Как найти площадь сферы вписанной в куб

Факт 2.
(bullet) Если сфера вписана в куб (то есть касается всех его граней), то ее радиус равен (0,5a), где (a) – ребро куба.
(bullet) Если сфера описана около куба (то есть все вершины куба лежат на сфере), то ее радиус равен (0,5d), где (d) – диагональ куба.
(bullet) Центр сферы, вписанной в куб или описанной около куба, лежит в точке пересечения диагоналей куба.

Онлайн калькулятор площади поверхности куба поможет найти площадь куба пятью различными формулами. Выбор неоходимой формулы зависит от исходных данных. 
Выполнив расчет на этом онлайн калькуляторе площади поверхности куба Вы сможете получить не только ответ но еще и детальное пошаговое решение, тем самым закрепите знания в данном материале.

• Калькулятор
• Инструкция
• Теория
• История
• Сообщить о проблеме

Ваша оценка?

Радиус вписанной сферы куба

Свойства

Радиус вписанной сферы куба представляет собой половину ребра куба, так как диаметр такой сферы точно совпадает с самим ребром. Поэтому чтобы найти ребро куба через радиус вписанной сферы, нужно умножить последний на два. (рис.2.2) a=2r

Найти площадь стороны куба можно как площадь квадрата, стороной которого является ребро куба. Тогда, вместо того чтобы возводить во вторую степень ребро, нужно возвести удвоенный радиус вписанной в куб сферы. Площадь боковой поверхности куба и площадь полной поверхности куба будут равны четырем и шести таким площадям соответственно, так как они представлены эти количеством граней куба. S=a^2=4r^2 S_(б.п.)=4S=16r^2 S_(п.п.)=6S=24r^2

Чтобы вычислить объем, необходимо возвести в куб ребро a или удвоенный радиус вписанной сферы. Таким образом, мы получим, что объем куба через радиус сферы, вписанной в него, равен кубу этого радиуса, умноженному на 8. V=a^3=8r^3

Периметр куба, как сумма длин всех ребер по одной стороне, равен произведению длины одного ребра и двенадцать. Периметр, выраженный через радиус вписанной окружности, равен 24 таким радиусам. P=12a=24r

Диагональ стороны куба, то есть диагональ квадрата, вычисляется как произведение ребра куба на корень из двух, в данном случае она будет выглядеть как произведение радиуса вписанной сферы на 2 корня из двух. d=a√2=2√2 r

Чтобы найти диагональ куба через радиус вписанной сферы, воспользуемся готовой формулой для диагонали куба через ребро и подставим вместо него удвоенный радиус. (рис.2.1.) D=a√3=2√3 r

Радиус окружности, описанной вокруг куба, равен половине диагонали, как видно из рисунка. Так как диагональ куба равна удвоенному произведению радиуса и корня из трех, то разделив это выражение на два, коэффициенты сократятся, и останется только радиус, умноженный на корень из трех. (рис.2.3.) R=D/2=(2√3 r)/2=√3 r

Что такое куб: определение, свойства, формулы

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA₁B₁B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

• a – ребро куба;
• d – диагональ куба или его грани.

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.

Формулы куба

Для расчёта всех основных параметров куба воспользуйтесь калькулятором.

Части куба, свойства, определения

— это часть плоскости, ограниченная сторонами квадрата

• У куба шесть граней
• Каждая грань куба пересекается с четырьмя другими гранями под прямым углом и параллельная противоположной грани
• Грани имеют одинаковую площадь, а так как являются квадратами, то формула площади грани S = a 2

— это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.

• У куба двенадцать рёбер
• Каждое ребро перпендикулярно по отношению к примыкающим рёбрам
• Все ребра куба имеет одинаковую длину

— это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба

• У куба три оси
• Оси куба взаимно перпендикулярны

— отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.

• куб имеет четыре диагонали;
• диагонали куба пересекаются под прямым углом и делятся пополам в центре куба;
• диагонали куба имеют одинаковую длину;

Формулы куба

Диагональ грани куба

• через длину ребра $$ V = a^3 $$
• через длину диагонали куба $$ V = > $$

Площадь поверхности куба

Вписанная и описанная сфера куба

Сфера, вписанная в куб

— это сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая касается центров граней куба.

Радиус вписанной сферы через длину ребра

Объем вписанной сферы через длину ребра

Сфера, описанная вокруг куба

— это сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая соприкасается с восьмью вершинами

Радиус описанной сферы через длину ребра

Объем сферы описанной вокруг куба V через длину ребра

Объём сферы (шара) через радиус, V_C

Площадь поверхности сферы (шара), S_C

Грань куба

— это часть плоскости, ограниченная сторонами квадрата

• У куба шесть граней
• Каждая грань куба пересекается с четырьмя другими гранями под прямым углом и параллельная противоположной грани
• Грани имеют одинаковую площадь, а так как являются квадратами, то формула площади грани S = a²

Ребро куба

— это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.

