Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.
1. Как найти площадь трапеции через основания и высоту
Посчитайте сумму оснований трапеции.
Умножьте результат на высоту и поделите на два.
- S – искомая площадь трапеции.
- a и b – основания трапеции (её параллельные стороны).
- h – высота трапеции.
2. Как вычислить площадь трапеции через высоту и среднюю линию
Просто умножьте высоту трапеции на среднюю линию.
- S – искомая площадь трапеции.
- m – средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).
- h – высота трапеции.
3. Как найти площадь трапеции через диагонали и угол между ними
Умножьте одну диагональ на другую, а затем — на синус любого угла между ними.
Поделите результат на два.
- S – искомая площадь трапеции.
- x и y – диагонали трапеции.
- α – любой угол между диагоналями.
4. Как найти площадь трапеции через четыре стороны
Отнимите от большего основания меньшее.
Найдите квадрат полученного числа.
Прибавьте к результату квадрат одной боковой стороны и отнимите квадрат второй.
Поделите полученное число на удвоенную разность оснований.
Найдите квадрат результата и отнимите его от квадрата боковой стороны.
Найдите корень из полученного числа.
Умножьте результат на половину от суммы оснований.
- S – искомая площадь трапеции.
- a, b – основания трапеции.
- c, d – боковые стороны.
5. Как вычислить площадь равнобедренной трапеции через четыре стороны
Отнимите от большего основания трапеции меньшее и поделите результат на два.
Найдите квадрат полученного числа и отнимите его от квадрата боковой стороны.
Найдите корень из результата.
Умножьте полученное число на сумму оснований и поделите на два.
- S — искомая площадь трапеции.
- a, b — основания трапеции.
- c, d — боковые стороны (напомним, в равнобедренной трапеции они равны).
6. Как найти площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол
Найдите квадрат радиуса и умножьте его на четыре.
Поделите результат на синус известного угла.
- r — радиус вписанной окружности.
- α — любой угол трапеции.
Читайте также 📐✏️🎓
- 8 способов найти длину окружности
- 8 способов найти периметр треугольника
- 7 способов найти площадь прямоугольника
- Как перевести обычную дробь в десятичную
- Как освоить устный счёт школьникам и взрослым
{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}
Площадь трапеции можно найти множеством способов. Для вас мы собрали все возможные варианты нахождения площади. Для вашего удобства для каждой формулы создан калькулятор, который поможет рассчитать площадь трапеции по известным данным. От вас требуется только подставить значения и в режиме онлайн мгновенно получить ответ. Формулы и калькуляторы сгруппированы по типам трапеций — обычная, равнобедренная (равнобокая).
- Калькулятор площади трапеции
- Площадь трапеции
- через основания и высоту
- через среднюю линию и высоту
- через диагонали и среднюю линию
- через 4 стороны
- через диагонали и угол между ними
- через основания и углы при основании
- через площади треугольников
- через диагонали и высоту
- через радиус вписанной окружности и основания
- через перпендикулярные диагонали
- Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции
- через основания и высоту
- через 3 стороны (формула Брахмагупты)
- через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
- через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
- через основания и угол
- через диагонали и угол между ними
- через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию
- через радиус вписанной окружности и угол при основании
- Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность
- через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании
- через основания и угол при основании
- через основания и радиус вписанной окружности
- через основания
- через основания и боковую сторону
- через основания и среднюю линию
- Примеры задач
Площадь трапеции
Трапеция — выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Площадь трапеции через основания и высоту
{S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h}
a и b — основания трапеции
h — высота, проведенная к основанию
Площадь трапеции через среднюю линию и высоту
{S = m cdot h}
m — средняя линия трапеции
h — высота трапеции
Площадь трапеции через диагонали и среднюю линию
{S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)}}
{p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2}}
d1 и d2 — диагонали трапеции
m — средняя линия трапеции
Площадь трапеции через 4 стороны
