18. Площади геометрических фигур
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Площадь трапеции
Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны (6) и (2), большая боковая сторона составляет с основанием угол (45^circ).
Проведем высоту (CH).
Так как (angle HBC=45^circ), то (angle HCB=45^circ). Следовательно, (triangle HBC) равнобедренный и (HB=HC).
(ADCH) – прямоугольник, следовательно, (AH=DC=2). Тогда (CH=HB=6-2=4). Тогда площадь трапеции равна [S=dfrac{AB+DC}2cdot CH=dfrac{2+6}2cdot 4=16]
Ответ: 16
Основания прямоугольной трапеции равны (12) и (4). Ее площадь равна (64). Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Проведем высоту (CH).
(ADCH) – прямоугольник, следовательно, (AH=DC=4). Тогда (HB=12-4=8). Площадь трапеции равна [64=dfrac{AB+DC}2cdot CH=dfrac{4+12}2cdot CHquadRightarrowquad
CH=8] Заметим, что мы получили, что (CH=HB=8). То есть (triangle
CHB) равнобедренный, значит, углы при основании равны, то есть (angle HCB=angle HBC). Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна (90^circ), то (angle B=angle
HBC=90^circ:2=45^circ).
Ответ: 45
Основания трапеции равны (18) и (6), боковая сторона, равная (7), образует с одним из оснований угол (150^circ). Найдите площадь трапеции.
Пусть (AD=7), тогда (angle ADC=150^circ). По свойству трапеции (angle DAB=180^circ-150^circ=30^circ). Проведем (DHperp
AB).
Рассмотрим (triangle ADH). Катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, следовательно, (DH=AD:2=3,5). Тогда площадь трапеции равна [S=dfrac{AB+DC}2cdot DH=dfrac{18+6}2cdot 3,5=42]
Ответ: 42
Основания трапеции равны (27) и (9), боковая сторона равна (8). Площадь трапеции равна (72). Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.
Пусть (AD=8). Проведем (DHperp AB).
Тогда площадь трапеции равна [72=dfrac{AB+DC}2cdot DH=dfrac{27+9}2cdot DHquadRightarrowquad
DH=4] Рассмотрим прямоугольный (triangle ADH). Так как катет (DH) равен половине гипотенузы (AD), то угол (DAH) равен (30^circ).
Ответ: 30
Основания равнобедренной трапеции равны (14) и (26), а ее боковые стороны равны (10). Найдите площадь трапеции.
Проведем высоту (BH). По свойству равнобедренной трапеции (AH=(AD-BC):2=(26-14):2=6).
Тогда из прямоугольного треугольника (ABH): [BH=sqrt{AB^2-AH^2}=sqrt{10^2-6^2}=8] Тогда площадь трапеции: [S=dfrac{AD+BC}2cdot BH=dfrac{26+14}2cdot 8=160]
Ответ: 160
Основания равнобедренной трапеции равны (7) и (13), а ее площадь равна (40). Найдите боковую сторону трапеции.
Проведем высоту (BH).
Площадь трапеции равна [40=dfrac{AD+BC}2cdot BH=dfrac{7+13}2cdot BHquadRightarrowquad BH=
4] Рассмотрим прямоугольный (triangle ABH). По свойству равнобедренной трапеции (AH=(AD-BC):2=(13-7):2=3). Следовательно, [AB=sqrt{AH^2+BH^2}=5]
Ответ: 5
Основания равнобедренной трапеции равны (14) и (26), а ее периметр равен (60). Найдите площадь трапеции.
Проведем высоту (BH). По свойству равнобедренной трапеции (AH=(AD-BC):2=(26-14):2=6).
Так как периметр трапеции равен (60), а боковые стороны равны, то [AB=dfrac{60-14-26}2=10] Тогда из прямоугольного треугольника (ABH): [BH=sqrt{AB^2-AH^2}=sqrt{10^2-6^2}=8] Тогда площадь трапеции: [S=dfrac{AD+BC}2cdot BH=dfrac{26+14}2cdot 8=160]
Ответ: 160
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды
Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.
