Как найти площадь сектора цилиндра

§ 17. Цилиндр

17.1. Определение цилиндра и его элементов

Определение. Тело, которое образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону, называется цилиндром (рис. 141).

Круги, образованные вращением сторон прямоугольника, перпендикулярных оси вращения, называются основаниями цилиндра (верхним и нижним). Так как противоположные стороны прямоугольника равны, то основаниями цилиндра являются равные круги.

Поверхность, образованная вращением стороны прямоугольника, параллельной оси вращения, называется боковой поверхностью цилиндра, а её площадь — площадью боковой поверхности цилиндра и обозначается Sбок. Объединение боковой поверхности цилиндра и двух его оснований называется полной поверхностью цилиндра, а её площадь обозначается Sполн. Таким образом,

Sполн = Sбок + 2Sосн.(1)

Высотой цилиндра называется перпендикуляр, проведённый из какой-либо точки одного основания цилиндра к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой цилиндра. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный к их плоскостям, называется образующей цилиндра вращения. Отрезок оси вращения, заключённый внутри цилиндра, называется осью цилиндра.

 Образующие цилиндра вращения перпендикулярны плоскостям его оснований, а в основании цилиндра — круг, поэтому такой цилиндр называется прямым круговым цилиндром (рис. 142, а).

Если основания прямого кругового цилиндра подвергнуть сжатию так, чтобы окружность основания преобразовалась в эллипс, то получим цилиндр, который называется эллиптическим цилиндром (рис. 142, б).

Так как окружность при параллельном проектировании изображается эллипсом, то изображения кругового и эллиптического цилиндров совпадают.

Цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований, называется наклонным цилиндром (рис. 142, в). 

Нам предстоит изучать лишь прямой круговой цилиндр, поэтому слова «прямой круговой» опускаем.

Поверхность, образованную вращением прямой, параллельной оси вращения, называют цилиндрической поверхностью вращения (рис. 143).

Уравнение x2 + y2 = r2 (r > 0) задаёт цилиндрическую поверхность вращения с осью вращения Oz и радиусом основания r. Из этого уравнения следует, что цилиндрическая поверхность является поверхностью второго порядка. (Подробнее о поверхностях второго порядка можно прочитать в «Дополнениях» в конце этой книги.)

17.2. Свойства цилиндра

а) Сечения цилиндра плоскостью. Так как цилиндр является телом вращения, то любое его перпендикулярное сечение есть круг, а перпендикулярное сечение боковой поверхности цилиндра — окружность; центры этих окружностей и кругов — точки пересечения секущих плоскостей и оси цилиндра (рис. 144).

Если секущая плоскость пересекает ось цилиндра и не перпендикулярна ей, то в сечении может получиться эллипс (рис. 145) или его некоторая часть (рис. 146, 147). Это следует из того, что параллельной проекцией окружности на плоскость, не параллельную плоскости окружности, является эллипс. (Вспомните: наклонив цилиндрический стеклянный сосуд с водой, вы видите на поверхности воды эллипс или его часть.)

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением цилиндра. Так как поворот пространства вокруг прямой на угол 180° является осевой симметрией относительно оси вращения, то ось прямого кругового цилиндра является его осью симметрии. Значит, осевым сечением цилиндра вращения является прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания и образующей цилиндра (рис. 148). При этом все осевые сечения цилиндра — равные между собой прямоугольники.

Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат, называют равносторонним цилиндром (рис. 149).

Так как все образующие цилиндра равны и параллельны друг другу, то любое сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть прямоугольник, высота которого равна образующей цилиндра (рис. 150).

б) Изображение цилиндра. Чтобы построить изображение цилиндра, достаточно построить: 1) прямоугольник AВB1A1 и его ось OO1 (рис. 151); 2) два равных эллипса, центрами которых являются точки O и O1 и осями — отрезки АВ и A1В1. Выделив штрихами невидимые линии, получаем искомое изображение цилиндра.

в) Касательная плоскость к цилиндру.

Определение. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра перпендикулярно плоскости осевого сечения, проведённой через эту образующую, называется касательной плоскостью к цилиндру (рис. 152).

Говорят, что плоскость α касается цилиндра (цилиндрической поверхности) по образующей DD1, каждая точка образующей DD1 является точкой касания плоскости α и данного цилиндра.

Через любую точку боковой поверхности цилиндра проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности цилиндра можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному цилиндру в этой точке.

