Как найти площадь треугольника авс по векторам - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Калькулятор онлайн.
Вычисление площади треугольника построенного на векторах.

Этот калькулятор онлайн вычисляет площадь треугольника построенного на векторах. Треугольник может быть задан координатами двух векторов или
координатами трех вершин треугольника.

Онлайн калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac{2}{3} )

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac{5}{7} )

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Определение векторного произведения векторов

Определение
Векторы ( vec{a}, ; vec{b} ) и ( vec{c} ) называются компланарными, если они лежат в одной плоскости
или параллельных плоскостях.

Определение
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, вторым и третьим.

Например, в записи ( ( vec{a} ; vec{b} ; vec{c} ) ) вектор ( vec{a} ) считается первым, ( vec{b} )
— вторым, ( vec{c} ) — третьим.

Определение
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего
вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов
называется левой.

Определение
Векторным произведением вектора ( vec{a} ) на вектор ( vec{b} ) называется вектор
( vec{a} times vec{b} ), который определяется тремя условиями:
1) длина вектора ( vec{a} times vec{b} ) равна ( |vec{a}| |vec{b}| sin varphi ), где ( varphi )
— угол между векторами ( vec{a} ) и ( vec{b} )
2) вектор ( vec{a} times vec{b} ) перпендикулярен каждому из векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} )
3) векторы ( vec{a}, ;; vec{b}, ;; vec{a} times vec{b} ) образуют правую тройку векторов

Заметим, что условия 2 и 3 относятся к случаю, когда ( |vec{a}| |vec{b}| sin varphi neq 0 ), т.е. вектор
( vec{a} times vec{b} neq vec{0} ). Если же ( |vec{a}| |vec{b}| sin varphi = 0 ), то векторное произведение
определяется только условием 1: в этом случае ( vec{a} times vec{b} = 0 )

Основные свойства векторного произведения векторов

1. Если ( vec{a} ) и ( vec{b} ) — коллинеарные векторы, то ( vec{a} times vec{b} = 0 )

2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} ) равна площади параллелограмма,
построенного на этих векторах.

3. ( vec{a} times vec{b} = — vec{b} times vec{a} ) свойство антиперестановочности сомножителей

4. ( ( alpha vec{a} ) times vec{b} = alpha ( vec{b} times vec{a} ) ) свойство сочетательности по отношению к
скалярному произведению

5. ( ( vec{a}+vec{b} ) times vec{c} = vec{a} times vec{c} + vec{b} times vec{c} ) свойство распределительности
относительно суммы векторов.

Выражение векторного произведения через координаты векторов

Теорема
Если векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) заданы своими координатами:
( vec{a} left( a_x; a_y; a_z right), ;; vec{b} left( b_x; b_y; b_z right) ), то векторное произведение
векторов вычисляется по формуле:
( vec{a} times vec{b} = left( a_y b_z — b_y a_z ; ; ; a_z b_x — b_z a_x ; ; ; a_x b_y — b_x a_y right) )

Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде
( vec{a} times vec{b} = left( begin{vmatrix} a_y & a_z \ b_y & b_z end{vmatrix} ; ; ;
begin{vmatrix} a_z & a_x \ b_z & b_x end{vmatrix} ; ; ; begin{vmatrix} a_x & a_y \ b_x & b_y end{vmatrix} right) )

Источник

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Вычисление площади треугольника построенного на векторах.

Этот калькулятор онлайн вычисляет площадь треугольника построенного на векторах. Треугольник может быть задан координатами двух векторов или координатами трех вершин треугольника.

Онлайн калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac<2> <3>)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac<5> <7>)

Онлайн калькулятор. Площадь треугольника построенного на векторах.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь треугольника построенного на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади треугольника построенного на векторах и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

Выберите каким образом задается треугольник:

Введите значения векторов: Введите координаты точек:

Инструкция использования калькулятора для вычисления площади треугольника построенного на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади треугольника построенного на векторах

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Площадь треугольника построенного на векторах

Определение Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Площадь треугольника, построенного на векторах: онлайн-калькулятор

Формула площади треугольника заложена в программе и вычисляет половину модуля векторного произведения:

Чтобы найти площадь треугольника, необходимы задать значения двух векторов или координаты вершин треугольника. После этого вы получите готовое решение с пояснениями и ответ. Сервис используют школьники, их родители, студенты, преподаватели.

