Как найти площадь треугольника abcde - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Чтобы решать задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Начнем с квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Она также равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Для площади треугольника есть целых 5 формул. И все они применяются в задачах ЕГЭ.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S=displaystyle frac{1}{2}ah_a=displaystyle frac{1}{2}bh_b=displaystyle frac{1}{2}ch_c.$

2) Она также равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

$S=displaystyle frac{1}{2}ab{sin C=displaystyle frac{1}{2}ac{sin B= } }displaystyle frac{1}{2}bc{sin A }.$

3) По формуле Герона, где $p=displaystyle frac{1}{2}left(a+b+cright)$ полупериметр.

4) Также площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радис вписанной окружности, S = pr.

5) Еще один способ. Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности, $S=displaystyle frac{abc}{4R}.$

Есть и другие формулы для площади треугольника. Но для решения заданий ЕГЭ, и первой, и второй части, достаточно этих пяти.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Она также равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе:

$S=displaystyle frac{1}{2}ab=displaystyle frac{1}{2}ch_{ }$

Площадь правильного треугольника равна квадрату его стороны, умноженному на sqrt{3} и деленному на 4:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h.$

Также можно сказать, что площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту,

Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, $S=displaystyle frac{1}{2}ACcdot BDcdot {sin alpha }$

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. Она также равна половине произведения диагоналей:

Площадь круга равна произведению числа и квадрата радиуса круга.

Ее также можно записать как произведение числа и квадрата диаметра круга, деленного на 4:

Вспомним важные свойства площадей фигур.

Равные фигуры имеют равные площади.
Иногда фигуры, имеющие равные площади, еще называют равновеликими.
Если фигура составлена из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

Пример. Найдем площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см times 1см.

Решение:

Найдем площадь фигуры на рисунке как сумму площадей нескольких фигур.

На рисунке это три треугольника и трапеция, указаны их площади. Тогда площадь фигуры равна 10 + 3,5 + 1,5 + 3 = 18.

Ответ: 18.

3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Треугольники АВС и на рисунке называются подобными.

У треугольника все стороны в k раз длиннее, чем у треугольника АВС. Высота треугольника в k раз длиннее, чем высота треугольника АВС. Тогда площадь треугольника в k^2 раз больше, чем площадь треугольника АВС.

4. На рисунке показаны треугольники АВС и BCD, имеющие общую высоту. Отношение площадей этих треугольников равно отношению АС к CD:

$displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{BCD}}=displaystyle frac{AC}{CD}$

5. Треугольники АВС и АЕС на рисунке имеют одинаковое основание и разные высоты.

Отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот:

$displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{AEC}}=displaystyle frac{BD}{EH}.$

6. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, то есть равных по площади, треугольника.

На рисунке СМ — медиана треугольника АВС. Площади треугольников АСМ и ВСМ равны.

7. Три медианы треугольника делят его на шесть равных по площади треугольников.

На рисунке все 6 треугольников, из которых состоит треугольник АВС, имеют равные лощади.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Площади фигур.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен ${30}^circ.$

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому

$S=displaystyle frac{1}{2}cdot 8cdot 12cdot {sin 30{}^circ =displaystyle frac{1}{2}cdot 8cdot 12cdot displaystyle frac{1}{2}=24 }.$

Ответ: 24.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 4, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение:

Так как DE и АВ параллельны, треугольники CDE и САВ подобны с коэффициентом подобия $displaystyle frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

$S=displaystyle frac{1}{4}cdot 4=1.$

Ответ: 1.

Задача 3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Решение:

Выразим площадь двумя способами:
$S_{ABC}=displaystyle frac{1}{2}CHcdot AB=displaystyle frac{1}{2}AKcdot CB.$

Тогда $AK=displaystyle frac{CHcdot AB}{CB}=displaystyle frac{4cdot 9}{6}=6.$

Ответ: 6.

Задача 4. Площадь треугольника ABC равна 10, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Решение:

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом $displaystyle frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

$S_{CDE}=displaystyle frac{1}{4}cdot 10=2.5.$

Следовательно, .

Ответ: 7,5.

Задача 5. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, ${sin A=displaystyle frac{6}{7}}$ . Найдите большую высоту параллелограмма.

Решение:

Большая высота — это DH, потому что проведена к меньшей стороне. Из треугольника АDН:

$DH=AD{sin A=21cdot displaystyle frac{6}{7}=3cdot 6=18 }.$

Ответ: 18.

Задача 6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение:

Квадрат — это частный случай ромба. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 7. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

Решение:

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Площадь прямоугольника равна тогда одна из сторон равна 3, а другая 6. Периметр P = 2 · 3 + 2 · 6 = 18.

Ответ: 18.

