I. Площадь треугольника через синус
Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.
Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5
Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.
Сторона a= | Сторона b= | Угол γ ° | |
Ответ: Площадь треугольника = 3.000 |
Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:
Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:
Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.
II. Площадь треугольника через косинус
Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.
Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:
Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.
Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону с. По таблице косинусов косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов.
Теперь используя формулу, найдем площадь треугольника по трем сторонам:
Сторона a= | Сторона b= | Угол γ ° | |
Ответ: Площадь треугольника = 4.243 |
Площадь треугольника через углы, формула
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними, формула
Если известно две стороны треугольника и угол между ними, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина произведения этих сторон умноженная на синус угла между ними.
Площадь треугольника через одну сторону и прилежащие к ней углы, формула
Если известна одна сторона треугольника и два прилежащих к ней угла, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина квадрата данной стороны умноженная на дробь, в числителе которой, произведение синусов прилежащих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Противолежащий угол вычисляется по формуле:
Площадь треугольника вычисляется по формулам:
Как найти площадь треугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.
По формуле Герона
Формула Герона для нахождения площади треугольника:
Через основание и высоту
Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:
Через две стороны и угол
Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:
Через сторону и два прилежащих угла
Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.
Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:
Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла
R — большая полуось
r — малая полуось
π ≈ 3.14
Формула площади эллипса, через полуоси:
Калькулятор, вычислить площадь элипса:
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
а — нижнее основание
b — верхнее основание
с — равные боковые стороны
α — угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, ( S ):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, ( S ):
2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность
R — радиус вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности
O — центр вписанной окружности
H — высота трапеции
α , β — углы трапеции
а — нижнее основание
b — верхнее основание
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, ( S ):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
R — радиус вписанной окружности
m — средняя линия
O — центр вписанной окружности
c — боковые стороны
а — нижнее основание
b — верхнее основание
Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию ( S ):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d — диагональ трапеции
α , β — углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, ( S ):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
c — боковая сторона
m — средняя линия трапеции
α , β — углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, ( S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
a — нижнее основание
b — верхнее основание
h — высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, ( S ):
a , b , c — стороны треугольника
α , β , γ — противолежащие углы
Площадь треугольника через сторону и два угла (S):
Формулы для треугольника:
Зная длины всех трех сторон
и используя формулу Герона можно найти площадь разностороннего треугольника
a , b , c — стороны треугольника
p — полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника:
Формулы для треугольника:
Треугольник это плоская фигура, которая имеет три стороны и три угла. Сумма всех трех углов, равна 180 градусов.
Высота треугольника это — опущенный перпендикуляр из вершины угла на противоположенную сторону или ее продолжение, которую в этом случае, называют основанием.
Что бы найти площадь треугольника,
для этого надо основание умножить на высоту и разделить на два
1. Площадь разностороннего треугольника
h — высота треугольника
Формула площади треугольника (S):
Калькулятор для расчета площади треугольника
2. Площадь треугольника с тупым углом
h — высота треугольника
Формула площади треугольника с тупым углом (S):
Формулы для треугольника:
Зная у треугольника
две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь
a , b , c — стороны треугольника
α , β , γ — углы
Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника:
Формулы для треугольника:
Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется — гипотенуза
1. Если известны только катеты
a , b — катеты треугольника
Формула площади треугольника через катеты ( S ) :
2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет
c — гипотенуза
a , b — катеты
α , β — острые углы
Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :
Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :
Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если
то справедливы следующие тождества:
3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза
c — гипотенуза
c 1 , c 2 — отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности
r — радиус вписанной окружности
О — центр вписанной окружности
Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :
b — основание треугольника
a — равные стороны
h — высота
Формула площади треугольника через высоту h и основание b , (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника через высоту и основание:
Формула площади треугольника через, стороны a , b , (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника через равные стороны и основание:
b — основание треугольника
a — равные стороны
h — высота
Формулы для треугольника:
Если вы знаете сторону или высоту
вы можете найти площадь равностороннего треугольника
a — сторона треугольника
h — высота
Площадь треугольника через сторону a и высоту h , (S):
Площадь треугольника только через сторону a , (S):
Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника
Площадь треугольника только через высоту h , ( S ):
Калькулятор для расчета площади равностороннего треугольника
a — сторона треугольника
h — высота
Формулы для треугольника:
Формула площади круга, диаметр
Круг это плоская фигура, все точки которой, расположены на любом расстоянии от определенной точки (центр круга) но не больше заданной длины (радиус).
Радиус круга — отрезок, соединяющий центр окружности и любую, максимально удаленную от центра точку круга.