В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.
Что нужно знать про трапецию?
Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.
В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.
Формулы площади трапеции
Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.
Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h.
Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h. Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.
Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d1и d2, которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d1d2 *sinα.
Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c2 – ( ( 1/2(b – a)) * ((b – a)2 + c2 – d2) )2.
Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.
Равнобедренная трапеция
Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.
Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.
Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r2/sinα. Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 300: S = 8r2.
Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d1 и d2, а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h2.
Формула площади криволинейной трапеции
Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка [a; b] на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок [a; b]), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.
Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫baf(x)dx = F(x)│ba = F(b) – F(a). В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке [a; b]. И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.
Примеры задач
Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.
Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.
Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.
Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.
Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.
Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ2 = АР2 + РХ2). И высчитать его площадь: SAPX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см2.
Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.
Все это позволит вам утверждать, что SAMPC = SAPX = 54 см2.
Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.
Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.
Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h1 для треугольника ТМЕ и высоту h2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).
Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h1 = 1/5(b + х) * h2. Преобразуем и получим: h1/ h2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).
Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h1/ h2 = (х – а)/( b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х2 – а2) = (b2 – х2) ↔ 6х2 = b2 + 5а2 ↔ х = √(5а2 + b2)/6.
Таким образом, ОЕ = х = √(5а2 + b2)/6.
Также советуем посмотреть вам наше новое видео по теме нахождения площади фигур, в том числе и трапеции:
Заключение
Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.
Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.
Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Задачи пригодятся для отработки материала по теме, сдесь же имеются задачи для домашней работы.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Площадь трапеции.
- В трапеции основания равны 6 см и 10 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.
- В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 10см, меньшая боковая сторона- 5 см. Чему равна площадь трапеции?
- В равнобедренной трапеции ABCM большее основание AM=20 см, высота BH отсекает от AM отрезок AH=6 см, ∠BAM=45°. Найдите площадь трапеции.
- В трапеции ABCM одно из оснований в 3 раза меньше другого, а высота составляет 75% большего основания, площадь трапеции равна 72 см². Найдите основания и высоту трапеции.
- В трапеции ABCD BC и AD-основания, BC÷AD=4÷5. Площадь треугольника ACD=35 см². Найдите площадь трапеции.
Домашнее задание.
- Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD и BC равны соответственно 12 см и 8 см, боковая сторона AB=6 см, ∠A=30°.
- В треугольнике ABC стороны AB и BC равны соответственно 14 см и 18 см. Сторона AB продолжена за точку A на отрезок AM=AB. Сторона BC продолжена за точку C на отрезок KC, равный половине BC. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 126 см².
Площадь трапеции.
- В трапеции основания равны 6 см и 10 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.
- В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 10см, меньшая боковая сторона- 5 см. Чему равна площадь трапеции?
- В равнобедренной трапеции ABCM большее основание AM=20 см, высота BH отсекает от AM отрезок AH=6 см, ∠BAM=45°. Найдите площадь трапеции.
- В трапеции ABCM одно из оснований в 3 раза меньше другого, а высота составляет 75% большего основания, площадь трапеции равна 72 см². Найдите основания и высоту трапеции.
- В трапеции ABCD BC и AD-основания, BC÷AD=4÷5. Площадь треугольника ACD=35 см². Найдите площадь трапеции.
Домашнее задание.
- Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD и BC равны соответственно 12 см и 8 см, боковая сторона AB=6 см, ∠A=30°.
- В треугольнике ABC стороны AB и BC равны соответственно 14 см и 18 см. Сторона AB продолжена за точку A на отрезок AM=AB. Сторона BC продолжена за точку C на отрезок KC, равный половине BC. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 126 см².
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- Мне нравится
Трапеция — это четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны.