Задача 8. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна вторая равна а острый угол параллелограмма равен alpha . Тогда площадь параллелограмма равна а площадь прямоугольника равна

По условию площадь прямоугольника вдвое больше:

${S_2=2S_1} .$ Следовательно, $acdot b=2acdot bcdot {sin alpha Leftrightarrow {sin alpha }=0,5 }Leftrightarrow alpha =30{}^circ.$

Ответ: 30.

Задача 9. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть высоты равны соответственно a и b. Тогда S = 5 · a = 10 · b = 40. Поэтому a = 8, b = 4. Большая высота равна 8.

Ответ: 8.

Задача 10. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30 ${}^circ.$

Решение:

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть сторона ромба равна

Получим уравнение:

$a^2=a{sin alpha }.$

Корень уравнения a = 4, поэтому

Ответ: 8.

Задача 11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S=displaystyle frac{1}{2}cdot 4cdot 12=24.$

Ответ: 24.

Задача 12. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная, значит,

$AH=displaystyle frac{AB-DC}{2}=6;$

$AD=displaystyle frac{P_{ABCD}-left(AB+DCright)}{2}=10.$

Тогда по теореме Пифагора из треугольника ADH:

$DH=sqrt{{AD}^2-{AH}^2}=8;$

$S=displaystyle frac{AB+CD}{2}cdot DH=20cdot 8=160.$

Ответ: 160.

Задача 13. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45 ${}^circ.$

Решение:

Проведем высоту CH. Треугольник CHB — прямоугольный, в нем

$angle B=45{}^circ ,$ значит, он также равнобедренный, CH = HB = 4.
$S_{ABCD}=displaystyle frac{AB+CD}{2}cdot CH=4cdot 4=16.$

Ответ: 16.

Задача 14. Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Выразим её из формулы площади трапеции:
$S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot hLeftrightarrow displaystyle frac{a+b}{2}cdot 5=75Leftrightarrow displaystyle frac{a+b}{2}=15.$

Ответ: 15.

Задача 15. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Пусть высота равна h, тогда

$S=displaystyle frac{27+9}{2}cdot h=72.$

Из этого уравнения получим: h = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции. Длина катета равна половине гипотенузы, следовательно, он лежит напротив угла ${30}^circ.$

Ответ: 30.

Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Задача 16. Найдем площадь четырехугольника на рисунке.

Решение:

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников:

Ответ: 12,5.

В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Задача 17. Найдем площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем:

Ответ: 10,5.

Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.

Задача 18.

Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Решение:

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна так как R=1. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R = 1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: 1.

Формула Пика

Покажем, как вычислять площадь фигуры, изображенной на координатной плоскости, с помощью формулы Пика.

Задача 19. Найдите площадь многоугольника АВСDE, изображенного на рисунке.

Первый способ:

Площадь многоугольника ABCDE равна сумме площадей треугольника BCD, трапеции BKDE и треугольника AKE.

Имеем:

$S_{vartriangle BCD}=displaystyle frac{1}{2}cdot 9cdot 2=9;$

$S_{BKDE}=displaystyle frac{1}{2}cdot (9+3)cdot 2=12;$

$S_{vartriangle AKE}=displaystyle frac{1}{2}cdot 3cdot 4=6;$

$S_{ABCDE}=9+12+6= 27.$

Второй способ — применить формулу Пика.

Назовем точку координатной плоскости целочисленной, если обе ее координаты — целые числа. На нашем рисунке это точки на пересечениях линий, разделяющих клетчатую бумагу на клетки.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

Здесь В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Главное — аккуратно посчитать. На нашем рисунке

В = 24 (показаны зеленым),

Г = 8 (показаны красным),

S = 24 + $displaystyle frac{8}{2}$ — 1 = 27.

Ответ: 27.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Все формулы по геометрии. Площади фигур» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.

Онлайн-калькулятор площади треугольника

Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).

Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.

Формула площади треугольника по основанию и высоте

S=12⋅a⋅hS= frac{1}{2}cdot acdot h,

aa — основание треугольника;
hh — высота треугольника, проведенная к данному основанию a.

Пример

Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).

Решение

a=10a=10
h=5h=5

Подставляем в формулу для площади и получаем:
S=12⋅10⋅5=25S=frac{1}{2}cdot10cdot 5=25 (см. кв.)

Ответ: 25 (см. кв.)

Формула площади треугольника по длинам всех сторон

S=p⋅(p−a)⋅(p−b)⋅(p−c)S= sqrt{pcdot(p-a)cdot (p-b)cdot (p-c)},

a,b,ca, b, c — длины сторон треугольника;
pp — половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):

p=12(a+b+c)p=frac{1}{2}(a+b+c)

Эта формула называется формулой Герона.