Выберите форму представления треугольника «Двумя векторами сторон».
Введите значения векторов a и b в соответствующие поля. Отправьте задание на решение кнопкой «Рассчитать»
Получите решение и ответ.

Выберите форму представления треугольника «Координатами точек».
Введите координаты вершин A, B, C в соответствующие поля. Отправьте задание на решение кнопкой «Рассчитать».
Получите решение и ответ.

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Как найти площадь треугольника, построенного на векторах

Онлайн-калькулятор позволяет учащимся готовиться к занятиям, разбираться в непонятной теме, тренироваться на примерах. Расчеты производятся бесплатно, поэтому вы сможете сэкономить деньги на репетиторе и самостоятельно осваивать материал. Моментальное решение также поможет сдать зачет или экзамен, написать контрольную на хорошую оценку. Родители смогут быстро проверить домашнее задание ребенка, а преподаватели – автоматизировать процесс создания обучающих материалов.

Чтобы вычислить площадь треугольника через векторы, программа выполняет следующие действия:

Анализирует введенные данные. Если указаны координаты точек, рассчитываются векторы a и b.
Находит произведение векторов.
Вычисляет модуль вектора.
Делит результат на 2 и выдает ответ.

С помощью нашего сайта вы сможете изучить, как найти площадь треугольника не только по векторам, но и другими способами. Мы разделили калькуляторы по темам для удобного использования. Так вы быстро найдете нужную тему и получите правильный ответ. В автоматических расчетах исключена потеря данных между действиями, опечатки. Благодаря калькулятору вы сможете сравнить решение с собственным и найти ошибку.

источники:

http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/triangle_area/

http://zaochnik.com/online-calculators/operacii-nad-vektorami/ploshad-treugolnika-postroennogo-na-vektorah/

Источник

Как найти площадь треугольника по координатам его вершин?

1способ:

Найти длины трёх сторон треугольника и вычислить площадь по формуле Герона. Способ удобен, если длины сторон являются целыми числами. В противном случае предстоят громоздкие вычисления.

2 способ:

вывести формулу для нахождения площади и использовать её для вычисления.

Утверждение

Площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), C(x₃;y₃) можно вычислить с помощью формулы

$[S_{Delta ABC} = frac{1}{2}left| {(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )} right|.]$

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC,

A(x₁;y₁), B(x₂;y₂), C(x₃;y₃)

Опустим перпендикуляры из вершин треугольника на координатные оси.

$[S_{Delta ABC} = S_{MACN} + S_{NCBK} - S_{MABK} ]$

$[S_{MACN} = frac{{MA + CN}}{2} cdot MN = frac{{y_1 + y_3 }}{2} cdot (x_3 - x_1 ),]$

$[S_{NCBK} = frac{{NC + BK}}{2} cdot NK = frac{{y_3 + y_2 }}{2} cdot (x_2 - x_3 ),]$

$[S_{MABK} = frac{{MA + BK}}{2} cdot MK = frac{{y_1 + y_2 }}{2} cdot (x_2 - x_1 ).]$

$[S_{Delta ABC} = ]$

$[= frac{{y_1 + y_3 }}{2} cdot (x_3 - x_1 ) + frac{{y_3 + y_2 }}{2} cdot (x_2 - x_3 ) - frac{{y_1 + y_2 }}{2} cdot (x_2 - x_1 ) = ]$

$[= frac{1}{2}[(y_1 + y_3 )(x_3 - x_1 ) + (y_3 + y_2 )(x_2 - x_3 ) - (y_1 + y_2 )(x_2 - x_1 )] = ]$

$[= frac{1}{2}[x_3 y_1 - x_1 y_1 underline { + x_3 y_3 } - x_1 y_3 + x_2 y_3 underline { - x_3 y_3 } + x_2 y_2 - x_3 y_2 - ]$

