Как найти площадь трапеции по двум треугольниками - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}

Площадь трапеции можно найти множеством способов. Для вас мы собрали все возможные варианты нахождения площади. Для вашего удобства для каждой формулы создан калькулятор, который поможет рассчитать площадь трапеции по известным данным. От вас требуется только подставить значения и в режиме онлайн мгновенно получить ответ. Формулы и калькуляторы сгруппированы по типам трапеций — обычная, равнобедренная (равнобокая).

Калькулятор площади трапеции
Площадь трапеции
1. через основания и высоту
2. через среднюю линию и высоту
3. через диагонали и среднюю линию
4. через 4 стороны
5. через диагонали и угол между ними
6. через основания и углы при основании
7. через площади треугольников
8. через диагонали и высоту
9. через радиус вписанной окружности и основания
10. через перпендикулярные диагонали
Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции
1. через основания и высоту
2. через 3 стороны (формула Брахмагупты)
3. через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
4. через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
5. через основания и угол
6. через диагонали и угол между ними
7. через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию
8. через радиус вписанной окружности и угол при основании
Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность
1. через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании
2. через основания и угол при основании
3. через основания и радиус вписанной окружности
4. через основания
5. через основания и боковую сторону
6. через основания и среднюю линию
Примеры задач

Площадь трапеции

Трапеция — выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Площадь трапеции через основания и высоту

{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}

a и b — основания трапеции

h — высота, проведенная к основанию

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

{S = m cdot h}

m — средняя линия трапеции

h — высота трапеции

Площадь трапеции через диагонали и среднюю линию

{S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)}}
{p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2}}

d₁ и d₂ — диагонали трапеции

m — средняя линия трапеции

Площадь трапеции через 4 стороны

{S = dfrac{a+b}{2} sqrt{c^2 — {Big( dfrac{(a-b)^2 + c^2 — d^2}{2(a-b)} Big)}^2}}

a, b, c и d — стороны трапеции

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(alpha); S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(beta)}

d₁ и d₂ — диагонали трапеции

α или β — угол между диагоналями трапеции

Площадь трапеции через основания и углы при основании

{S = dfrac{b^2 — a^2}{2} cdot dfrac{sin(alpha) cdot sin(beta)}{sin(alpha + beta)}}

a и b — основания трапеции

α или β — прилежащие к основанию трапеции углы

Площадь трапеции через площади треугольников

{S = (sqrt{S_1} + sqrt{S_2})^2}

S₁ и S₂ — площади образованных пересечением диагоналей трапеции треугольников

Площадь трапеции через диагонали и высоту

{S = dfrac{sqrt{{d_2}^2-h^2}+sqrt{{d_1}^2-h^2}}{2} cdot h}

d₁ и d₂ — диагонали трапеции

h — высота трапеции

Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания

{S = (a+b)cdot r}

a и b — основания трапеции

r — радиус вписанной в трапецию окружности

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2}

d₁ и d₂ — перпендикулярные диагонали трапеции

Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Площадь равнобедренной трапеции через основания и высоту

{S = dfrac{a+b}{2} cdot h}

a и b — основания равнобедренной трапеции

h — высота, проведенная к основанию равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты)

{S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2}}
{p = dfrac{a+b+2c}{2}}

a и b — основания равнобедренной трапеции

c — боковая сторона равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S = c cdot sin(alpha) cdot (a+c cdot cos(alpha))}

a — верхнее основание равнобедренной трапеции

c — боковая сторона равнобедренной трапеции

α — прилежащие к нижнему основанию трапеции углы

Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании

{S = c cdot sin(alpha) cdot (b-c cdot cos(alpha))}

b — нижнее основание равнобедренной трапеции

c — боковая сторона равнобедренной трапеции

α — прилежащий к нижнему основанию трапеции угол

Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол

{S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha)}

a и b — основания равнобедренной трапеции

α — прилежащий к основанию трапеции угол

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

{S = dfrac{1}{2}d^2 cdot sin(alpha)}

a — диагональ равнобедренной трапеции

α — угол между диагоналями равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию

{S = m cdot c cdot sin(alpha)}

m — средняя линия равнобедренной трапеции

c — боковая сторона равнобедренной трапеции

α — угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании

{S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}}

r — радиус вписанной окружности

α — угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны.