{S = dfrac{a+b}{2} sqrt{c^2 — {Big( dfrac{(a-b)^2 + c^2 — d^2}{2(a-b)} Big)}^2}}
a, b, c и d — стороны трапеции
Площадь трапеции через диагонали и угол между ними
{S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(alpha); S = dfrac{d_1 cdot d_2}{2}cdot sin(beta)}
d1 и d2 — диагонали трапеции
α или β — угол между диагоналями трапеции
Площадь трапеции через основания и углы при основании
{S = dfrac{b^2 — a^2}{2} cdot dfrac{sin(alpha) cdot sin(beta)}{sin(alpha + beta)}}
a и b — основания трапеции
α или β — прилежащие к основанию трапеции углы
Площадь трапеции через площади треугольников
{S = (sqrt{S_1} + sqrt{S_2})^2}
S1 и S2 — площади образованных пересечением диагоналей трапеции треугольников
Площадь трапеции через диагонали и высоту
{S = dfrac{sqrt{{d_2}^2-h^2}+sqrt{{d_1}^2-h^2}}{2} cdot h}
d1 и d2 — диагонали трапеции
h — высота трапеции
Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания
{S = (a+b)cdot r}
a и b — основания трапеции
r — радиус вписанной в трапецию окружности
Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали
{S = dfrac{1}{2} cdot d_1 cdot d_2}
d1 и d2 — перпендикулярные диагонали трапеции
Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции
Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Площадь равнобедренной трапеции через основания и высоту
{S = dfrac{a+b}{2} cdot h}
a и b — основания равнобедренной трапеции
h — высота, проведенная к основанию равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции через 3 стороны (формула Брахмагупты)
{S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2}}
{p = dfrac{a+b+2c}{2}}
a и b — основания равнобедренной трапеции
c — боковая сторона равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции через верхнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
{S = c cdot sin(alpha) cdot (a+c cdot cos(alpha))}
a — верхнее основание равнобедренной трапеции
c — боковая сторона равнобедренной трапеции
α — прилежащие к нижнему основанию трапеции углы
Площадь равнобедренной трапеции через нижнее основание, боковую сторону и угол при нижнем основании
{S = c cdot sin(alpha) cdot (b-c cdot cos(alpha))}
b — нижнее основание равнобедренной трапеции
c — боковая сторона равнобедренной трапеции
α — прилежащий к нижнему основанию трапеции угол
Площадь равнобедренной трапеции через основания и угол
{S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha)}
a и b — основания равнобедренной трапеции
α — прилежащий к основанию трапеции угол
Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
{S = dfrac{1}{2}d^2 cdot sin(alpha)}
a — диагональ равнобедренной трапеции
α — угол между диагоналями равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции через боковую сторону, угол при основании и среднюю линию
{S = m cdot c cdot sin(alpha)}
m — средняя линия равнобедренной трапеции
c — боковая сторона равнобедренной трапеции
α — угол при основании равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности и угол при основании
{S = dfrac{4r^2}{sin(alpha)}}
r — радиус вписанной окружности
α — угол при основании равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной (равнобокой) трапеции, в которую можно вписать окружность
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны.
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через высоту (диаметр вписанной окружности) и угол при основании
{S = dfrac{h^2}{sin(alpha)}}
h — высота равнобедренной трапеции
α — угол при основании равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и угол при основании
{S = dfrac{a cdot b}{sin(alpha)}}
a и b — основания равнобедренной трапеции
α — угол при основании равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и радиус вписанной окружности
{S = r(a+b); r=dfrac{sqrt{a cdot b}}{2}}
a и b — основания равнобедренной трапеции
r — радиус вписанной окружности
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания
{S = sqrt{a cdot b} cdot dfrac{a+b}{2}}
a и b — основания равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и боковую сторону
{S = c cdot sqrt{a cdot b}}
a и b — основания равнобедренной трапеции
c — боковая сторона равнобедренной трапеции
Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, через основания и среднюю линию
{S = m cdot sqrt{a cdot b}}
a и b — основания равнобедренной трапеции
m — средняя линия равнобедренной трапеции
Примеры задач на нахождение площади трапеции
Задача 1
Найдите площадь трапеции, если основания равны 6см и 9 см, а высота трапеции равна 5 см.
