Правильный шестиугольник – это геометрическая фигура; правильный многоугольник с 6 равными углами и сторонами.
- Общая формула вычисления площади
- Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность
- Примеры задач
Общая формула вычисления площади
Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:
Формула получена следующим образом:
Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается так:
Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:
Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность
Сторона правильного шестиугольника равняется радиусу окружности, описанной вокруг него (a=r).
Это значит, что формула площади может быть представлена в таком виде (а заменяем на r):
Примеры задач
Задание 1
Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите его площадь.
Решение:
Используем первую формулу, в которой задействована длина стороны:
Задание 2
Вычислите площадь правильного шестиугольника, ели радиус описанной вокруг нее окружности равен 15 см.
Решение:
Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):
На этой странице вы найдете калькуляторы и формулы, которые помогут найти и рассчитать площадь правильного шестиугольника по стороне или радиусам вписанной и описанной окружностей.
Шестиугольник представляет собой многоугольник, к которого все внутренние углы равны 120 градусов, а все стороны равны между собой.
Содержание:
- калькулятор площади правильного шестиугольника
- формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
- формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
- формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
- формула площади правильного шестиугольника через периметр
- примеры задач
Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2}
a — длина стороны шестиугольника
Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
S = 2 sqrt{3}r^2
r — радиус вписанной окружности
Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
S = dfrac{3 sqrt{3} R^2}{2}
R — радиус описанной окружности
Формула площади правильного шестиугольника через периметр
S = dfrac{P^2 sqrt{3}}{24}
P — периметр шестиугольника
Примеры задач на нахождение площади правильного шестиугольника
Задача 1
Найдите площадь правильного шестиугольника, радиус вписанной окружности которого равен 9 см.
Решение
Исходя из того, что из условия задачи нам известен радиус вписанной окружности, мы воспользуемся формулой.
S = 2 sqrt{3}r^2 = 2 sqrt{3} cdot 9^2 = 2 sqrt{3} cdot 81 = 162 sqrt{3} : см^2 approx 280.59223 : см^2
Ответ: 162 sqrt{3} : см^2 approx 280.59223 : см^2
Проверить правильность решения нам поможет калькулятор .
Задача 2
Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной равной 1 см.
Решение
Для этой задачи нам подойдет формула.
S = dfrac{3 sqrt{3} a^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1^2}{2} = dfrac{3 sqrt{3} cdot 1}{2} = dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 approx 2.59808 : см^2
Ответ: dfrac{3 sqrt{3}}{2} : см^2 approx 2.59808 : см^2
Проверим ответ .
Как рассчитать площадь правильного шестиугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь правильного шестиугольника онлайн. Для расчета задайте длину стороны или радиус окружности.
Шестиугольник — многоугольник у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.
Через сторону
a:
Результат
Ответы:
Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через сторону:
a — сторона шестиугольника.
Через радиус описанной окружности
r:
Результат
Ответы:
Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
r — радиус описанной окружности.
Через радиус вписанной окружности
r:
Результат
Ответы:
Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
r — радиус вписанной окружности.
Калькулятор
Найти площадь правильного шестиугольника
На этой странице вы найдете калькуляторы и формулы, которые помогут найти и рассчитать площадь правильного шестиугольника по стороне или радиусам вписанной и описанной окружностей.
Шестиугольник представляет собой многоугольник, к которого все внутренние углы равны 120 градусов, а все стороны равны между собой.
Через сторону
Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через сторону:
cdot a^2><2>> , где a — сторона шестиугольника.
Через радиус вписанной окружности
Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
cdot r^2> , где r — радиус вписанной окружности.
Через радиус описанной окружности
Формула для нахождения площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
cdot R^2><2>> , где R — радиус описанной окружности.
Интересные факты
Форму правильного шестиугольника имеют пчелиные соты, сечение гаек и карандашей, кристаллическая решетка графита.
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Правильный шестиугольник – это геометрическая фигура; правильный многоугольник с 6 равными углами и сторонами.
Общая формула вычисления площади
Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:
Формула получена следующим образом:
Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается так:
Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:
Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность
Сторона правильного шестиугольника равняется радиусу окружности, описанной вокруг него (a=r).
Это значит, что формула площади может быть представлена в таком виде (а заменяем на r):
Примеры задач
Задание 1
Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите его площадь.
Решение:
Используем первую формулу, в которой задействована длина стороны:
Задание 2
Вычислите площадь правильного шестиугольника, ели радиус описанной вокруг нее окружности равен 15 см.
Решение:
Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):
Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь
Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.
Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.
Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.
Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?
Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников. 
Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .
Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.
, где — сторона правильного шестиугольника.
Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.
Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Радиус такой окружности равен .
. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/pravilnyj-shestiugolnik-i-ego-ploshhad/
Общая формула вычисления площади
Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:
Формула получена следующим образом:
Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается так:
Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:
Видео
От теории к практике
Свойства шестиугольника очень активно используются как в природе, так и в различных областях деятельности человека. В первую очередь это касается болтов и гаек — шляпки первых и вторые представляют собой ничто иное, как правильный шестигранник, если не брать в расчет фаски. Размер гаечных ключей соответствует диаметру вписанной окружности — то есть расстоянию между противоположными гранями.
Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:
Выпускается и бетонная плитка для мощения.
Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.
Презентация была опубликована 5 лет назад пользователемГригорий Оськин
Шестиугольные числа
В теории чисел существуют фигурные числа, связанные с определенными геометрическими фигурами. Наибольшее применение находят треугольные и квадратные, а также тетраэдрические и пирамидальные числа, используя которые легко выкладывать геометрические фигуры при помощи реальных предметов. Например, пирамидальные числа подскажут вам, как сложить пушечные ядра в устойчивую пирамиду. Существуют также и шестиугольные числа, которые определяют число точек, необходимое для построения гексагона.
Разбивка шестиугольника на другие фигуры
Многоугольники разбиваются на другие фигуры: трапеции, треугольники, прямоугольники. Пользуясь формулами вычисления площадей перечисленных фигур, требуемые значения вычисляются и складываются.
Неправильный шестиугольник может состоять из двух параллелограммов. Чтоб вычислить площадь параллелограмма, его длина умножается на его ширину, а далее уже известные две площади складываются.
Расчет
Требуемое значение можно вычислить, разбив фигуру на шесть треугольников с равными сторонами.
Чтоб рассчитать S , пользуются следующей формулой:
Вычислив S одного из треугольников, нетрудно определить и общую. Простая формула, так как правильный шестиугольник, по сути, является шестью равными треугольниками. Таким образом, для ее расчета найденную площадь одного треугольника умножают на 6.
Если от центра шестиугольника к любой его стороне провести перпендикуляр, получается отрезок – апофема.
Посмотрим, как находить S шестиугольника, если апофема известна:
- S =1/2×периметр×апофема.
- Возьмем апофему равную 5√3 см.
- Находим периметр, используя апофему: так как апофема перпендикулярно к стороне 6-угольника, углы треугольника, образованного с помощью апофемы, равняются 30˚-60˚-90˚. Каждая сторона треугольника соответствует: x-x√3-2x, где короткая, против угла 30˚,- это x; длинная сторона против угла 60˚- x√3, а гипотенуза — 2x.
- Апофему x√3 можно подставить в формулу a=x√3. Если апофема равна 5√3, подставив данную величину, получим: 5√3см=x√3, или x=5см.
- Короткая сторона треугольника составляет 5см, так как эта величина – половина длины стороны 6-угольника. Умножив 5 на 2, получим 10см, что есть значение длиной стороны.
- Полученную величину умножим на 6 и получим значение периметра – 60см.
Подставляем полученные результаты в формулу: S=1/2×периметр×апофема
S=½×60 см× 5√3
Считаем:
Упрощаем полученный ответ, чтоб избавиться от корней. Результат будет выражен в квадратных сантиметрах: ½×60см×5√3см=30×5√3см=150 √3см=259,8с м².
Примеры задач
Задание 1 Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите его площадь.
Решение: Используем первую формулу, в которой задействована длина стороны:
Задание 2 Вычислите площадь правильного шестиугольника, ели радиус описанной вокруг нее окружности равен 15 см.
Решение: Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):