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании

{S = dfrac{h^2}{sin(alpha)}}

h — высота равнобедренной трапеции

α — угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и угол при основании

{S = dfrac{a cdot b}{sin(alpha)}}

a и b — основания равнобедренной трапеции

α — угол при основании равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и радиус вписанной окружности

{S = r(a+b); r=dfrac{sqrt{a cdot b}}{2}}

a и b — основания равнобедренной трапеции

r — радиус вписанной окружности

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания

{S = sqrt{a cdot b} cdot dfrac{a+b}{2}}

a и b — основания равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и боковую сторону

{S = c cdot sqrt{a cdot b}}

a и b — основания равнобедренной трапеции

c — боковая сторона равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и среднюю линию

{S = m cdot sqrt{a cdot b}}

a и b — основания равнобедренной трапеции

m — средняя линия равнобедренной трапеции

Примеры задач на нахождение площади трапеции

Задача 1

Найдите площадь трапеции, если основания равны 6см и 9 см, а высота трапеции равна 5 см.

Решение

Для решения задачи воспользуемся первой формулой.

S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h = dfrac{1}{2} (6 + 9) cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 75 = 37dfrac{1}{2} : см^2

Ответ: 37.5 см²

Полученный ответ легко проверить с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь трапеции средняя линия которой равна 18 см, а высота 9 см.

Решение

С решением этой задачи нам поможет вторая формула.

S = m cdot h = 18 cdot 9 = 162 : см^2

Ответ: 162 см²

Воспользуемся калькулятором для проверки результата.

Задача 3

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.

Решение

Для решения этой задачи нам поможет третья формула.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{10+8+2 cdot 3}{2} = dfrac{10+8+6}{2} = dfrac{24}{2} = 12

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-10)(12-8)(12-2 cdot 3)} = sqrt{12 cdot 2 cdot 4 cdot 6} = sqrt{576} = 24 : см^2

Ответ: 24 см²

Осталось проверить полученный ответ.

Задача 4

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.

Решение

Задача похожа на ту, что мы только что решили. Поэтому повторим шаги.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{17+15+ 2 cdot 4}{2} = dfrac{17+15+8}{2} = dfrac{40}{2} = 20

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{20(20-17)(20-15)(20-2 cdot 4)} = sqrt{20 cdot 3 cdot 5 cdot 12} = sqrt{3600} = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 8 и 6 а средняя линия равна 5.

Решение

Еще одна типовая задача. Повторим действия как в задачах выше.

На первом этапе вычислим p:

p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{8+6+ 2 cdot 5}{2} = dfrac{8+6+10}{2} = dfrac{24}{2} = 12

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-8)(12-6)(12-2 cdot 5)} = sqrt{12 cdot 4 cdot 6 cdot 2} = sqrt{576} = 24 : см^2

Ответ: 24 см²

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренной трапеции если её основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.

Решение

Для решения этой задачи используем формулу Брахмагупты.

Сначала вычислим p:

p = dfrac{a+b+2c}{2} = dfrac{5+17+2 cdot 10}{2} = dfrac{22+20}{2} = dfrac{42}{2} = 21

А теперь можно вычислить площадь трапеции:

S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2} = sqrt{(21-5)(21-17)(21-10)^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 11^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 121} = sqrt{7744}= 88 : см^2

Ответ: 88 см²

Проверка .

Задача 7

Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а основания равны 8 и 6 см. Найдите площадь трапеции.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha) = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°)

Тангенс 45° = 1, продолжим вычисления:

S = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°) = dfrac{1}{2}(64-36) cdot 1 = dfrac{1}{2} cdot 28 = 14 : см^2

Ответ: 14 см²

Убедиться в правильности решения нам поможет калькулятор .