Решение
Для решения задачи воспользуемся первой формулой.
S = dfrac{1}{2} (a + b) cdot h = dfrac{1}{2} (6 + 9) cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 5 = dfrac{1}{2} cdot 75 = 37dfrac{1}{2} : см^2
Ответ: 37.5 см²
Полученный ответ легко проверить с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь трапеции средняя линия которой равна 18 см, а высота 9 см.
Решение
С решением этой задачи нам поможет вторая формула.
S = m cdot h = 18 cdot 9 = 162 : см^2
Ответ: 162 см²
Воспользуемся калькулятором для проверки результата.
Задача 3
Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3.
Решение
Для решения этой задачи нам поможет третья формула.
На первом этапе вычислим p:
p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{10+8+2 cdot 3}{2} = dfrac{10+8+6}{2} = dfrac{24}{2} = 12
А теперь можно вычислить площадь трапеции:
S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-10)(12-8)(12-2 cdot 3)} = sqrt{12 cdot 2 cdot 4 cdot 6} = sqrt{576} = 24 : см^2
Ответ: 24 см²
Осталось проверить полученный ответ.
Задача 4
Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 17 и 15, а средняя линия равна 4.
Решение
Задача похожа на ту, что мы только что решили. Поэтому повторим шаги.
На первом этапе вычислим p:
p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{17+15+ 2 cdot 4}{2} = dfrac{17+15+8}{2} = dfrac{40}{2} = 20
А теперь можно вычислить площадь трапеции:
S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{20(20-17)(20-15)(20-2 cdot 4)} = sqrt{20 cdot 3 cdot 5 cdot 12} = sqrt{3600} = 60 : см^2
Ответ: 60 см²
Проверка .
Задача 5
Найдите площадь трапеции диагонали которой равны 8 и 6 а средняя линия равна 5.
Решение
Еще одна типовая задача. Повторим действия как в задачах выше.
На первом этапе вычислим p:
p = dfrac{d_1+d_2+2m}{2} = dfrac{8+6+ 2 cdot 5}{2} = dfrac{8+6+10}{2} = dfrac{24}{2} = 12
А теперь можно вычислить площадь трапеции:
S = sqrt{p(p-d_1)(p-d_2)(p-2m)} = sqrt{12(12-8)(12-6)(12-2 cdot 5)} = sqrt{12 cdot 4 cdot 6 cdot 2} = sqrt{576} = 24 : см^2
Ответ: 24 см²
Проверка .
Задача 6
Найдите площадь равнобедренной трапеции если её основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.
Решение
Для решения этой задачи используем формулу Брахмагупты.
Сначала вычислим p:
p = dfrac{a+b+2c}{2} = dfrac{5+17+2 cdot 10}{2} = dfrac{22+20}{2} = dfrac{42}{2} = 21
А теперь можно вычислить площадь трапеции:
S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2} = sqrt{(21-5)(21-17)(21-10)^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 11^2} = sqrt{16 cdot 4 cdot 121} = sqrt{7744}= 88 : см^2
Ответ: 88 см²
Проверка .
Задача 7
Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а основания равны 8 и 6 см. Найдите площадь трапеции.
Решение
Для решения этой задачи воспользуемся формулой.
S = dfrac{1}{2}(b^2-a^2) cdot tg(alpha) = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°)
Тангенс 45° = 1, продолжим вычисления:
S = dfrac{1}{2}(8^2-6^2) cdot tg(45°) = dfrac{1}{2}(64-36) cdot 1 = dfrac{1}{2} cdot 28 = 14 : см^2
Ответ: 14 см²
Убедиться в правильности решения нам поможет калькулятор .