17.3. Развёртка и площадь поверхности цилиндра

Следует заметить, что развёртка поверхности вращения — понятие в определённой мере интуитивное. К тому же не для каждой поверхности тела вращения можно построить её развёртку. Иными словами, не каждую поверхность можно «развернуть» на плоскости. Например, не существует развёртки сферы (см. раздел «Дифференциальная геометрия» в конце этой книги).

Развёртку цилиндра мы также введём на интуитивном уровне.

Пусть R — радиус основания, h — высота цилиндра.

Полная поверхность цилиндра состоит из его боковой поверхности и двух оснований — равных кругов. Если эту поверхность «разрезать» по образующей DD1 (рис. 153) и по окружностям оснований, затем боковую поверхность развернуть на плоскости, то получим развёртку полной поверхности цилиндра (рис. 154), состоящую из прямоугольника и двух равных кругов, касающихся противоположных сторон этого прямоугольника (рис. 155).

Попробуйте изготовить развёртку цилиндра и склеить из неё цилиндр.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, у которого одна сторона равна длине окружности основания цилиндра, а другая сторона — высоте цилиндра:

Sбок = 2πRh.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. ▼

Площадь круга радиуса R равна πR2, поэтому Sосн = πR2. Тогда для нахождения площади полной поверхность цилиндра справедливо:

Sполн = Sбок + 2Sосн = 2πRh + 2πR2 = 2πR(R + h).

Следствие. Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника ABCD вокруг его высоты AD (рис. 156). Тогда

Sбок = 2πDC•BC. (1)

Если EF — серединный перпендикуляр к образующей BC, проведённый из точки F оси l цилиндра, то EF = CD. Учитывая, что ВС = AD, получаем: Sбок = 2πEF•AD, т. е. боковая поверхность цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра его образующей, проведённого из точки оcu цилиндра.

Это следствие найдёт своё применение в п. 19.7.

17.4. Призмы, вписанные в цилиндр и описанные около цилиндра

Нам предстоит решать задачи, в которых рассматриваются многогранники, вписанные в фигуры вращения и описанные около них.

Для правильного и наглядного изображения конфигураций из таких многогранников и фигур вращения необходимо верно изображать правильные многоугольники, вписанные в окружность (круг) или описанные около неё.

Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если основания призмы вписаны в основания цилиндра (рис. 157).

Цилиндр в этом случае называют описанным около призмы.

Боковые рёбра призмы соединяют соответственные вершины её оснований, вписанных в основания цилиндра. Эти вершины лежат на окружностях оснований цилиндра. Образующие цилиндра соединяют соответственные точки окружностей его оснований и параллельны боковым рёбрам призмы. Следовательно, боковые рёбра вписанной в цилиндр призмы — образующие цилиндра.

Определение. Призма называется описанной около цилиндра, если основания призмы описаны около оснований цилиндра.

Цилиндр при этом называют вписанным в призму (рис. 158).

Так как соответственные стороны оснований призмы параллельны друг другу и перпендикулярны радиусам оснований цилиндра, проведённым в точки касания, то плоскости боковых граней призмы являются касательными плоскостями к цилиндру: эти плоскости касаются поверхности цилиндра по образующим, соединяющим точки, в которых стороны оснований призмы касаются окружностей оснований цилиндра.

При изображении правильных призм, вписанных в цилиндр, следует руководствоваться алгоритмами построений изображений правильных многоугольников, вписанных в окружность.

Итак, для построения изображения правильной призмы, вписанной в цилиндр: 1) строим изображение цилиндра; 2) строим изображение правильного многоугольника, вписанного в верхнее основание цилиндра; 3) через вершины построенного вписанного многоугольника проводим образующие цилиндра; 4) в нижнем основании цилиндра последовательно соединяем концы этих образующих; 5) выделяем видимые и невидимые линии (отрезки) изображаемых фигур.

На рисунке 159 изображены вписанные в цилиндр: призма, в основании которой прямоугольный треугольник (рис. 159, а); правильная четырёхугольная призма (рис. 159, б); правильная треугольная призма (рис. 159, в); правильная шестиугольная призма (рис. 159, г).

 ЗАДАЧА (3.029). Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна a. Найти площади боковой и полной поверхностей правильной призмы, вписанной в этот цилиндр, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Решение. Рассмотрим случай а). Пусть в равносторонний цилиндр вписана правильная призма ABCA1B1C1 (рис. 160); CDD1C1 — осевое сечение; OO1 = h — высота цилиндра; ОС = R — радиус основания цилиндра.