Диаметр круга — отрезок, соединяющий две любые точки максимально удаленные от центра круга и проходящий через этот центр. Диаметр, в два раза больше радиуса
или радиус круга или длину окружности, можно найти его площадь.
r — радиус круга
D — диаметр круга
Формула площади круга, (S):
на тему: Площадь круга
Калькулятор для расчета площади круга через радиус
Калькулятор для расчета площади круга через диаметр
L — длина окружности
О — центр круга
Формула площади круга если известна длина окружности, (S):
на тему: Площадь круга
Калькулятор для расчета площади круга через длину
Площадь кольца равна — число π , умноженное на разницу квадратов, радиуса внешней окружности и радиуса внутренней окружности
R — радиус внешней окружности
r — радиус внутренней окружности
Формула площади кольца (S):
Калькулятор — вычислить, найти площадь кольца
R — радиус внешней окружности
r — радиус внутренней окружности
α — угол сектора AOB, в градусах
Формула площади сектора кольца (S):
R — радиус круга
α — угол сегмента в градусах
Формула площади сегмента круга (S), отсекаемая хордой AC :
Калькулятор для расчета длины дуги окружности :
Формулы для окружности и круга:
Найти площадь сектора круга если даны радиус и длина дуги или радиус и центральный угол
r — радиус круга
L — длина дуги AB
α — угол сектора круга AOB в градусах
Формула площади сектора круга (S), через длину дуги ( L ):
Формула площади сектора круга (S), через угол ( α ):
Формулы для окружности и круга:
Вычислить площадь ромба, зная: (диагонали) или (сторону и угол между ними) или (диагональ и угол между сторонами)
a — сторона ромба
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α — острый угол
β — тупой угол
Формулы площади ромба через диагонали и углы между сторонами ( S ):
a — сторона ромба
h — высота
r — радиус вписанной окружности
Формула площади ромба через высоту или радиус вписанной окружности ( S ):
1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы
a, b — стороны параллелограмма
α , β — углы параллелограмма
Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):
Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:
2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
a, b — стороны параллелограмма
H b — высота на сторону b
H a — высота на сторону a
Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, ( S ):
3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
D — большая диагональ
d —меньшая диагональ
α , β — углы между диагоналями
Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , ( S ):
Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:
Формулы для параллелограмма:
http://mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle
http://www-formula.ru/2011-09-21-23-43-54/24-elementgeom/ploshadploskfigur
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}
Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного (разностороннего) по 22 формулам.
- Калькулятор площади треугольника
- Площадь треугольника
- через основание и высоту
- через две стороны и угол между ними
- через сторону и два прилежащих угла
- через радиус описанной окружности и 3 стороны
- через радиус вписанной окружности и 3 стороны
- по формуле Герона
- Площадь прямоугольного треугольника
- через катеты
- через гипотенузу и прилежащий угол
- через катет и прилежащий угол
- через радиус вписанной окружности и гипотенузу
- через вписанную окружность
- по формуле Герона
- через катет и гипотенузу
- Площадь равнобедренного треугольника
- через основание и сторону
- через основание, боковую сторону и угол
- через основание и высоту
- через боковые стороны и угол между ними
- через основание и угол между боковыми сторонами
- Площадь равностороннего треугольника
- через сторону
- через высоту
- через радиус описанной окружности
- через радиус вписанной окружности
- Примеры задач
Площадь треугольника
Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
Площадь треугольника через основание и высоту
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot h}
a — длина основания
h — высота, проведенная к основанию
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin(alpha)}
a и b — стороны треугольника
α — угол между сторонами a и b
Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла
{S = dfrac{a^2}{2} cdot dfrac{sin{(alpha)} cdot sin{(beta)}}{sin{(gamma)}}}
{gamma = 180 — (alpha + beta)}
a — сторона треугольника
α и β — прилежащие к стороне a углы
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны
{S = dfrac{a cdot b cdot c}{4 cdot R}}
a, b и c — стороны треугольника
R — радиус описанной окружности
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны
{S = r cdot dfrac{a + b + c}{2}}
a, b и c — стороны треугольника
r — радиус вписанной окружности
Площадь треугольника по формуле Герона
{S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}
a, b и c — стороны треугольника
p — полупериметр треугольника
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (равен 90 градусов).
