В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности сегмента шара, а также разберем пример решения задачи для демонстрации их практического применения.
- Определение сегмента шара
-
Формулы для нахождения площади сегмента шара
- Площадь основания
- Площадь сферической поверхности
- Площадь полной поверхности
- Пример задачи
Определение сегмента шара
Сегмент шара (или шаровый сегмент) – это часть шара, отсеченная плоскостью. На чертеже ниже закрашен зеленым цветом.
- R – радиус шара;
- r – радиус основания сегмента;
- h – высота сегмента; это длина перпендикуляра от центра его основания (точка O2) до точки на поверхности шара.
Связь между радиусом основания сегмента, его высотой и радиусом шара:
Формулы для нахождения площади сегмента шара
Площадь основания
Основанием шарового сегмента является круг, площадь (S) которого находится по стандартной формуле (в расчетах число π округляется до 3,14):
Sосн. = πr 2
Примечание: если известен диаметр круга (d), чтобы найти радиус (r), нужно первое разделить на второе, то есть: r = d/2.
Площадь сферической поверхности
Чтобы найти площадь (S) сферической/внешней поверхности шарового сегмента, необходимо знать его высоту и радиус самого шара.
Sсфер. пов. = 2πRh
Площадь полной поверхности
Чтобы найти площадь (S) полной поверхности сегмента шара, необходимо сложить площади его основания и внешней поверхности.
Sполн. = Sосн. + Sсфер. пов. = π (2Rh + r 2)
Пример задачи
Дан шар радиусом 6 см. Найдите полную площадь шарового сегмента, если известно, что его высота равняется 2,4 см, а радиус основания – 4,7 см.
Решение
Воспользуемся формулами, приведенными выше, подставив в них известные по условиям задачи значения.
Sосн. = 3,14 ⋅ (4,7 см) 2 = 69,3626 см 2
Sсфер. пов. = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 см⋅ 2,4 см = 90,432 см 2
Sполн. = Sосн. + Sсфер. пов. = 69,3626 см 2 + 90,432 см 2 = 159,7946 см 2
Как найти площадь сечения шара
Пусть дан шар с радиусом R, который на некотором расстоянии b от центра пересекает плоскость. Расстояние b меньше или равно радиусу шара. Требуется найти площадь S получающегося при этом сечения.
Инструкция
Очевидно, что если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу плоскости, то плоскость касается шара только в одной точке, и площадь сечения будет равна нулю, то есть если b = R, то S = 0. Если b = 0, то секущая плоскость проходит через центр шара. В этом случае сечение будет представлять собой круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Площадь этого круга будет, согласно формуле, равна S = πR^2.
Эти два крайних случая дают границы, между которыми всегда будет лежать искомая площадь: 0 < S < πR^2. При этом любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти радиус окружности сечения. Тогда площадь этого сечения вычисляется по формуле площади круга.
Поскольку расстояние от точки до плоскости определяется как длина отрезка, перпендикулярного плоскости и начинающегося в точке, второй конец этого отрезка будет совпадать с центром окружности сечения. Такой вывод вытекает из определения шара: очевидно, что все точки окружности сечения принадлежат сфере, а следовательно, лежат на равном расстоянии от центра шара. Это значит, что каждая точка окружности сечения может считаться вершиной прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит радиус шара, одним из катетов — перпендикулярный отрезок, соединяющий центр шара с плоскостью, а вторым катетом — радиус окружности сечения.
Из трех сторон этого треугольника заданы два — радиус шара R и расстояние b, то есть гипотенуза и катет. По теореме Пифагора длина второго катета должна быть равна √(R^2 — b^2). Это и есть радиус окружности сечения. Подставляя найденное значение радиуса в формулу площади круга, легко прийти к выводу, что площадь сечения шара плоскостью равна:S = π(R^2 — b^2).В частных случаях, когда b = R или b = 0, выведенная формула полностью согласуется с уже найденными результатами.
Видео по теме
Источники:
- сечение шара плоскостью
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы
Определение.
Сфера (поверхность шара) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).
Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение.
Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).
Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение. Радиус сферы (шара) (R) — это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).
Определение. Диаметр сферы (шара) (D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.