Источник

Как найти площадь обычной и равнобедренной трапеции

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. В этой статье мы расскажем, как посчитать площадь трапеции. Эту тему подробно изучают в школе в 8-м классе.

Но в классической программе учителя дают далеко не все формулы, с помощью которых можно вычислить нужное значение. И ограничиваются, как правило, одной или двумя.

Мы же дадим максимально развернутый ответ на этот вопрос. Ведь трапеция – это весьма примечательная и сложная фигура в геометрии. А соответственно, и формулы для вычисления ее площади отличаются определенной сложностью и громоздкостью.

Тут нет банальных «перемножить длины сторон», как у площади прямоугольника. Все гораздо мудреней.

Что такое трапеция

Но для начала будет нелишним напомнить, что из себя представляет эта геометрическая фигура.

Трапеция – это геометрическая фигура, которая является четырехугольником, и у которой две противоположные стороны параллельны.

Последнее утверждение очень важное. ТОЛЬКО ДВЕ противоположные стороны параллельны у трапеции. Ведь если бы обе пары лежали на параллельных прямых, то это был бы уже параллелограмм.

Вот так выглядит трапеция:

А вот так параллелограмм:

Кстати, именно по этому принципу древний математик Евклид и разделил все четырехугольники на две большие категории.

Именно он впервые описал разные геометрические фигуры, в том числе трапеции и параллелограммы. И все свои соображения подробно изложил в книге «Начала», которая датируется 300 годом до нашей эры.

Раз уж мы решили вычислять эту величину, напомним, что она обозначает.

Площадь – это численное значение геометрической фигуры, нарисованной в двухмерном (плоском) пространстве. А проще говоря, это пространство, которое ограничено границами фигуры, и находится как бы внутри нее.

В нашем случае – это область, закрашенная синим цветом:

Кстати, в древности вместо этого термина говорили «квадратура». Считалось, что любую фигуру можно разбить на равные квадраты со стороной «один». Частично это понятие докатилось и до наших дней.

Ведь именно в «квадратных метрах» мы измеряем площадь комнаты/квартиры/дачи/офиса. И в «квадратных километрах» частенько озвучивают размер какой-то территории. Например, когда в телевизионных новостях говорят о масштабах лесных пожаров или наводнений.

Главная формула для вычисления площади трапеции

Та формула, которую изучают в школе, основана на вычислении площади трапеции по длине ее оснований и высоте.

Основания трапеции – это стороны, которые лежат на параллельных прямых. Другая пара сторон называется боковыми.

Высота – это отрезок, проведенный из вершины любого угла к противоположному основанию под углом 90 градусов.

То есть мы имеем вот такие исходные данные:

Здесь «a» и «b» являются основаниями, а «h» — высотой.

И тогда формула для вычисления площади выглядит вот так:

Например, если длины сторон и высота равны:

a = 7 см
b = 3 см
h = 5 см

то площадь такой трапеции будет равна:

Опять же заметьте, если стороны и высота у трапеции обозначались в сантиметрах, то площадь будет измеряться в квадратных сантиметрах (то самое понятие «квадратуры», о котором мы писали выше).

То же самое – миллиметры/квадратные миллиметры, метры/квадратные метры, километры/квадратные километры и так далее.

Формулы площади для равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция – та, у которой боковые стороны равны. А соответственно, они еще и соприкасаются с основаниями под одинаковыми углами.

Это частный случай, и для него верны все перечисленные формулы. Но с учетом равенства сторон и углов формулы заметно упрощаются.

По четырем сторонам

По малому основанию, боковой стороне и углу у большого основания

По большому основанию, углу при нем и боковой стороне

По основаниям и углам

Как видите, формулы громоздкие и весьма сложные сами по себе. Без калькулятора здесь точно не обойтись. С другой стороны, они крайне редко применяются. И служат скорее дополнительными средствами.

Доказательство теоремы о площади трапеции

Любая формула в геометрии требует доказательства. И в нашем случае, формулы вычисления площади трапеции также доказывают во время уроков.