Так как цилиндр — равносторонний, то CDD1C1 — квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания. Тогда в квадрате СDD1С1 находим CD =   = a = h.

Далее, △ АВС — правильный, вписанный в основание, радиус которого R =  = . Значит, сторона АВ и высота СЕ этого треугольника равны: АВ = R = , СЕ =  R =   a. Откуда

Sосн =  = ;

S

бок = 3SABB1A1 = 3AB•BB1 = 3••a = .

Тогда

Sполн = Sбок + 2Sосн = + 2• = .

Ответ: a) ; .

 ЗАДАЧА (3.032). В равносторонний цилиндр, высота которого равна a, вписана правильная призма. Найти расстояние и угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Решение. Рассмотрим случай б). Пусть ABCDA1B1C1D1 — вписанная в цилиндр правильная призма (рис. 161). Найдём расстояние и угол между осью OO1 цилиндра и скрещивающейся с ней (почему?) диагональю АB1 боковой грани ABB1A1 данной призмы.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведёнными через эти прямые.

Если точка Е — середина отрезка AD, то расстояние между скрещивающимися прямыми AB1 и OO1 равно расстоянию между плоскостью грани ABB1A1 и параллельной ей (почему?) плоскостью сечения EFF1E1. Это расстояние равно длине отрезка ОK (где точка K — середина АВ), так как OK ⟂ (ABB1) и (ABB1) || (EFF1).

Поскольку данный цилиндр — равносторонний, то BDD1B1 — квадрат со стороной BD = ВВ1 = a. Тогда АВ =  = . Значит, ОK = АЕ =  =  — искомое расстояние между прямыми ОО1 и АВ1.

Обозначим ∠ (OO1; AB1) = ϕ, M = AB1 ∩ A1B. Для нахождения угла ϕ проведём в грани ABB1A1 прямую KK1 || OO1. Тогда ϕ = ∠ (OO1; AB1) = ∠ (KK1; AB1). Так как KK1 || OO1, OO1 ⟂ (ABC), то MK ⟂ AB. Поэтому △ АKМ — прямоугольный. В этом треугольнике АK = , KМ = . Значит, tg ϕ =   = , откуда ϕ = arctg .

Ответ: б) , arctg .

 Во многих пособиях по геометрии за площадь боковой поверхности цилиндра принимают предел последовательности площадей боковых поверхностей правильных вписанных в цилиндр (или описанных около цилиндра) n-угольных призм при n → +∞.

Действительно, Sбок. пов. призм = h•Pосн. призм, где Росн. призм — периметр основания призмы, h — длина её высоты. Для правильных вписанных в цилиндр призм h — постоянная величина, равная длине высоты цилиндра, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность (основание цилиндра), равен длине этой окружности. Таким образом, мы вновь получаем: Sбок =  2πRh. 

17.5. Объём цилиндра

Напомним принятое нами соглашение, основанное на принципе Кавальери.

«Пусть даны два тела и плоскость. Если каждая плоскость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причём площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся как m : n, то и объёмы этих тел относятся как m : n».

Расположим цилиндр, имеющий высоту h и радиус основания R, и прямоугольный параллелепипед с рёбрами h, R, R так, чтобы их основания находились на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно h (рис. 162). Каждая плоскость, параллельная данным плоскостям и пересекающая цилиндр, пересекает также прямоугольный параллелепипед, причём площади образованных при пересечении обоих тел сечений относятся как π•R2 : R2 = π : 1. Тогда и для объёмов этих тел справедливо: Vцил : Vпарал = π : 1 или Vцил : (R2•h) = π : 1, откуда

Vцил = π•R2•h.

Если цилиндр высотой h пересечь плоскостью, параллельной его оси, то этот цилиндр разобьётся на два тела (рис. 163). Объёмы этих тел относятся как площади сегментов, образовавшихся в основании цилиндра (докажите это на основании принципа Кавальери). Следовательно, объём каждого из этих тел может быть вычислен по формуле

V = Sсегм•h.

Любая плоскость, проведённая через середину оси цилиндра, разбивает этот цилиндр на два равновеликих тела (рис. 164), объём V каждого из которых равен половине объёма данного цилиндра, т. е. V = π•R2•h.

Попробуйте, исходя из этой формулы, доказать, что в таком случае объём каждой части цилиндра (см. рис. 164) может быть вычислен по формуле:

V= π •R2•(a + b),

где a и b — длины отрезков, на которые образующая цилиндра делится секущей плоскостью.