Площадь прямоугольного треугольника через катеты
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b}
a и b — стороны треугольника
Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и прилежащий угол
{S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)}}
c — гипотенуза прямоугольного треугольника
α — прилежащий к гипотенузе c угол
Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол
{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot tg{(alpha)}}
a — катет прямоугольного треугольника
α — прилежащий к катету a угол
Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу
{S = r cdot (r+c)}
r — радиус вписанной окружности
c — гипотенуза прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность
{S = c_1 cdot c_2}
с1 и с2 — отрезки, полученные делением гипотенузы точкой касания окружности
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
{S = (p-a) cdot (p-b)}
{p= dfrac{a+b+c}{2}}
a, b и c — стороны треугольника
p — полупериметр треугольника
Площадь прямоугольного треугольника через катет и гипотенузу
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2}}
a — катет прямоугольного треугольника
c — гипотенуза прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.
Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону
{S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2}}
a — боковая сторона равнобедренного треугольника
b — основание равнобедренного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника через основание, сторону и угол
{S = dfrac{1}{2} cdot a cdot b cdot sin{(alpha)}}
a — боковая сторона равнобедренного треугольника
b — основание равнобедренного треугольника
α — угол между основанием и боковой стороной
Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту
{S = dfrac{1}{2} cdot b cdot h}
b — основание равнобедренного треугольника
h — высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними
{S = dfrac{1}{2} cdot a^2 cdot sin(alpha)}
a — боковые стороны равнобедренного треугольника
α — угол между боковыми сторонами
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами
{S = dfrac{b^2}{4 cdot tg {( dfrac{alpha}{2} )}}}
b — основание равнобедренного треугольника
α — угол между боковыми сторонами
Площадь равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
{S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4}}
a — сторона равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника через высоту
{S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}}
h — высота равностороннего треугольника
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
{S = dfrac{3 sqrt{3} cdot R^2}{4}}
R — радиус описанной окружности
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
{S = 3 sqrt{3} cdot r^2}
r — радиус описанной окружности
Примеры задач на нахождение площади треугольника
Задача 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 13 14 15.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой Герона.
S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)}
Для начала нам необходимо найти полупериметр p:
p= dfrac{a+b+c}{2}p= dfrac{13+14+15}{2}= dfrac{42}{2} = 21
Теперь можем подставить его в формулу Герона и найти ответ:
S = sqrt{p cdot (p-a) cdot (p-b) cdot (p-c)} = sqrt{21 cdot (21-13) cdot (21-14) cdot (21-15)} = sqrt{21 cdot (8) cdot (7) cdot (6)} = sqrt{21 cdot 336} = sqrt{7056} = 84 : см^2
Ответ: 84 см²
Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 100.
Решение
Воспользуемся формулой.
S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{100^2 — 28^2} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{10000 — 784} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot sqrt{9216} = dfrac{1}{2} cdot 28 cdot 96 = 14 cdot 96 = 1344 : см^2
Ответ: 1344 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 3
Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 17.
Решение
Задача аналогична предыдущей, поэтому решение очень похоже.
S = dfrac{1}{2} cdot a cdot sqrt{c^2 — a^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{17^2 — 15^2} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{289 — 225} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot sqrt{64} = dfrac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = 15 cdot 4 = 60 : см^2
Ответ: 60 см²
Проверка .
Задача 4
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза его равна 40 см а острый угол равен 60°.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой.
S = dfrac{1}{4} cdot c^2 cdot sin{(2 alpha)} = dfrac{1}{4} cdot 40^2 cdot sin{(2 cdot 60°)} = dfrac{1}{4} cdot 1600 cdot sin{(120°)} = 400 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2
Ответ: 200 sqrt{3} : см^2 approx 346.41016 : см^2
Проверка .
Задача 5
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 7 см а основание 4 см.
Решение
В этой задаче используем формулу для нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и боковую сторону.
S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2} = dfrac{4}{4} sqrt{4 cdot 7^2 — 4^2} = sqrt{4 cdot 49 — 16} = sqrt{196 — 16} = sqrt{180} = sqrt{36 cdot 5} = 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641 : см^2
Ответ: 6sqrt{5} : см^2 approx 13.41641
Проверка .
Задача 6
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 30, боковая сторона равна 17.
Решение
Решим эту задачу по анологии с предыдущей.
S = dfrac{b}{4} sqrt{4a^2 — b^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 17^2 — 30^2} = dfrac{30}{4} sqrt{4 cdot 289 — 900} = dfrac{30}{4} sqrt{1156 — 900} = dfrac{30}{4} sqrt{256} = dfrac{30}{4} cdot 16= 30 cdot 4 = 120 : см^2
Ответ: 120 см²
Проверка .
Задача 7
Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 12 см.
Решение
Используем для решения задачи формулу.
S = dfrac{sqrt{3} cdot a^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 12^2}{4} = dfrac{sqrt{3} cdot 144}{4} = 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2
Ответ: 36 sqrt{3} : см^2 approx 62.35383 : см^2
Проверка .
Площадь треугольников.