Возьмем для примера трапецию:

В ней AD и BC – основания, BH – высота. Нам надо доказать, что:

Доказательство строится на том, что если провести диагональ BD, то она разделит нашу трапецию на два треугольника. Это будут треугольники ABD и BCD.

И чтобы получить площадь нашей трапеции, нужно посчитать отдельно площади этих треугольников и сложить их.

А как вычислять площадь треугольника, мы уже знаем (или должны знать, согласно школьному курсу). Надо перемножить длину его основания и высоту и поделить на два.

У треугольника ABD высота – это BH. А у треугольника BCD в силу его выпуклости нам пришлось продлить зрительно основание BC, чтобы получить высоту DH1.

И получается:

Но в случае с трапецией высоты равны, то есть BH = DH1. И тогда формулу площади для второго треугольника можно заменить на:

И наконец, с учетом всего вышесказанного начинаем вычислять площадь нашей трапеции. Она равна:

Как часто говориться на уроках геометрии – что и требовалось доказать!

Извиняемся за столь подробное описание доказательства. Но, во-первых, это требуется в рамках школьной программы. А во-вторых, всегда ведь интересно докопаться до самой сути и понять, как и почему именно так что-то устроено.

Как еще можно ее найти (другие формулы)

На этот раз мы уже не будем приводить подробные доказательства каждой из формул. Иначе это займет слишком много времени и места. Просто поверьте, все они правильные и по ним можно вычислить площадь трапеции.

По высоте и средней линии

Средняя линия – это та, которая делит боковые стороны трапеции на две равные части. Формула площади выглядит совсем просто:

По четырем сторонам

Тут формула гораздо сложнее:

Площадь трапеции через диагонали

По основанию и углам при нем

Вот и все, что мы хотели рассказать о том, как вычислять площадь трапеции.

Источник

На чтение 9 мин. Просмотров 4.5k.

Формулы для вычисления площади всех видов трапеции, онлайн калькуляторы для расчета. Вывод основной формулы и примеры применения формул в задачах. Удобный справочный материал с подробными объяснениями.

Чему равна площадь трапеции? Трапеция это важная и часто исследуемая геометрическая фигура в курсе геометрии, начиная с 7 класса. В процессе обучения школьники учатся решать задачи по геометрии на нахождение боковых сторон и оснований трапеции, углов и средней линии. Важно уметь находить периметр и площадь трапеции. Рассмотрим чему равна площадь трапеции и решим несколько задач на нахождение площади трапеции.

Как найти площадь произвольной трапеции
- Доказательство 1
- Доказательство 2
Примеры решения задач
- Задача 1
- Задача 2
Формулы площади трапеции для всех трапеций
По высоте и основаниям
- По высоте и средней линии
- По известным четырем сторонам
- По известным основаниям и углам при основании
- По двум диагоналям и углу между ними
- Площадь прямоугольной трапеции
- Площадь равнобедренной трапеции
Таблица формул для определения площади трапеции

Как найти площадь произвольной трапеции

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна произведению полусуммы её оснований на высоту трапеции.

$S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot (BC+AD) cdot BH$

Трапеция ABCD

Единицей измерения площади является квадратная единица длины: м², см², кв.ед., км².

Докажем, что данная формула верна для любой трапеции.

Доказательство 1

Пусть нам дана трапеция , проведем из вершины высоту трапеции на сторону .

Продлим сторону на длину основания получим точку . Продлим сторону трапеции на длину стороны . Получим точку .

Соединим точки и . Трапеция равна трапеции по построению.

Полученный в результате построения четырехугольник — параллелограмм, площадь которого равна двум площадям трапеции :

$S_{ABA_1B_1}=AB_1 cdot BH$

Отсюда площадь трапеции

$S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot AB_1 cdot BHAB_1 cdot BH=frac{1}{2} cdot (AD+DB_1) cdot BH$

так как , то получим:

$S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot (AD+BC) cdot BH$ .

