Как найти площадь тетраэдра через высоту - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Данный сайт находится в режиме тестирования, обо всех выявленных проблемах Вы можете сообщить на почту

Формулы тетраэдра

Для расчёта всех основных параметров тетраэдра воспользуйтесь калькулятором.

Свойства тетраэдра

Параллельные плоскости, которые проходят через два скрещивающихся ребра, образуют описанный параллелепипед
Отличительным свойством тетраэдра является то, что медианы и бимедианы фигуры встречаются в одной точке. Важно, что последняя делит медианы в отношении 3:1, а бимедианы — пополам
Плоскость разделяет тетраэдр на две равные по объему части, если проходит через середину двух скрещивающихся ребер

Виды тетраэдров

Правильный тетраэдр — это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.
У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину
Равногранный тетраэдр — это такой тетраэдр, у которого все грани треугольники равны
Ортоцентрический тетраэдр — это такой тетраэдр, у которого каждая высота, опущенная из вершины на противоположную грань, пересекается с остальными высотами в одной точке
Прямоугольный тетраэдр — это такой тетраэдр, у которого каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине
Каркасный тетраэдр — это такой тетраэдр, который соответствует следующим условиям:
- есть сфера, которая касается каждого ребра
- суммы длин ребер, что скрещиваются равны
- суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны
- окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются
- каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра — описанный
- перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке
Инцентрический тетраэдр — это такой тетраэдр, у которого отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке

Формула высоты тетраэдра

$$
AO = {sqrt{2 over 3}} * a
$$

Формула объёма тетраэдра

$$
V = {sqrt{2} over 12} * a^3
$$

Основные формулы для правильного тетраэдра

Формула площади
$$
S = a^2 * sqrt{3}
$$
Радиус вписанной сферы, R_впис
$$
R_{впис} = a * {sqrt{6} over 12}
$$
Радиус описанной сферы, R_опис
$$
R_{опис} = a * {sqrt{6} over 4}
$$

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение и разновидности тетраэдра, а также формулы для расчета площади его поверхности (одной грани и полной) и объема. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение тетраэдра
Виды тетраэдра
Формулы площади и объема правильного тетраэдра

Определение тетраэдра

Тетраэдр – это разновидность пирамиды; четырехгранник, гранями которого являются треугольники.

Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.

Развертка тетраэдра на примере правильной фигуры представлена ниже:

Основные элементы и свойства тетраэдра (к нему применимы свойства правильной пирамиды) мы рассмотрели в отдельной публикации.

Виды тетраэдра

Равногранный тетраэдр – боковые грани фигуры равны, а основанием является правильный (равносторонний) треугольник.
Прямоугольный тетраэдр – угол между всеми тремя ребрами при одной вершине является прямым, т.е. равным 90°.
Правильный тетраэдр – все ребра равны, а грани, соответственно, являются равносторонними треугольниками.
Ортоцентричный тетраэдр – все высоты, проведенные из всех вершин фигуры к противолежащим граням, пересекаются в одной точке.

Формулы площади и объема правильного тетраэдра

Площадь поверхности

Объем

Источник

Зная площадь полной поверхности тетраэдра, можно сначала вычислить площадь одной грани, а затем ребро тетраэдра, через которое впоследствии легко найти все остальные значения параметров пирамиды. Площадь одной грани тетраэдра будет в четыре раза меньше площади полной поверхности.
S_1=S_(п.п.)/4
a=√(S_(п.п.)/√3)
P=6a=6√(S_(п.п.)/√3)=2√(3√3 S_(п.п.) )

Вычислив ребро через площадь тетраэдра, можно найти радиусы вписанной и описанной окружностей около грани тетраэдра, а затем через них рассчитать высоту и апофему тетраэдра. (рис. 60.1)
r=a/(2√3)=1/2 √(S_(п.п.)/(3√3))
R=a/√3=√(S_(п.п.)/(3√3))
h=√(2/3) a=√((2S_(п.п.))/(3√3))
l=(√3 a)/2=√(√3 S_(п.п.) )/2

Объем тетраэдра вычисляется как ребро в третьей степени, деленное на шесть корней из двух, а формула объема тетраэдра через площадь выглядит как
V=a^3/(6√2)=1/6 √(〖S_(п.п.)〗^3/(6√3))

Чтобы вычислить радиусы сфер вписанной и описанной около тетраэдра через площадь тетраэдра необходимо аналогично произвести алгебраические преобразования формул, чтобы получить следующий их вид. (рис.60.2, 60.3)
r_1=a/(2√6)=1/6 √(S_(п.п.)/√2)
R_1=(√3 a)/(2√2)=1/2 √(S_(п.п.)/√2)

Источник

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√».

Теория

(теоретические сведения см. также в уроке «Правильный тетраэдр»)

Правильный тетраэдр — это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице.

Где:

S — Площадь поверхности правильного тетраэдра

V — объем

h — высота, опущенная на основание

r — радиус вписанной в тетраэдр окружности

R — радиус описанной окружности

a — длина ребра

Практические примеры

Задача.

Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение.

Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны — она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a²√3 .

Тогда

S = 3√3

Ответ: 3√3

Задача.

Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение.

Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a

AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO² + OM² = AM²

OM² = AM² — AO²

OM² = 4² — ( 4√3 / 3 )²

OM² = 16 — 16/3

OM = √(32/3)

OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh

При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a²

V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 )

V = 16√2 / 3

Ответ: 16√2 / 3 см

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды |

Описание курса

| Пирамида и вписанный конус

Источник

При помощи нашего калькулятора вы легко сможете узнать площадь поверхности тетраэдра.

Для того что бы вычислить площадь поверхности тетраэдра необходимо знать длину его ребера a. Если нам известна указанная величина, для нас не составит труда вычислить площадь поверхности.
Площадь поверхности тетраэдра рассчитывается по следующей формуле:

√

3*a²

Где S – площадь поверхности, a – длина ребра тетраэдра.

Источник