Как рассчитать площадь трапеции
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь трапеции онлайн. Для расчета задайте высоту и длуну основания трапеции.
Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции), а две другие — непараллельны (боковые стороны трапеции). Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Через основания и высоту
Формула для нахождения площади трапеции через основания и высоту:
a,b — основания трапеции; h — высота трапеции.
Через среднюю линию и высоту
Формула для нахождения площади трапеции через основания и среднюю линию:
m — средняя линия; h — высота трапеции.
Через четыре стороны
Формула для нахождения площади трапеции через основания и среднюю линию:
a — нижнее основание; b — верхнее основание; c, d — боковые стороны.
Через диагонали и угол между ними
Формула для нахождения площади трапеции через диагонали и угол между ними:
d1, d2 — диагонали трапеции; α — угол между диагоналями.
Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основаниии
Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:
m — средняя линия трапеции; c — боковая сторона трапеции; α — угол при основании.
Через радиус вписанной окружности
Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной оккужности:
r — радиус окружности; α — угол при основании.
Площадь трапеции
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Площадь трапеции
Чтобы найти площадь трапеции воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Через длины оснований и высоту
Чему равна площадь трапеции, если:
основание a =
основание b =
высота h =
Ответ: S =
0
ед.²
Округление ответа:
Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также высота h?
Формула
S = ½ ⋅ (a + b) ⋅ h
Пример
Если у трапеции основание a = 3 см, основание b = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:
S = ½ ⋅ (3 + 6) ⋅ 4 = 36 / 2 = 18 см²
Через среднюю линию и высоту
Чему равна площадь трапеции, если:
средняя линия m =
высота h =
Ответ: S =
0
ед.²
Округление ответа:
Чему равна площадь трапеции если известны средняя линия m и высота h?
Формула
S = m ⋅ h
Пример
Если у трапеции средняя линия m = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:
S = 6 ⋅ 4 = 24 см²
Через длины сторон и оснований
Чему равна площадь трапеции, если:
основание a =
основание b =
сторона c = сторона d =
Ответ: S =
0
ед.²
Округление ответа:
Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также стороны c и d?
Формула
Пример
Если у трапеции основание a = 2 см, основание b = 6 см, сторона c = 4 см, а сторона d = 7 см, то её площадь:
S ≈ 13.555 см²
Через диагонали и угол между ними
Чему равна площадь трапеции, если:
диагональ d1 =
диагональ d2 =
угол α =
Ответ: S =
0
ед.²
Округление ответа:
Чему равна площадь трапеции если известны диагонали d1 и d2 и угол между ними α?
Формула
S = ½ ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin(α)
Пример
Если у трапеции одна диагональ d1 = 5 см, другая диагональ d2 = 7 см, а угол между ними ∠α = 30°, то её площадь:
S = ½ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ sin (30) = 17.5 ⋅ 0.5= 8.75 см²
Площадь равнобедренной трапеции
Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
Чему равна площадь трапеции, если:
средняя линия m =
сторона c =
угол α =
Ответ: S =
0
ед.²
Округление ответа:
Чему равна площадь равнобедренной трапеции если средняя линия m, боковая сторона с, a угол при основании α?
Формула
S = m ⋅ c ⋅ sin(α)
Пример
Если у равнобедренной трапеции средняя линия m = 6 см, сторона c = 4 см, а угол при основании ∠α = 30°, то её площадь:
S = 6 ⋅ 4 ⋅ sin (30) = 24 ⋅ 0.5 = 12 см²
Через радиус вписанной окружности
Чему равна площадь трапеции, если:
радиус r =
угол α =
Ответ: S =
0
ед.²
Округление ответа:
Чему равна площадь равнобедренной трапеции если радиус вписанной окружности r, a угол при основании α?