Формула. Объём шара:
| V = | 4 | πR3 = | 1 | πD3 |
| 3 | 6 |
Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:
S = 4πR2 = πD2
Уравнение сферы
1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат:
x2 + y2 + z2 = R2
2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x0, y0, z0) в декартовой системе координат:
(x — x0)2 + (y — y0)2 + (z — z0)2 = R2
3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x0, y0, z0):
x = x0 + R · sin θ · cos φ
y = y0 + R · sin θ · sin φ
z = z0 + R · cos θ
где θ ϵ [0,π], φ ϵ [0,2π].
Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.
Основные свойства сферы и шара
1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.
2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.
3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.
4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.
5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.
6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.
7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Определение. Секущая сферы — это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.
Определение. Хорда сферы (шара) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).
Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая пересекает сферу.
Определение. Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сечение образует соответственно большую окружность и большой круг. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).
Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.
Хорда является отрезком секущей прямой.
Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:
d < R
Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m < R
Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность, а на шаре местом сечения будет малый круг. Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:
r = √R2 — m2,
где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Определение. Полусфера (полушар) — это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Определение.Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.
Определение.Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.
Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения
Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение. Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
S = 2πRh
Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
Определение. Срез шара — это часть шара, которая образуется в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и находится между ними.
Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.
Формула. Площадь поверхности сектора S с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):
S = πR(2h + √2hR — h2)
Формула. Объём сектора V с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):
Определение. Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.
Определение. Концентрическими сферами называются любые две сферы, которые имеют общий центр и радиусы различной длины.
Площадь поверхности шарового сектора, формула
Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара.
Поверхность шарового сектора складывается из кривых поверхностей шарового сегмента и конуса.
Зная радиус основания сегмента и конуса r при помощи теоремы Пифагора и прямоугольного треугольника получим высоты
сегмента и конуса:
[ h_{конуса} = sqrt{R^2-r^2} ]
[ h_{сегмента} = R — sqrt{R^2-r^2} ]
Подставим формулы площади конуса и шарового сегмента:
[ S_{сектора} = S_{сегмента} + S_{конуса} ]
[ S_{сектора} = 2 pi R h_{сегмента} + pi R r ]
[ S_{сектора} = pi R ( 2 (R — sqrt{R^2-r^2}) + r ) ]
Формулы шара, сферы
Вычислить, найти площадь поверхности шарового сектора по формуле (5)
Площадь поверхности шарового сектора |
стр. 317 |
|---|
Задание. Через точку A на поверхности шара проведена секущая
плоскость. Площадь полученного сечения равна 24. Угол между секущей плоскостью
и радиусом шара, проведенным в точку A, равен 30°. Найдите площадь
поверхности шара.
Варианты ответов.
Анализ. Анализируя варианты
ответов отмечаем, что некоторые ответы даны с π, а некоторые – без π,
поэтому будем особо внимательны при выборе ответа. Также в условии имеется угол
в 30°. Вероятно, в решении
задачи появится прямоугольный треугольник с углом в 30°, а мы помним, что это – особенный треугольник.
Теория. Необходимая теория: при сечении шара плоскостью в сечении
получается круг, площадь круга S=πr2, где r –
радиус круга. Площадь поверхности шара S=4πR2, где R –
радиус шара. Угол между секущей плоскостью и радиусом шара,
проведенным в точку A
– это угол между прямой и плоскостью, а он равен углу между этой
прямой и проекцией этой прямой на плоскость.
Решение.
Итак, секущая плоскость
отстоит на некотором расстоянии от плоскости, в которой лежит центр шара, так
как радиус шара наклонен к секущей плоскости под некоторым углом (иначе радиус
бы лежал в этой плоскости), опустим перпендикуляр OO1 из центра шара на
секущую плоскость (точка O1 – центр сечения, то есть центр круга), тогда OO1 – перпендикуляр, OA – наклонная, AO1 – проекция этой
наклонной на плоскость сечения, а значит, угол между радиусом OA и секущей плоскостью –
это угол OAO1, по условию он равен 30°. Площадь сечения равна 24, S=πr2, значит 24=πr2, откуда AO1=r=√(24/π). Рассмотрим
прямоугольный треугольник OAO1 с углом 30°. Для
решения задачи необходимо знать радиус шара, а это OA или гипотенуза для рассматриваемого треугольника. С четом того, что нам
известен прилежащий к углу 30°
катет, а нужно найти гипотенузу, составляем синус 30°: sin 30°= AO1/OA
Теперь, зная радиус шара, находим площадь
его поверхности:
S=4πR2=4π∙(32/π)=128.
Ответ. 3