Пример

Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5

Найдем половину периметра pp:

p=12(3+4+5)=12⋅12=6p=frac{1}{2}(3+4+5)=frac{1}{2}cdot 12=6

Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:

S=6⋅(6−3)⋅(6−4)⋅(6−5)=36=6S=sqrt{6cdot(6-3)cdot(6-4)cdot(6-5)}=sqrt{36}=6 (см. кв.)

Ответ: 6 (см. кв.)

Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

S=a22⋅sin⁡βsin⁡γsin⁡(β+γ)S=frac{a^2}{2}cdot frac{sin{beta}sin{gamma}}{sin(beta+gamma)},

aa — длина стороны треугольника;
β,γbeta, gamma — углы, прилежащие к стороне aa.

Пример

Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

a=10a=10
β=30∘beta=30^{circ}
γ=30∘gamma=30^{circ}

По формуле:

S=1022⋅sin⁡30∘sin⁡30∘sin⁡(30∘+30∘)=50⋅123≈14.4S=frac{10^2}{2}cdot frac{sin{30^{circ}}sin{30^{circ}}}{sin(30^{circ}+30^{circ})}=50cdotfrac{1}{2sqrt{3}}approx14.4 (см. кв.)

Ответ: 14.4 (см. кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S=a⋅b⋅c4RS=frac{acdot bcdot c}{4R},

a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
RR — радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Пример

Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус RR окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
R=10R=10

S=3⋅4⋅54⋅10=6040=1.5S=frac{3cdot 4cdot 5}{4cdot 10}=frac{60}{40}=1.5 (см. кв.)

Ответ: 1.5 (см.кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

S=p⋅rS=pcdot r,

pp — половина периметра треугольника:

p=a+b+c2p=frac{a+b+c}{2},

a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
rr — радиус вписанной в треугольник окружности.

Пример

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
r=2r=2

p=3+4+52=6p=frac{3+4+5}{2}=6

S=6⋅2=12S=6cdot 2=12 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

S=12⋅b⋅c⋅sin⁡(α)S=frac{1}{2}cdot bcdot ccdotsin(alpha),

b,cb, c — стороны треугольника;

αalpha — угол между сторонами bb и cc.

Пример

Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

b=5b=5
c=6c=6
α=30∘alpha=30^{circ}

S=12⋅5⋅6⋅sin⁡(30∘)=7.5S=frac{1}{2}cdot 5cdot 6cdotsin(30^{circ})=7.5 (см. кв.)

Ответ: 7.5 (см. кв.)

Контрольная по геометрии недорого на сервисе Студворк от профильных экспертов!

Тест на тему “Плошадь треугольника”

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона
Через основание и высоту
Через две стороны и угол
Через сторону и два прилежащих угла
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

— полупериметр треугольника; a,b,c — стороны треугольника.

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a — основание треугольника; h — высота треугольника.

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b — стороны треугольника; α — угол между сторонами.

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a— сторона треугольника; α и β — прилежащие углы.

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b — катеты треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b — стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a — основание равнобедренного треугольника; α — угол между сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a — сторона равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h — высота равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r — радиус описанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c — стороны треугольника; r — радиус описанной окружности треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p — полупериметр треугольника;a, b, c — стороны треугольника; r — радиус вписанной окружности треугольника.

Источник

Как найти площадь любого треугольника

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
Найдите синус угла между выбранными сторонами.
Перемножьте полученные числа.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a и b — стороны треугольника.
α — угол между сторонами a и b.

Зная три стороны (формула Герона)

Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
Найдите произведение полученных чисел.
Умножьте результат на полупериметр.
Найдите корень из полученного числа.

S — искомая площадь треугольника.
a, b, c — стороны треугольника.
p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

Найдите произведение всех сторон треугольника.
Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

S — искомая площадь треугольника.
R — радиус описанной окружности.
a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

S — искомая площадь треугольника.
r — радиус вписанной окружности.
p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Посчитайте произведение катетов треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

Умножьте основание на высоту треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
Поделите результат на четыре.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

7 причин полюбить математику
ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?

Источник

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного (разностороннего) по 22 формулам.