Формула
S = 4⋅r² ⁄ sin(α)
Пример
Если у равнобедренной трапеции радиус вписанной окружности r = 5 см, а угол при основании ∠α = 30°, то её площадь:
S = 4 ⋅ 5² / sin (30) = 100 / 0.5 = 200 см²
См. также
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Трапеция является четырехугольником, у которого две параллельные стороны (основания) имеют разную длину. Формула для вычисления площади трапеции: S = ½(b1+b2)h, где b1 и b2 — основания, h — высота трапеции. Если известны только боковые стороны правильной трапеции, ее можно разбить на ряд простых фигур, чтобы найти высоту, а затем вычислить площадь.
-
1
Сложите основания. Основания — это две стороны трапеции, которые параллельны друг другу. Если значения оснований не даны, измерьте их линейкой, а затем сложите полученные значения.[1]
- Например, если верхнее основание (b1) равно 8 см, а нижнее (b2) — 13 см, сумма оснований b = b1 + b2 = 8 + 13 = 21 см.
-
2
Измерьте высоту трапеции. Высота трапеции — это расстояние между параллельными основаниями. Проведите перпендикуляр к основаниям, а затем с помощью линейки измерьте его и запишите найденное значение.[2]
- Помните, что высота не равна боковым сторонам трапеции. Высота равна боковой стороне трапеции, только если эта сторона перпендикулярна основаниям.
-
3
Перемножьте сумму оснований и высоту. То есть умножьте значение «b» на значение «h». Результат запишите в квадратных единицах измерения.[3]
- В нашем примере: 21 x 8 = 147 см2.
-
4
Разделите найденное значение на 2, чтобы найти площадь трапеции. Также найденное значение можно умножить на ½. Результат запишите в квадратных единицах измерения.[4]
- В нашем примере: S = 147/2 = 73,5 см2.
Реклама
-
1
Разбейте трапецию на 1 прямоугольник и 2 прямоугольных треугольника. Проведите два перпендикуляра из вершин трапеции на нижнее основание. Так вы получите 1 прямоугольник (посередине) и 2 прямоугольных равных треугольника (по бокам).[5]
- Этот метод можно применить только к правильной трапеции.
-
2
Найдите основание прямоугольного треугольника. Для этого сначала вычтите верхнее основание из нижнего основания. Теперь найденное значение разделите на 2, чтобы вычислить основание треугольника. На данном этапе вам известны основание и гипотенуза треугольника.[6]
- Например, если верхнее основание (b1) трапеции равно 6 см, а нижнее основание (b2) равно 12 см, основание треугольника равно 3 см (потому что b = (b2 — b1)/2 = (12 — 6)/2 = 3 см).
-
3
Найдите высоту трапеции по теореме Пифагора. Для этого подставьте значения основания и гипотенузы треугольника в формулу A2 + B2 = C2, где A — основание, C — гипотенуза. Найдите значение B, то есть высоту трапеции. Если основание треугольника равно 3 см, а гипотенуза равна 5 см:[7]
- Подставьте значения: 32 + B2 = 52
- Возведите в квадрат: 9 + B2 = 25
- Вычтите 9 из каждой стороны уравнения: B2 = 16
- Извлеките квадратный корень из каждой стороны уравнения: B = 4 см
Подсказка: если в уравнении нет идеального квадрата, упростите ответ и оставьте квадратный корень. Например, √32 = √(16)(2) = 4√2.
-
4
Подставьте значения оснований и высоты в формулу для вычисления площади трапеции. Формула: S = ½(b1 + b2)h. Результат запишите в квадратных единицах измерения.[8]
- Запишите формулу: S = ½(b1 + b2)h
- Подставьте значения: S = (6 + 12)(4)
- Упростите выражение и перемножьте числа: S = ½(18)(4)
- Ответ: S = 36 см2.
Реклама
Советы
- Если вам известна медиана трапеции (отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции и параллелен основаниям трапеции), умножьте ее на высоту, чтобы найти площадь.[9]
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 105 556 раз.