Свойства треугольников.
Тригонометрия в прямоугольных треугольниках.
Что такое синус/косинус.
Таблицы Брадиса. Как пользоваться.
Теорема синусов и косинусов.
Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.
Г. Абель
С основными свойствами разобрались, теперь рассмотрим формулы и их приминение.
Площадь произвольного треугольника
Нет, это не кривая пентаграмма, нужны на этом рисунке только обозначения. Рассмотрим формулы школьной программы.
Высоту умножаем на ту сторону, на которую приходит высота:
В эту формулу подставляем угол между сторонами a и b:
Удобно использовать эту формулу, когда известны все стороны треугольника, p — полупериметр (половина суммы длин всех сторон):
Данная формула отлично помогает найти радиус вписанной окружности для любого треугольника, если известна площадь:
А эта формула помогает найти радиус описанной окружности для любого треугольника:
А зачем такое количество формул? К каждой задаче будут предоставлять разное дано, удобно знать и применять все формулы, чтобы максимально быстро решать задачи.
Полезные формулы для прямоугольного и равностороннего треугольника:
В данном случае получается, что один катет «b» — высота треугольника, а катет «а» — основание.
Эту формулу можно вывести большим количеством способов, самый простой через формулу №2
Задача №1. Дано на рисунке:
Оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Помимо 5 формул для произвольного треугольника, нам подойдет формула нахождения площади через полупроизведение катетов.
Вариантов здесь много (можно через т. Пифагора), но самый быстрый — найти ∠А = 180°− 90° − 60° = 30°, тогда площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα
Ответ: 60
Задача №2. Дано на рисунке:
Снова оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Дан обычный треугольник, значит, наш выбор ограничен первыми 5−ью формулами. В первой нужна высота, во второй угол, а в третьей полупериметр, но мы же знаем все стороны! Для начала найдем периметр и полупериметр:
Теперь можно подставить все числа в формулу площади:
Главное — правильно определиться с формулой.
Ответ: 84
Задача №3. Дано на рисунке:
В ΔABH: ∠A = 180°− 90° − 45° = 45°, значит, ∠A = ∠B => BH = AH = 12.
Тогда площадь можно найти по формуле (1) S=½bh. Высота AH = 12, основание AC = 16+12 = 28. => S = ½×12×28 = 168
Ответ: 168.
Задача №4. Дано на рисунке:
Оттолкнемся от отношения, которое нам дано. Мы знаем, что сумма данных углов равна 90°, если ∠ACM = х и ∠ВCM = 2х, тогда 2х+х = 90°
∠ACM = х = 30° => ∠ВCM = 60°. А что у нас равно 4-ем? Да, медиана! А медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы (2−ое свойство). Тогда отметим равные углы:
В ΔBCM получается ∠ВCM = ∠СВM = 60°, тогда ∠СМВ = 60° и ΔBCM — правильный:
Площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα:
Ответ: 8√3
Задача №5. Дано на рисунке:
В дано есть только стороны, а найти нужно угол. Как это сделать? Вот стороны 14,2 и 7,1 во сколько раз отличаются? Да, в 2 раза, а значит угол ∠BAL = 30° (против угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы).
Значит, ∠A = 60° => ∠ACB = 180° − 90° − 60° = 30°, а ∠ACB — смежный с ∠ACV => ∠ACV = 180° − 30° = 150°.
Что касается LC: внимательно рассмотрим ΔALC, можно даже лупой воспользоваться. Что видишь? ∠LAC = ∠ACL = 30° => ΔALC — равнобедренный, LC = AL = 14,2.
Ответ: 14,2 и 150°
Тригонометрия в прямоугольных треугольниках
В прямоугольном треугольнике три стороны: 2 катета и гипотенуза.
Катеты меньшие стороны треугольника. Гипотенуза большая сторона, которая лежит напротив угла в 90°.
Относительно угла α:
Катет, который составляет угол, называют прилежащим. Катет, который находится напротив угла, называют противолежащим. Логично? Замечательно!
Тригонометрические функции (синус, косинус…) задают связь между углом и длинами сторон.
Но хорошо бы знать какие-то значения тригонометрических функций при определенных углах. Все значения вместе образуют таблицу Брадиса. С ее помощью можно вычислить почти любое значение тригонометрической функции при заданом угле. Но как с ней работать?
Найдем sin(10°). Для этого выберем столбец sin и в нем найдем 10°. Ближайшее значение — это то, что нам нужно — 0,1736.
А что за столбец 0′; 6′; 12′ и т.д. Это минуты! Не те, которых мы ждем в конце урока, а градусные минуты.
