?

б)  Найдите угол между плоскостью ETD₁ и плоскостью AA₁B₁.

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E  =  6EA. Точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AD  =  12, AA₁  =  14.

а)  Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 4 : 3.

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  6 : 1, на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB = 3 : 4, а точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AD = 30, AA₁  =  35.

а)  Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 8, BC = 6, AA₁ = 12. Точка K  — середина ребра AD, точка M лежит на ребре DD₁ так, что DM : D₁M = 1 : 2.

а)  Докажите, что прямая BD₁ параллельна плоскости CKM.

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью CKM.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 6, BC = 4, AA₁ = 7. Точка P  — середина ребра AB, точка M лежит на ребре DD₁ так, что DM : D₁M = 2 : 5.

а)  Докажите, что плоскость MPC делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 11.

б)  Найдите расстояние от точки D до плоскости MPC.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AA₁  =  5, AB  =  12, BC  =  12.

а)  Докажите, что плоскости DA_1B и AA_1C перпендикулярны.

б)  Найдите угол между плоскостью AA₁C и прямой A₁B.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  BC  =  8, BB₁  =  6. Точка K  — середина ребра BB₁, точка P  — середина ребра C₁D₁. Найдите:

а)  площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD₁;

б)  объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  1 : 2, на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB  =  1 : 5, а точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB  =  4, AD  =  2, AA₁  =  6.

а)  Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б)  Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  2 : 3, на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB  =  1 : 4, а точка T  — середина ребра B₁C₁. Известно, что AB  =  3, AD  =  4, AA₁  =  10.

а)  Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б)  Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB₁C₁.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB  =  16, AD  =  21, AA₁  =  28. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C₁.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB  =  15, AD  =  12, AA₁  =  16. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C₁.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB  =  4, BC  =  3, AA₁  =  2. Точки P и Q  — середины рёбер A₁B₁ и CC₁ соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B₁C₁ в точке U.

а)  Докажите, что B₁U : UC₁  =  2 : 1.

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью APQ.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  AA₁  =  6, BC  =  4. Точка P — середина ребра AB, точка M лежит на ребре DD₁ так, что DM : D₁D  =  2 : 3.

а)  Докажите, что прямая ВD₁ параллельна плоскости MPC.

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью MPC.

Всего: 59 1–20 | 21–40 | 41–59

Источник

Площадь диагонального сечения параллелепипеда

У прямоугольного параллелепипеда диагональное сечение представляет собой прямоугольник.

Значит, для нахождения его площади нужно воспользоваться формулой площади прямоугольника:

S = a * b.

Сторона a совпадает с диагональю основания параллелепипеда.

Длину диагонали основания можно найти по теореме Пифагора, поскольку данная диагональ разбивает прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника и является в каждом из них гипотенузой.

BD² = AB² + AD². => BD = √(AB² + AD²).

Сторона b равна высоте параллелепипеда (боковому ребру).

Высоту параллелепипеда можно, например, найти по его объёму и площади основания.

У прямоугольного параллелепипеда основание — это прямоугольник, поэтому площадь основания равна произведению его длины и ширины (на рисунке это AB и AD).

BB1 = V / (AB * AD).

Далее рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 4 см, а высота равна 5 см.

Нужно найти площадь диагонального сечения.

S (сеч) = √(12² + 4²) * 5 = √140 * 5 = 2√35 * 5 = 10√35 см.

Пример 2

Стороны основания и высота прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3, а его объём равен 48 см².

Нужно найти площадь диагонального сечения.

1) Сначала найдём, чему равны стороны основания и высота.

V = abc = 48.

Пусть a = x, b = 2x, c = 3x.

x * 2x * 3x = 48.

6x³ = 48.

x³ = 8.

x = 2.

Таким образом, стороны основания равны 2 и 4 см соответственно, а высота равна 6 см.

2) Теперь всё решается так же, как и в 1 примере.

S (сеч) = √(2² + 4²) * 6 = √20 * 6 = 2√5 * 6 = 12√5 см.

Источник