• У куба двенадцать рёбер
• Каждое ребро перпендикулярно по отношению к примыкающим рёбрам
• Все ребра куба имеет одинаковую длину

Ось куба

— это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба

• У куба три оси
• Оси куба взаимно перпендикулярны

Диагональ куба

— отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.

• куб имеет четыре диагонали;
• диагонали куба пересекаются под прямым углом и делятся пополам в центре куба;
• диагонали куба имеют одинаковую длину;

Сфера, вписанная в куб

— это сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая касается центров граней куба.

Радиус вписанной сферы через длину ребра

$$
R_В = {a over 2}
$$

Объем вписанной сферы через длину ребра

$$
V_В = {pi * a^3 over 6}
$$

Сфера, описанная вокруг куба

— это сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая соприкасается с восьмью вершинами

Радиус описанной сферы через длину ребра

$$
R_О = {a * sqrt{3} over 2}
$$

Объем сферы описанной вокруг куба V через длину ребра

$$
V_О = {pi * a^3 * sqrt{3} over 2}
$$

Объём сферы (шара) через радиус, V_C

$$
V_C = {4 over 3} * pi * R^3
$$

Площадь поверхности сферы (шара), S_C

$$
S_C = 4 * pi * R^2
$$

Правильные многогранники

Существует всего пять правильных многогранников:

• Тетраэдр
• Куб (Гексаэдр)
• Октаэдр
• Икосаэдр
• Додекаэдр

Если какое-то из этих названий звучит для тебя как древний эльфийский язык, обязательно прочитай эту статью!

Давай посмотрим, как они выглядят, и разберем основные формулы – площади поверхности, объема, радиусов вписанной и описанной сферы.

А также решим задачу №8.

О том, как рисовать пространственные фигуры на плоскости, можно прочитать в нашей статье: «Изображение пространственных фигур. Визуальный гид».

Поехали!

Правильные многогранники — подробнее

Многогранник называется правильным, если:

• он выпуклый;
• все его грани являются правильными многоугольниками;
• в каждой его вершине сходится одинаковое число его ребер.

Пять правильных многогранников

Тетраэдр

Тетраэдр состоит из четырёх равносторонних треугольников.

Фигура имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер(a).

Площадь поверхности тетраэдра:

( displaystyle S={{a}^{2}}sqrt{3})

Объем тетраэдра:

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{12}sqrt{2})

Радиус описанной вокруг тетраэдра сферы:

( displaystyle R=frac{a}{4}sqrt{6})

Радиус вписанной в тетраэдр сферы:

( displaystyle R=frac{a}{12}sqrt{6})

Куб (Гексаэдр)

Куб состоит из шести квадратов.

 Фигура имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности куба:

( displaystyle S=6{{a}^{2}})

Объем куба:

( displaystyle V={{a}^{3}})

Радиус описанной вокруг куба сферы:

( displaystyle R=frac{a}{2}sqrt{3})

Радиус вписанной в куб сферы:

( displaystyle r=frac{a}{2})

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

Фигура имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер (a).

Площадь поверхности октаэдра:

( displaystyle S=2{{a}^{2}}sqrt{3})

Объем октаэдра:

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{3}sqrt{2})

Радиус описанной вокруг октаэдра сферы:

( displaystyle R=frac{a}{2}sqrt{2})

Радиус вписанной в октаэдр сферы:

( displaystyle r=frac{a}{6}sqrt{6})

Икосаэдр

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

Фигура имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности икосаэдра:

( displaystyle S=5{{a}^{2}}sqrt{3})

Объем икосаэдра:

( displaystyle V=frac{5{{a}^{3}}}{12}left( 3+sqrt{5} right))

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

( displaystyle R=frac{a}{4}sqrt{2left( 5+sqrt{5} right)})

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

( displaystyle r=frac{a}{4sqrt{3}}left( 3+sqrt{5} right))

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Фигура имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер (a).

Площадь поверхности додекаэдра:

( displaystyle S=3{{a}^{2}}sqrt{5left( 5+2sqrt{5} right)})

Объем додекаэдра:

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{4}left( 15+7sqrt{5} right))

Радиус описанной вокруг додекаэдра сферы:

( displaystyle R=frac{a}{4}left( 1+sqrt{5} right)sqrt{3})

Радиус вписанной в додекаэдр сферы:

( displaystyle r=frac{a}{4}sqrt{10+frac{22}{sqrt{5}}})

Решение задачи №8 на тему «Правильные многогранники»

Задача:

В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) с ребром ( displaystyle sqrt{12}) найдите ( displaystyle A{{C}_{1}}).

Решение:

( displaystyle d=asqrt{3}),

где ( displaystyle d) – диагональ куба,( displaystyle a) – сторона куба.( displaystyle A{{C}_{1}}) – это и есть диагональ куба.

Тогда ( displaystyle A{{C}_{1}}=asqrt{3}=sqrt{12}cdot sqrt{3}=sqrt{36}=6).

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».