Из общего: и те, и другие минуты измеряются в промежутке от 0 до 60.
Градусные минуты делят один градус на 60 минут (1°=60′), нужны они для большей точности задания угла.
p.s. Есть еще и градусные секунды, и в одной градусной минуте 60 градусных секунд, знакомо? 1° = 60′ = 3600».
Найдем cos(77,7°)
Семь десятых градуса нужно перевести в минуты. Можно через пропорцию:
Теперь в таблице нужно найти 77°42′ для косинуса. Для синуса минуты прописаны, а для косинуса нет. Но мы же люди не гордые, сами напишем, но в обратном порядке. На пересечении 77° и 42′ получаем наше значение:
Но чтобы не загромождать таблицу 0, его в начале пишут только в первых строчках, поэтому ответ cos(77,7°) = 0,213.
В задачах же таким обилием углов похвастаться нельзя, достаточно знать значения для 30°; 45°; 60°; 90°.
Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов — иногда,
даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.
И.Д. Новиков
Задача №6. Дано на рисунке:
В этой задаче известен противолежащий катет относительно угла в 45°, а найти нужно гипотенузу. Смотрим, где у нас есть противполежащий катет и гипотенуза? Это синус!
Смотрим в таблице, чему равен синус 45°, и подставляем в отношение:
Ответ: 16√2
Задача №7. Дано на рисунке:
Мы разобрались с тригонометрическими функциями в прямоугольных треугольниках, значит, и в этой задаче нужно перейти к прямоугольному треугольнику.
В ΔLTK — равнобедренный : ∠L = ∠LKT = (180° − 120°)/2 = 30°
Отлично, в прямоугольном ΔLVK: ∠L = 30° и известна гипотенуза, а нам нужно найти противолежащий катет, чем воспользуемся? Опять синусом!
Ответ: 15
Теорема синусов и теорема косинусов
Сразу возникает вопрос, а теорема тангенсов тоже есть? Конечно, есть, но она очень редко используется.
Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема синусов:
Запомни, что сторона относится к синусу противолежащего угла.
Следствие из теорма синусов гласит, что любое соотношение равно двум радиусам описанной окружности:
Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема косинусов:
А что будет, если α = 90°, а cos(90) = 0? Получится:
Теорема Пифагора, вот так просто можно запомнить теорему косинусов. Начать как теорему Пифагора, а затем вычесть удвоенное произведение на косинус угла между ними.
Можно записать и для других сторон в этом же треугольнике:
Задача №8. Дано на рисунке:
Запишем теорему синусов для двух отношений:
Выразим отсюда KT:
∠K = 180° − 60° − 45° = 75°. Чтобы найти синус угла 75°, советую посмотреть эту статью, нужно воспользовать формулой суммы синусов:
Тогда представим 75° в виде двух табличных значений:
Аналогично выразим LT:
Ответ: 16,3 и 22,3
Задача №9. Дано на рисунке:
Найти нужно x и y. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:
Икс выразим через игрек:
Ответ: 48; 18
Отлично, поздравляю тебя с Elementary по геометрии!
Что нужно знать:
- Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы.
- Равенство и подобие треугольников.
- Что такое медиана, биссектриса, высота.
- Свойства треугольников.
- Площадь треугольников.
- Синус/косинус в треугольнике.
- Теорему синусов и косинусов.
Задачи для закрепления по треугольникам
Нашел опечатку, или что-то непонятно — напиши.
Группа с полезной информацией и легким математическим юмором.
Площадь треугольника через углы, формула
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними, формула
Если известно две стороны треугольника и угол между ними, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина произведения этих сторон умноженная на синус угла между ними.
[ S = frac{1}{2} a b sin(γ) ]
[ S = frac{1}{2} a c sin(β) ]
[ S = frac{1}{2} b c sin(α) ]
Площадь треугольника через одну сторону и прилежащие к ней углы, формула
Если известна одна сторона треугольника и два прилежащих к ней угла, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина квадрата данной стороны умноженная на дробь, в числителе которой, произведение синусов прилежащих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла.
Противолежащий угол вычисляется по формуле:
[ γ = 180° — (α + β) ]
[ β = 180° — (α + γ) ]
[ α = 180° — (β + γ) ]
Площадь треугольника вычисляется по формулам:
[ S = frac{1}{2} a^2 frac{sin(β)sin(γ)}{sin(α)} ]
[ S = frac{1}{2} b^2 frac{sin(α)sin(γ)}{sin(β)} ]
[ S = frac{1}{2} c^2 frac{sin(α)sin(β)}{sin(γ)} ]
Ссылки по теме
Площадь треугольника через углы |
стр. 303 |
---|