$[= frac{1}{2}[(x_2 y_3 - x_2 y_1 ) + ( - x_1 y_3 + x_1 y_1 ) + (x_1 y_2 - x_1 y_1 ) + ]$

$[= frac{1}{2}[x_2 (y_3 - y_1 ) - x_1 (y_3 - y_1 ) + x_1 (y_2 - y_1 ) - x_3 (y_2 - y_1 )] = ]$

$[= frac{1}{2}[(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )].]$

С учетом вариантов взаимного расположения точек A, B и C формула для вычисления площади треугольника по координатам его вершин приобретает вид:

$[ S_{Delta ABC} = frac{1}{2}left| {(x_2 - x_1 )(y_3 - y_1 ) - (x_3 - x_1 )(y_2 - y_1 )} right|. ]$

Что и требовалось доказать.

3 способ:

Найти длины двух сторон и косинус угла между ними и вычислить площадь треугольника через стороны и синус угла между ними.

4 способ:

Найти длину и уравнение одной стороны треугольника и длину высоты, проведённой к этой стороне. Вычислить площадь через сторону и высоту.

Рассмотрим эти способы на конкретном примере.

Найти площадь треугольника, вершины которого имеют координаты A(-1;-3), B(3;4), C(5;-5).

1 способ:

Находим длины сторон треугольника ABC.

$[AB = sqrt {(x_B - x_A )^2 + (y_B - y_A )^2 } ]$

$[ AB = sqrt {(3 - ( - 1))^2 + (4 - ( - 3))^2 } = sqrt {16 + 49} = sqrt {65} ;]$

$[AC = sqrt {(x_C - x_A )^2 + (y_C - y_A )^2 } ]$

$[AC = sqrt {(5 - ( - 1))^2 + ( - 5 - ( - 3))^2 } = sqrt {36 + 4} = sqrt {40} ;]$

$[BC = sqrt {(x_C - x_B )^2 + (y_C - y_B )^2 } ]$

$[BC = sqrt {(5 - 3)^2 + ( - 5 - 4)^2 } = sqrt {4 + 81} = sqrt {85} .]$

Поскольку длины сторон выражены иррациональными числами, вычислять площадь треугольника по формуле Герона — не самый лучший способ.

2 способ:

Подставляем в формулу x₁=-1, y₁=-3, x₂=3, y₂=4, x₃=5, y₃=-5:

$[S_{Delta ABC} = frac{1}{2}left| {(3 - ( - 1))( - 5 - ( - 3)) - (5 - ( - 1))(4 - ( - 3))} right| = ]$

$[= frac{1}{2}left| {4 cdot ( - 2) - 6 cdot 7} right| = frac{1}{2} cdot 50 = 25.]$

3 способ:

Угол A образован векторами AC и AB. Отсюда

$[ cos angle A = frac{{overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} }}{{left| {overrightarrow {AB} } right| cdot left| {overrightarrow {AC} } right|}} ]$

Находим координаты векторов:

$[overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A )]$

$[overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A )]$

Скалярное произведение

Длины AB и AC уже знаем:

$[cos angle A = frac{{10}}{{sqrt {65} cdot sqrt {40} }} = frac{{10}}{{sqrt {5 cdot 13} cdot sqrt {5 cdot 4 cdot 2} }} = ]$

$[= frac{{10}}{{5 cdot 2sqrt {26} }} = frac{1}{{sqrt {26} }}.]$

Синус и косинус одного угла связаны соотношением:

Синус угла от 0° до 180° является положительным числом, поэтому

$[sin angle A = sqrt {1 - cos ^2 angle A} ]$

$[sin angle A = sqrt {1 - frac{1}{{26}}} = sqrt {frac{{25}}{{26}}} = frac{5}{{sqrt {26} }}.]$

Отсюда

$[S_{Delta ABC} = frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin angle A,]$

$[S_{Delta ABC} = frac{1}{2} cdot sqrt {65} cdot sqrt {40} cdot frac{5}{{sqrt {26} }} = 25.]$

4 способ:

Найдём уравнение прямой AB. Подставляем координаты A и B в уравнение y=kx+b:

$[left{ begin{array}{l} - 3 = k cdot ( - 1) + b \ 4 = k cdot 3 + b \ end{array} right.]$

