Как найти площадь тени на полу

К потолку комнаты высотой 4 м прикреплена небольшая светящаяся лампочка. На высоте 2 м от пола параллельно полу расположен непрозрачный квадрат со стороной 2 м. Лампочка и центр квадрата лежат на одной вертикали. Определите площадь тени на полу.

📜Теория для решения:
Cвет. Скорость света. Элементы теории относительности.

Посмотреть решение

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Сделаем рисунок. Так как препятствие квадратное, оно располагается параллельно полу, а его центр лежит на одной вертикали с точечным источником света, можем построить рисунок, наблюдая картину с одной стороны квадратного препятствия. В этом случае OE соответствует высоте потолка, EB — расстоянию от пола до препятствия, а AC — стороне квадратного препятствия. При этом тень будет иметь форму квадрата. Поэтому для нахождения ее площади достаточно найти сторону этого квадрата — DF.

Треугольники OBC и OEF являются подобными по трем углам. Угол O у них общий. Углы B и E — прямые (так как они образованы при пересечении вертикалью двух параллельных плоскостей). А углы C и F равны как углы при параллельных прямых и секущей.

Следовательно, OB относится к OE так же, как BC относится к EF. Причем EF — половина стороны квадрата тени, поскольку треугольник DOF — равнобедренный. Это следует из того, что перпендикуляр, проведенный к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является его биссектрисой и медианой. Следовательно, отрезок OE делит на 2 равные части DF.

Отсюда:

OBOE=BCEF

Умножим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения и получим:

OBOE=2BC2EF=ACDF

Причем OB можно вычислить как разность высоты потолка и расстояния от препятствия до пола:

OB=OE−BE

Получаем:

DF=OE·ACH−h=aHH−h=2·44−2=4 (м)

Это сторона квадрата тени. Чтобы найти площадь тени, нужно возвести эту величину в квадрат:

S=DF2=42=16 (м2)

Ответ: 16