Онлайн-калькулятор площади трапеции
Введем некоторые понятия, которые в дальнейшем помогут решить задачи, связанные с нахождением площади данной фигуры.
Основания трапеции — это стороны, параллельные друг другу.
Боковые стороны — соответственно, две оставшиеся стороны.
Средняя линия — отрезок, который соединяет центры боковых сторон. Эта линия всегда параллельна основаниям трапеции.
Виды трапеций
Трапеция бывает трех видов:
- Равнобедренная – та, у которой боковые стороны равны.
- Прямоугольная, у которой два углы прямые, т. е. равны 90 градусам.
- Произвольная, которая не относится к двум вышеописанным категориям.
Площадь трапеции можно найти различными способами. Разберем их более подробно и закрепим материал решением простых задач.
Формула площади трапеции по основанию и высоте
Пусть нам дана произвольная трапеция. Чтобы найти ее площадь, воспользуемся следующей формулой:
S=a+b2⋅hS=frac{a+b}{2}cdot h
a,ba, b — основания трапеции;
hh — высота трапеции.
Найти площадь SS трапеции, в которой известны основания, численно равные 10 (см.) и 8 (см.) и высота, длиной 6 (см.).
Решение
a=8a=8
b=10b=10
h=6h=6
Сразу подставляем числа в имеющуюся у нас формулу и вычисляем искомую величину:
S=a+b2⋅h=8+102⋅6=54S=frac{a+b}{2}cdot h=frac{8+10}{2}cdot 6=54 (см. кв.)
Ответ: 54 см. кв.
Формула площади трапеции по основанию и средней линии
Нужно упомянуть, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований. Тем самым, способ нахождения площади через среднюю линию есть не что иное, как способ, аналогичный первому. Поскольку:
l=a+b2,l=frac{a+b}{2},
то:
S=l⋅hS=lcdot h
ll — средняя линия трапеции;
hh — высота.
Найти площадь трапеции, если известно, что средняя линия равна 5 (см.), а высота трапеции в 2 раза больше её.
Решение
l=5l=5
h=2⋅lh=2cdot l
Найдем высоту трапеции:
h=2⋅5=10h=2cdot 5=10
Площадь:
S=l⋅h=5⋅10=50S=lcdot h=5cdot 10=50 (см. кв.)
Ответ: 50 см. кв.
Формула площади трапеции по всем сторонам
Данный способ подходит для тех случаев, когда в задаче известны все 4 стороны нашей трапеции.
S=a+b2c2−((b−a)2+c2−d22⋅(b−a))2S=frac{a+b}{2}sqrt{c^2-big(frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2cdot(b-a)}big)^2}
Даны длины всех сторон трапеции. Основания равны 10 (см.) и 5 (см.), боковые стороны: 4 (см.) и 3 (см.). Найти площадь фигуры.
Решение
a=5a=5
b=10b=10
c=4c=4
d=3d=3
Тогда:
S=a+b2c2−((b−a)2+c2−d22⋅(b−a))2=15216−(25+16−910)2=18S=frac{a+b}{2}sqrt{c^2-big(frac{(b-a)^2+c^2-d^2}{2cdot(b-a)}big)^2}=frac{15}{2}sqrt{16-big(frac{25+16-9}{10}big)^2}=18 (см. кв.)
Ответ: 18 см. кв.
Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними
S=12⋅d1⋅d2⋅sin(α)S=frac{1}{2}cdot d_1cdot d_2cdotsin(alpha)
d1,d2d_1, d_2 — диагонали трапеции;
αalpha — угол между диагоналями.
Пусть две диагонали трапеции равны 20 (см.) и 7 (см.) и при пересечении они образуют угол 30 градусов. Найти площадь трапеции SS.
Решение
d1=20d_1=20
d2=7d_2=7
α=30∘alpha=30^{circ}
Площадь:
S=12⋅d1⋅d2⋅sin(α)=12⋅20⋅7⋅sin(30∘)=35S=frac{1}{2}cdot d_1cdot d_2cdotsin(alpha)=frac{1}{2}cdot20cdot 7cdotsin(30^{circ})=35 (см. кв.)