Калькулятор площади треугольника
Площадь треугольника
1. через основание и высоту
2. через две стороны и угол между ними
3. через сторону и два прилежащих угла
4. через радиус описанной окружности и 3 стороны
5. через радиус вписанной окружности и 3 стороны
6. по формуле Герона
Площадь прямоугольного треугольника
1. через катеты
2. через гипотенузу и прилежащий угол
3. через катет и прилежащий угол
4. через радиус вписанной окружности и гипотенузу
5. через вписанную окружность
6. по формуле Герона
7. через катет и гипотенузу
Площадь равнобедренного треугольника
1. через основание и сторону
2. через основание, боковую сторону и угол
3. через основание и высоту
4. через боковые стороны и угол между ними
5. через основание и угол между боковыми сторонами
Площадь равностороннего треугольника
1. через сторону
2. через высоту
3. через радиус описанной окружности
4. через радиус вписанной окружности
Примеры задач

Площадь треугольника

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}

a — длина основания

h — высота, проведенная к основанию

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin(alpha)}

a и b — стороны треугольника

α — угол между сторонами a и b

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S = dfrac{a^2}{2} cdot dfrac{sin{(alpha)} cdot sin{(beta)}}{sin{(gamma)}}}
{gamma = 180 — (alpha + beta)}

a — сторона треугольника

α и β — прилежащие к стороне a углы

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S = dfrac{a cdot b cdot c}{4 cdot R}}

a, b и c — стороны треугольника

R — радиус описанной окружности

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S = r cdot dfrac{a + b + c}{2}}

a, b и c — стороны треугольника

r — радиус вписанной окружности

Площадь треугольника по формуле Герона

{S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c — стороны треугольника

p — полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен 90 градусов).

Площадь прямоугольного треугольника через катеты

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b}

a и b — стороны треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)}}

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

α — прилежащий к гипотенузе c угол

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot tg{(alpha)}}

a — катет прямоугольного треугольника

α — прилежащий к катету a угол

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S = r cdot (r+c)}

r — радиус вписанной окружности

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S = c_1 cdot c_2}

с₁ и с₂ — отрезки, полученные делением гипотенузы точкой касания окружности

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S = (p-a) cdot (p-b)}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}

a, b и c — стороны треугольника

p — полупериметр треугольника

Площадь прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2}}

a — катет прямоугольного треугольника

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2}}

a — боковая сторона равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание, сторону и угол

{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin{(alpha)}}

a — боковая сторона равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

α — угол между основанием и боковой стороной

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S = dfrac{1}{2} cdot b cdot h}

b — основание равнобедренного треугольника

h — высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot sin(alpha)}

a — боковые стороны равнобедренного треугольника

α — угол между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S = dfrac{b^2}{4 cdot tg {( dfrac{alpha}{2} )}}}

b — основание равнобедренного треугольника

α — угол между боковыми сторонами

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4}}

a — сторона равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}}

h — высота равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S = dfrac{3 sqrt{3} cdot R^2}{4}}

R — радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S = 3 sqrt{3} cdot r^2}

r — радиус описанной окружности

Примеры задач на нахождение площади треугольника

Задача 1

Найдите площадь треугольника со сторонами 13 14 15.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой Герона.

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}

Для начала нам необходимо найти полупериметр p:

p= dfrac{a+b+c}{2}p= dfrac{13+14+15}{2}= dfrac{42}{2} = 21

Теперь можем подставить его в формулу Герона и найти ответ:

S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)} = sqrt{21 cdot (21-13) cdot (21-14) cdot (21-15)} = sqrt{21 cdot (8) cdot (7) cdot (6)} = sqrt{21 cdot 336} = sqrt{7056} = 84 : см^2

Ответ: 84 см²

Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 100.

Решение

Воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{100^2 — 28^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{10000 — 784} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{9216} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot 96 = 14 cdot 96 = 1344 : см^2

Ответ: 1344 см²

Проверим ответ на калькуляторе .

Задача 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.

Решение

Задача аналогична предыдущей, поэтому решение очень похоже.

S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{17^2 — 15^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{289 — 225} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{64} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = 15 cdot 4 = 60 : см^2

Ответ: 60 см²

Проверка .

Задача 4

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 40 см а острый угол равен 60°.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)} = dfrac{1}{4} cdot 40^2 cdot sin{(2 cdot 60°)} = dfrac{1}{4} cdot 1600 cdot sin{(120°)} = 400 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Ответ: 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2

Проверка .

Задача 5

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см а основание 4 см.

Решение

В этой задаче используем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и боковую сторону.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2} = dfrac{4}{4} sqrt{4 cdot 7^2 — 4^2} = sqrt{4 cdot 49 — 16} = sqrt{196 — 16} = sqrt{180} = sqrt{36 cdot 5} = 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641 : см^2

Ответ: 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641

Проверка .

Задача 6

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30, боковая сторона равна 17.

Решение

Решим эту задачу по анологии с предыдущей.

S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 17^2 — 30^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 289 — 900} = dfrac{30}{4} sqrt{1156 — 900} = dfrac{30}{4} sqrt{256} = dfrac{30}{4} cdot 16= 30 cdot 4 = 120 : см^2

Ответ: 120 см²

Проверка .

Задача 7

Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 12 см.

Решение

Используем для решения задачи формулу.

S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 12^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 144}{4} = 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Ответ: 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2

Проверка .

Источник