Отсюда k=7/4, b=-5/4

$[y = frac{7}{4}x - frac{5}{4},4y = 7x - 5,]$

Найдём расстояние от точки C до прямой AB:

$[d = frac{{left| {7 cdot 5 - 4 cdot ( - 5) - 5} right|}}{{sqrt {7^2 + 4^4 } }} = frac{{50}}{{sqrt {65} }}.]$

Это расстояние равно высоте треугольника, проведённой из вершины C к стороне AB. Отсюда

$[S_{Delta ABC} = frac{1}{2} cdot AB cdot d = frac{1}{2} cdot sqrt {65} cdot frac{{50}}{{sqrt {65} }} = 25.]$

Источник

. Примеры решения
задач по векторной алгебре

Пример 1.
Найти длину
вектора

и его направляющие косинусы.

Решение:

=

Пример 2.
Найти
скалярное произведение векторов
,

Решение: Находим

Так как

и
,
то
.

Пример 3.
Определить,
при каком значении m
векторы 3+ m
и
–
2
будут взаимно перпендикулярны, если
= 7;
= 4;
() = .

Решение:

Если два вектора
взаимно перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно нулю.

Возьмем скалярное
произведение векторов 3+ m
и
– 2
и, приравняв его нулю, найдем m:

(3+ m )(– 2 ) = 0;

3 ²– 6 cos + mcos – 2 m² = 0;

3  49  2 – 6  7   4 + m  7  4 –
2  m  16 = 0;

294 –
168 + 28 m – 32 m = 0,
4 m =126,
m == 31,5.

Пример 4.
Определить
угол между векторами

и
.

Решение:

Так как
cos  ,
то cos  = .
Имеем

2  4 + 1  6 – 3  7
= –7;

=;
=.

Следовательно,

cos  = ,
 = arccos .

Пример 5.
Найти
векторное произведение векторов

и
.

Решение:

Пример 6.
Вычислить
площадь параллелограмма, построенного
на векторах

и

Решение:

Находим векторное
произведение

на
:

Так
как модуль векторного произведения
двух векторов равен площади построенного
на них параллелограмма, то S ===
49 (кв. ед.).

Пример 7.
Найти площадь
треугольника ABC
с вершинами A (1,
2, 0), B (3,
0, –3) и C (5, 2, 6).

Решение:

Площадь треугольника
ABC
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах

и
:
S_ = .
Найдем векторы

и
:

Их векторное
произведение

поэтому
 = 4 = 4 = 28,
и следовательно, S_ =
14 (кв.
ед.)

Пример 8.
Вычислить
площадь параллелограмма, построенного
на векторах
=
6– 3
и
= 3 + 2
, если = 3;
= 5;
()= .

Решение:

Имеем 18 ()
–9 () +12 () – 6 () = 21(),
где

Итак,
S == 21 3  5 = 157,5
(кв. ед.)

Пример 9. Найти
смешанное
произведение
векторов
,

Решение:

Пример 10.
Показать,
что векторы
,

и

компланарны.

Решение:

Так как
,
то заданные векторы компланарны.

Пример 11.
Найти объем
треугольной пирамиды с вершинами
A (2, 2, 2),
B (4, 3, 3),
C (4, 5, 4)
и D (5, 5, 6).

Решение:

Найдем векторы

и
,
совпадающие с ребрами пирамиды,
сходящимися в вершине A:

Находим смешанное
произведение этих векторов:

Так как объем
пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда,
построенного на векторах

и
,
то V_пир =

(куб. ед.).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Немного теории.

Решение задач по математике онлайн

Калькулятор онлайн.Вычисление площади треугольника построенного на векторах.

Онлайн калькулятор. Площадь треугольника построенного на векторах.

Калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

Инструкция использования калькулятора для вычисления площади треугольника построенного на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади треугольника построенного на векторах

Теория. Площадь треугольника построенного на векторах

Площадь треугольника, построенного на векторах: онлайн-калькулятор

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Как найти площадь треугольника, построенного на векторах

Калькулятор онлайн.
Вычисление площади треугольника построенного на векторах.