Ответ: 35 см. кв.
Формула площади трапеции через радиус вписанной окружности и угол
Этот случай подходит только для равнобедренной трапеции.
S=4⋅r2sin(α)S=frac{4cdot r^2}{sin(alpha)}
rr — радиус вписанной окружности;
αalpha — угол между основанием и боковой стороной.
Дан радиус вписанной окружности в трапецию, равный 4 (см.). Угол αalpha равный 90 градусам. Найти площадь трапеции.
Решение
r=4r=4
α=90∘alpha=90^{circ}
По формуле:
S=4⋅r2sin(α)=4⋅16=64S=frac{4cdot r^2}{sin(alpha)}=4cdot 16=64 (см. кв.)
Ответ: 64 см. кв.
Хотите заказать контрольную работу по геометрии? У нас самые низкие цены среди конкурентов!
Тест по теме «Площадь трапеции»
Конспект урока по геометрии
Тема: Площадь
трапеции. Решение задач
Дата проведения: 18.11.17
Цель урока:
• Повторить формулы для
вычисления площадей четырехугольников (трапеции)
• Совершенствовать навыки в решении
задач по данной теме
Тип урока: комбинированный
Структура урока:
1.
Организационный
момент
2.
Актуализация
знаний
3.
Решение задач
4.
Домашнее
задание
Ход урока
1.
Организационный
момент.
Здравствуйте
ребята! Сегодня мы продолжаем с вами тему «Площадь трапеции».
Цель
урока: совершенствовать навыки в решении задач
по данной теме.
2.
Актуализация
знаний.
-Но для начала мы с вами вспомним
определение трапеции
(Трапеция-это четырёхугольник, у которого
две стороны параллельны, а две другие нет)
-Как называются стороны трапеции?(основания
и боковые)
Задание
-Изобразить на доске трапецию , провести
высоту и дать определение высоты.
(Высота трапеции— перпендикуляр, проведённый из любой
точки одного из
оснований к прямой, содержащей другое
основание)
-Сформулируйте теорему нахождения площади
трапеции
(Площадь трапеции равна произведению полусуммы
оснований на высоту)
А сейчас у доски, а остальные в тетради
вычислить площадь трапеции
1ряд
ВС=7см, АD=10
см, ВH=10см, S-?
2ряд Вычислить высоту трапеции
ВС=5см, 7=10 см, S=60см^2 , ВH -?
3 ряд. В прямоугольной трапеции (угол А=90 градусов) ABCD, основания равны
BC=16см, AD=20см, а боковая сторона CD=12см. Угол CDA=30 градусов. Найти S =?
РЕШЕНИЕ:
3.
Решение
задач
Задача №1
По рисунку найти площадь
трапеции.
РЕШЕНИЕ:
Задача №2
По рисунку найти площадь
фигуры.
РЕШЕНИЕ:
Задача №3
Высота трапеции в 3 раза
меньше одного основания и в 5 раз меньше другого . Найдите основания и высоту
трапеции, если её площадь равна 100 см ².
Решение:
1) Составим уравнение взяв за x- высоту трапеции , тогда
BC = 3x , AD = 5x
2) Получаем уравнение
(3х+5х)/2* x = 100
4x²= 100
x² = 25
x = -5 – не удовлетворяет
x = 5 – высота
3) BC = 15 см , AD = 25 см.
Задача
№4
Диагонали трапеции взаимно
перпендикулярны и равны 14 см и 16см. Чему равна площадь трапеции.
Ответ : 112 см²
Задача
№ 5.
В равнобокой трапеции
ABCD высота 10см, ED=18см. Найти площадь трапеции.
РЕШЕНИЕ:
4.
Домашнее задание
№511,№518(а)