Таким образом, $S=frac{1}{2 }(a+b)h$ .

Что и требовалось доказать.

Доказательство 2

Достроим трапецию ABCD до прямоугольника, получим прямоугольник .

Площадь трапеции можно получить, если вычесть из площади прямоугольника площади достроенных треугольников.

Построение прямоугольника из трапеции для доказательства

Находим $S_{ABCD}=hb-(S_1+S_2)=hb-frac{1}{2}(hm+hn)=hb-frac{1}{2}h(m+n)=hb-frac{1}{2}h(b-a)=hb-frac{1}{2}hb+frac{1}{2}ha=frac{1}{2}h(b+a)$ .

Можно еще привести множество доказательств правильности формулы для площади трапеции, но двух уже достаточно.

Давайте теперь решим несколько задач на нахождение площади трапеции.

Как найти площадь равнобедренной трапеции? Точно также как и площадь любой другой трапеции. Формула одна и та же.

Примеры решения задач

Решим задачи, в которых нужно узнать площадь трапеции.

Задача 1

Вычислить площадь четырехугольника $S_{ABCD}$ , если известно, что , и боковая сторона перпендикулярна к , а .

Решение.

По последнему условию боковая сторона является высотой трапеции.

Рисунок к задаче 1

Тогда $S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot 5 cdot (5+7)=30$ .

Ответ: 30.

Задача 2

Дана трапеция . Известно, что см, , см, а ∠=30°. Найти $S_{ABCD}$ .

Рисунок к задаче 2 площадь трапеции

Решение:

Для определения площади нам потребуется знать высоту . Определим ее из прямоугольного треугольника . Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы, а, следовательно, см.

Определим . Так как , то получим: см.

Тогда $S_{ABCD}=frac{1}{2} cdot h (AD+BC)=frac{1}{2} cdot 1,5 (8+4)=9$ см.

Ответ: 9 см.

Формулы площади трапеции для всех трапеций

Ниже приведем все формулы для определения площади трапеции, которые можно использовать. Однако, многие из них выводятся из основной, приведенной выше и редко используются как самостоятельные. Запоминать их нет необходимости, так как их всегда можно вывести. Однако, если вам дана задача с исходными данными и нужно проверить правильность ее решения, именно с исходными данными (например, даны только длины всех сторон трапеции, а нужно найти ее площадь), то используйте наши онлайн-калькуляторы.

По высоте и основаниям

Проверьте вычисления, используя наш онлайн калькулятор. Десятичные дроби вводите через точку. Ориентируйтесь на обозначения на рисунке.

Введите длину нижнего основания трапеции (на рисунке ) :

Введите длину верхнего основания трапеции (на рисунке ) :

Введите значение высоты трапеции h :

Площадь трапеции $S_{ABCD}=frac{1}{2}h(AD+BC)=$

По высоте и средней линии

Если дана высота и средняя линяя трапеции, то ее площадь можно найти по формуле:

где — средняя линия трапеции,

— высота.

Введите высоту трапеции :

Введите длину средней линии :

Площадь трапеции $S_{ABCD}=hm=$

По известным четырем сторонам

Если известны стороны трапеции , , , , то формула площади:

$S=displaystyle frac{a+b}{2}sqrt{c^2-left(frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}right)^2}$

Вы можете воспользоваться онлайн калькулятором:

Введите сторону :

Площадь трапеции $S_{ABCD}=displaystyle frac{a+b}{2}sqrt{c^2-left(frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}right)^2}=$

По известным основаниям и углам при основании

Если известны стороны трапеции , и углы при основании, то формула площади:

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha} cdot sin{beta}}{sin{(alpha+beta)}}$

Вы можете воспользоваться онлайн калькулятором:

Введите сторону :

Введите угол (в градусах) :

Введите угол (в градусах ):

Площадь трапеции $S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha} cdot sin{beta}}{sin{(alpha+beta)}}=$

По двум диагоналям и углу между ними

Если известны диагонали трапеции , и угол между ними, то формула площади трапеции:

$S=displaystyle frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2 cdot sin{alpha}$

Если вам известны эти величины, то можно быстро найти площадь, используя наш калькулятор онлайн:

Введите диагональ :

Введите угол (в градусах) :

Площадь трапеции $S=displaystyle displaystyle frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2 cdot sin{alpha}=$

Площадь прямоугольной трапеции

Если известны основания прямоугольной трапеции , и угол у большего основания, то формула площади трапеции:

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2} tg alpha$

Вывод формулы: действительно, для произвольной неравнобедренной и не прямоугольной трапеции площадь по известным основаниям и углам при основании определяется по формуле:

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha} cdot sin{beta}}{sin{(alpha+beta)}}$ .

Если угол при основании равен 90 градусов (для прямоугольной трапеции) (пусть это угол ) то получим

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha}}{sin{(alpha+frac{pi}{2})}}$ .

По формулам приведения $sin{(alpha}+frac{pi}{2})}=cos{alpha}$

Тогда формула примет вид:

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha}}{cos{alpha}}$ , так как $displaystyle frac{sin alpha}{cos{alpha}}=tg alpha$ , то окончательно получается:

$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot tg alpha$

Если вам известны эти величины, то можно быстро найти площадь, используя наш калькулятор онлайн:

Сторона :

Введите угол (в градусах) :

Площадь трапеции $S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2} tg alpha=$

Площадь равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции можно найти по любой из вышеприведенных формул, кроме формулы для прямоугольной трапеции, если ввести одинаковые значения для боковых сторон.

Например, формула нахождения площади по известным сторонам, упростится и будет иметь вид:

$displaystyle S=frac{1}{2}(a+b) cdot sqrt{c^2-left( frac{a-b}{2}right)^2}$

Сторона :

Площадь трапеции $displaystyle S=frac{1}{2}(a+b) cdot sqrt{c^2-left( frac{a-b}{2}right)^2}=$

Таблица формул для определения площади трапеции

Сведем для удобства все формулы в таблицу. Если вам дана прямоугольная или равнобедренная трапеция, вы всегда можете определить ее площадь по любой из формул для неравнобедренной (произвольной) трапеции, просто введите одинаковые значения для боковой стороны.

Известные величины для расчета	Рисунок	Формула
Высота и основания		$S_{ABCD}=frac{1}{2}h(AD+BC)$
Высота и средняя линия
Все стороны		$S=displaystyle frac{a+b}{2}sqrt{c^2-left(frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2(b-a)}right)^2}$
Основания и углы при основании		$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2}cdot frac{sin{alpha} cdot sin{beta}}{sin{(alpha+beta)}}$
Две диагонали и угол между ними		$S=displaystyle frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2 cdot sin{alpha}$
Угол при основании 90° (случай прямоугольной трапеции), известен другой угол при основании и основания		$S=displaystyle frac{b^2-a^2}{2} tg alpha$
Боковые стороны равны (случай равнобедренной трапеции), известны стороны		$displaystyle S=frac{1}{2}(a+b) cdot sqrt{c^2-left( frac{a-b}{2}right)^2}$

Источник

Как рассчитать площадь трапеции

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь трапеции онлайн. Для расчета задайте высоту и длуну основания трапеции.

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции), а две другие — непараллельны (боковые стороны трапеции). Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Через основания и высоту
Через среднюю линию и высоту
Через четыре стороны
Через диагонали и угол между ними
Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основаниии
Через радиус вписанной окружности

Через основания и высоту

Формула для нахождения площади трапеции через основания и высоту:

a,b — основания трапеции; h — высота трапеции.

Через среднюю линию и высоту

Формула для нахождения площади трапеции через основания и среднюю линию:

m — средняя линия; h — высота трапеции.

Через четыре стороны

Формула для нахождения площади трапеции через основания и среднюю линию:

a — нижнее основание; b — верхнее основание; c, d — боковые стороны.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади трапеции через диагонали и угол между ними:

d₁, d₂ — диагонали трапеции; α — угол между диагоналями.

Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основаниии

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

m — средняя линия трапеции; c — боковая сторона трапеции; α — угол при основании.

Через радиус вписанной окружности

Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной оккужности:

r — радиус окружности; α — угол при основании.

Источник

Загрузить PDF

Трапеция является четырехугольником, у которого две параллельные стороны (основания) имеют разную длину. Формула для вычисления площади трапеции: S = ½(b₁+b₂)h, где b₁ и b₂ — основания, h — высота трапеции. Если известны только боковые стороны правильной трапеции, ее можно разбить на ряд простых фигур, чтобы найти высоту, а затем вычислить площадь.

1
Сложите основания. Основания — это две стороны трапеции, которые параллельны друг другу. Если значения оснований не даны, измерьте их линейкой, а затем сложите полученные значения.^[1]
- Например, если верхнее основание (b₁) равно 8 см, а нижнее (b₂) — 13 см, сумма оснований b = b₁ + b₂ = 8 + 13 = 21 см.
2
Измерьте высоту трапеции. Высота трапеции — это расстояние между параллельными основаниями. Проведите перпендикуляр к основаниям, а затем с помощью линейки измерьте его и запишите найденное значение.^[2]
- Помните, что высота не равна боковым сторонам трапеции. Высота равна боковой стороне трапеции, только если эта сторона перпендикулярна основаниям.
3
Перемножьте сумму оснований и высоту. То есть умножьте значение «b» на значение «h». Результат запишите в квадратных единицах измерения.^[3]
- В нашем примере: 21 x 8 = 147 см².
4
Разделите найденное значение на 2, чтобы найти площадь трапеции. Также найденное значение можно умножить на ½. Результат запишите в квадратных единицах измерения.^[4]
- В нашем примере: S = 147/2 = 73,5 см².
Реклама

1
Разбейте трапецию на 1 прямоугольник и 2 прямоугольных треугольника. Проведите два перпендикуляра из вершин трапеции на нижнее основание. Так вы получите 1 прямоугольник (посередине) и 2 прямоугольных равных треугольника (по бокам).^[5]
- Этот метод можно применить только к правильной трапеции.
2
Найдите основание прямоугольного треугольника. Для этого сначала вычтите верхнее основание из нижнего основания. Теперь найденное значение разделите на 2, чтобы вычислить основание треугольника. На данном этапе вам известны основание и гипотенуза треугольника.^[6]
- Например, если верхнее основание (b₁) трапеции равно 6 см, а нижнее основание (b₂) равно 12 см, основание треугольника равно 3 см (потому что b = (b₂ — b₁)/2 = (12 — 6)/2 = 3 см).
3
Найдите высоту трапеции по теореме Пифагора. Для этого подставьте значения основания и гипотенузы треугольника в формулу A² + B² = C², где A — основание, C — гипотенуза. Найдите значение B, то есть высоту трапеции. Если основание треугольника равно 3 см, а гипотенуза равна 5 см:^[7]
- Подставьте значения: 3² + B² = 5²
- Возведите в квадрат: 9 + B² = 25
- Вычтите 9 из каждой стороны уравнения: B² = 16
- Извлеките квадратный корень из каждой стороны уравнения: B = 4 см
Подсказка: если в уравнении нет идеального квадрата, упростите ответ и оставьте квадратный корень. Например, √32 = √(16)(2) = 4√2.
4
Подставьте значения оснований и высоты в формулу для вычисления площади трапеции. Формула: S = ½(b₁ + b₂)h. Результат запишите в квадратных единицах измерения.^[8]
- Запишите формулу: S = ½(b₁ + b₂)h
- Подставьте значения: S = (6 + 12)(4)
- Упростите выражение и перемножьте числа: S = ½(18)(4)
- Ответ: S = 36 см².
Реклама

Советы

Если вам известна медиана трапеции (отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции и параллелен основаниям трапеции), умножьте ее на высоту, чтобы найти площадь.^[9]

Об этой статье

Эту страницу просматривали 105 696 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник