Как найти площадь шестнадцатиугольника

Площадь правильного шестнадцатиугольника — это число, характеризующее правильный шестнадцатиугольник в единицах измерения площади.

Правильный шестнадцатиугольник — это шестнадцатиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=16;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/16;

P₁₆ — периметр правильного шестнадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S₁₆ — площадь правильного шестнадцатиугольника.

Формулы[править]

Применима формула для площади правильного n-угольника при n=16:

Используя значения тригонометрических функций углов для угла α=π/16:

где

Другие многоугольники[править]

• Площадь равностороннего треугольника;
• Площадь квадрата;
• Площадь правильного пятиугольника;
• Площадь правильного шестиугольника;
• Площадь правильного восьмиугольника;
• Площадь правильного десятиугольника;
• Площадь правильного двенадцатиугольника;
• Площадь правильного шестнадцатиугольника;
• Площадь правильного двадцатиугольника;
• Площадь правильного n-угольника.

Площадь правильного шестнадцатиугольника — это число, характеризующее шестнадцатиугольник в единицах измерения площади.

Правильный шестнадцатиугольник — это шестнадцатиугольник у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон, n=16;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α=π/16;

P₁₆ — периметр правильного шестнадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₁₆ — площадь правильного шестнадцатиугольника.

Формулы:

n=16:

α=π/16:

,

где

Другие многоугольники:

Ссылки

• Участник:Logic-samara

Правильный шестнадцатиугольник
Углы	16
Символ Шлефли	{16}, t{8}, tt{4}

Шестнадцатиугольник, гексадекагон ― многоугольник с 16 углами и 16 сторонами. Как правило, шестнадцатиугольником называют правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны и все углы равны. В случае шестнадцатиугольника углы равны 157°30′.

Правильный шестнадцатиугольник

Формулы

Площадь правильного шестнадцатиугольника со стороной a находится по формуле:

[math]displaystyle{ S = 4a^2 left(1+sqrt{2}+sqrt{ 4+2sqrt{2} }right) = 4a^2 cdot cot(tfrac{pi}{16}) approx 20,109358 ,a^2 }[/math]

Или, при радиусе описанной окружности R:

[math]displaystyle{ S = 4R^2sqrt{2-sqrt{2}} = 8R^2 cdot sin(tfrac{pi}{8}) approx 3,061467 ,R^2 }[/math]

Или, при радиусе вписанной окружности r:

[math]displaystyle{ S = 16r^2 cdot tan(tfrac{pi}{16}) approx 3,182598 ,r^2 }[/math]

Центральный угол правильного шестнадцатиугольника равен 22°30′.

Построение

Поскольку 16 ― это степень двойки, правильный шестнадцатиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля:^[1]

Разбиение

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный [math]displaystyle{ 2m }[/math]-угольник (в общем случае — [math]displaystyle{ 2m }[/math]-угольный зоногон) можно разбить на [math]displaystyle{ frac{m(m-1)}{2} }[/math] ромбов. Для шестнадцатиугольника [math]displaystyle{ m=8 }[/math], так что он может быть разбит на 28 ромбов.

Разбиение правильного шестнадцатиугольника

Неправильные шестнадцатиугольники

Неправильным шестнадцатиугольником является октаграмма:

Шестнадцатиугольники в искусстве

В начале XVI века Рафаэль Санти впервые построил перспективное изображение правильного шестнадцатиугольника: башня на его картине «Обручение Девы Марии» имеет 16 сторон.^[2]

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hexadecagon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Вы перешли к вопросу Как найти площадь правильного шестнадцатиугольника?. Он относится к категории Геометрия,
для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот
вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического
умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории
Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном
объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части
сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете
ознакомиться с вариантами ответов пользователей.