Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.
Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:
Дано:
∆ ABC,
окружность (O; r) — вписанная,
AB=c, BC=a, AC=b,
Доказать:
Доказательство:
Рассмотрим треугольник AOC.
(как радиус, проведенный в точку касания).
Следовательно, OF — высота треугольника AOC.
По формуле
Аналогично найдем
площади
треугольников
AOB и BOC:
Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то
Что и требовалось доказать.
Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:
где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.
Вычисление площади треугольника при помощи радиуса вписанной окружности
Содержание:
-
Формула 1Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
- Как найти, теорема и доказательство, формула
- Примеры решения задач с ответами
Формула 1Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
Как найти, теорема и доказательство, формула
Теорема 1
Площадь треугольника равна произведению полупериметра данного треугольника на радиус вписанной в него окружности.
Формула 1
S=pr где p — полупериметр,
r — радиус вписанной окружности,
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
a, b, c — стороны треугольника.
Доказательство:
Пусть у ΔABC стороны равны a, b, c. AС=а, АВ=b, ВС=с. В ΔABC вписана окружность с центром в точке О и радиусом r.
Проведем отрезки ОА и ОС. Радиус r является высотой ΔАОС, проведенной к АС, по свойству касательной к окружности и ее радиуса. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания и проведенной к этому основанию высоты,
(S_{Delta AОC}=frac12a·r.)
Таким же образом найдем площади треугольников АОВ и ВОС.
(S_{Delta AОВ}=frac12b·r, )
(S_{Delta BОC}=frac12c·r.)
ΔABC разбит отрезками ОА, ОВ и ОС на ΔAОВ, ΔAОC и ΔBОC, и его площадь равна сумме площадей данных треугольников.
(S_{Delta AВС}=S_{Delta AОC}+S_{Delta AОВ}+S_{Delta BОC},)
(S_{Delta AВС}=frac12a·r+frac12b·r+frac12c·r,)
(S_{Delta AВС}=frac12rleft(а+b+cright).)
Периметр ΔABC равен сумме его трех сторон, а полупериметр равен (frac{left(a+b+cright)}2. )
Отсюда делаем вывод, что (S_{Delta AВС}=pr), где p — полупериметр.
Теорема доказана.
Примеры решения задач с ответами
Задача 1
Дано: ΔDEF — равнобедренный, DE=EF. В ΔDEF вписана окружность, к которой проведена касательная КМ.
При этом КМ||EF.
(DK=frac38·EF. S_{Delta DEF}=12 см^2.)
Найти: радиус вписанной окружности.
Решение:
Пусть N — точка касания окружности и КМ, Р — точка касания окружности и DE, Н — точка касания окружности и DF.
Обозначим DE=EF=а, DH=HF=b.
Тогда DP=b, так как DP=DH.
MN=MH.
KP=KN.
DP=DK+KP=DK+KN.
DH=DM+MH=DM+MN.
DP=DH.
ΔDKM и ΔDEF подобны.
Пусть (p_1) и p — их полупериметры. Тогда полупериметр (ΔDKM p_1=DP=DH=b.)
Полупериметр ΔDEF p=DE+DH=a+b
(p_1:p=DK:DE=3:8)
b=3a/5
Так как квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то (EH^2=DE^2-DH^2=a^2-(3a/5)^2. )
Так как (S_{Delta DEF}=EH·DH), то (12=b·4a/5=3a/5·4a/5. a=5, b=3.)
Следовательно, радиус вписанной окружности (r=frac{S_{Delta DEF}}p=frac{12}{a+b}=frac32 (см).)
Ответ: радиус вписанной окружности равен 1,5 см.
Задача 2
Дано: ΔАВС — равнобедренный. Его основание АС равно 12 см, а высота, проведенная к основанию — 8 см. В треугольник вписана окружность, к которой проведена касательная КМ, параллельная основанию.
Найти: КМ.
Решение:
ΔАВС и ΔКВМ подобны. Найдем коэффициент их подобия.
(S_{Delta АВС}=12·8=96 (см^2). )
По теореме Пифагора найдем АВ и затем вычислим р — полупериметр ΔАВС, р=32 (см).
Радиус вписанной окружности (r=frac{S_{Delta АВС}}р=96:32=3 (см).)
Диаметр вписанной окружности равен 6 см, а высота ΔКВМ, проведенная к КМ равна 2 см.
Коэффициент подобия ΔАВС и ΔКВМ равен (frac14.)
Значит (КМ=frac14·АС=3 (см).)
Ответ: КМ=3 см.
Как найти площадь треугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.
По формуле Герона
Формула Герона для нахождения площади треугольника:
— полупериметр треугольника; a,b,c — стороны треугольника.
Через основание и высоту
Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:
a — основание треугольника; h — высота треугольника.
Через две стороны и угол
Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:
a,b — стороны треугольника; α — угол между сторонами.
Через сторону и два прилежащих угла
Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<
a— сторона треугольника; α и β — прилежащие углы.
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.
Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:
a, b — катеты треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:
a, b — стороны треугольника.
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:
a — основание равнобедренного треугольника; α — угол между сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:
a — сторона равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:
h — высота равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
r — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:
r — радиус описанной окружности равностороннего треугольника.
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:
a, b, c — стороны треугольника; r — радиус описанной окружности треугольника.
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:
p — полупериметр треугольника;a, b, c — стороны треугольника; r — радиус вписанной окружности треугольника.
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.
Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:
окружность (O; r) — вписанная,
Рассмотрим треугольник AOC.
(как радиус, проведенный в точку касания).
Следовательно, OF — высота треугольника AOC.
Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то
Что и требовалось доказать.
Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:
где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.
2 Comments
Полезно, вспомнить курс школьной геометрии.
Разработчики сайта дерзайте дальше.
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
- Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
- Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
- Поделите все на 4.
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
- Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
- Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
- Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
- Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
- Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
- Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
- Найдите квадратный корень.
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Площадь треугольника
Определение площади треугольника
Площадь треугольника — это величина, которая
показывает какие размеры у треугольника.
Сейчас, на примере покажем, что такое площадь,
а также, как можно найти площадь треугольника.
Площадь треугольника, можно очень легко объяснить
на примере прямоугольного треугольника в клеточном поле.
Площадь, в нашем случае, будет равна количеству клеток.
Для наглядности, нарисуем прямоугольный треугольник
ABC, со длинами сторон 3, 4 и 5, как на рисунке 2. Отметим, что он прямоугольный.
Посчитаем количество клеток, которые занимает треугольник.
3 полных клетки, и 4 неполных клетки, но для того, чтобы узнать
площадь треугольника в клеточном поле нам нужно узнать количество
полных клеток, которые занимает весь треугольник. Наша задача в том,
чтобы неполные клетки преобразовать в полные.
Для этого нарисуем второй треугольник, так,
чтобы получился прямоугольник, как на рисунке 3.
Как видим, весь прямоугольник занимает 12 полных клеток.
Формула площади прямоугольника равна произведению
одной стороны на другую — ( S = ab ) ,
поэтому площадь прямоугольника равна 3 * 4 = 12 клеткам.
Площадь треугольника, из которого состоит прямоугольник,
можно найти по другой формуле: ( S = frac<1>2 ab ) .
Подставив значения длин сторон, получаем — S = 0.5 * 3 * 4,
из чего следует, что S = 6 клетками, или же квадратным сантиметрам.
Прямоугольник можно условно разделить
на два треугольника, поэтому площадь треугольника
равна половине площади прямоугольника.
Формула площади треугольника — это формула,
по которой можно найти площадь треугольника.
Формулы площади треугольника применяют, только,
и только тогда, когда невозможно узнать площадь
треугольника, глядя на рисунок, или просто посчитав клетки.
Формулы площади треугольника
Ⅰ. Через высоту и основание
a — сторона, на которую падает высота,
b — высота.
Самая известная формула площади треугольника.
Зная только высоту и сторону, на которую падает
эта высота, можно найти площадь треугольника.
Ⅱ. Через все стороны и периметр
p — полупериметр, вычисляется по формуле: ( p = frac <2>) ,
a, b, c — стороны треугольника.
Это формулу, нужно использовать когда известны
все три стороны треугольника. Зная три стороны
треугольника можно найти периметр, а дальше
найти и площадь заданного треугольника.
Эту формулу площади также называют формулой Герона.
Ⅲ. Через две стороны и угол между ними
[ S = frac<1> <2>a cdot b cdot sin β ]
a, b — стороны между которыми расположен угол β,
sin β — синус угла β.
Формула применяется, когда известен
один из углов, и две стороны, образующие
этот угол. В некоторых задачах площадь
треугольника можно найти только по этой формуле.
Ⅳ. Через периметр и радиус вписанной окружности
[ S = r cdot frac
2 ]
r — радиус вписанной окружности,
P — периметр треугольника.
Тут даже не обязательно знать все стороны треугольника,
достаточно знать периметр и радиус описанной окружности.
Ⅴ. Через все стороны и радиус описанной окружности
abc — произведение всех сторон треугольника,
R — радиус описанной окружности.
Пожалуй, единственная формула, где площадь
треугольника можно найти только через радиус
описанной окружности и произведение трех сторон.
Ⅵ. Через сторону и два прилежащих к ней угла
a — сторона треугольника,
sin α — синус угла α,
sin β — синус угла β.
Готов поспорить, вы даже ни разу не видели этой формулы.
Эта очередная формула площади треугольника, применяется
в крайне редких случаях — когда известны два угла и сторона,
к которой эти углы примыкают.
http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika
http://colibrus.ru/ploschad-treugolnika/
Довольно часто дается задача, в которой в треугольник вписана окружность. В этом случае можно применяется формула площади треугольника через радиус вписанной окружности.
Чтобы найти площадь треугольника потребуются длины всех сторон и радиус окружности. Радиус – это половина диаметра. То есть, если по условиям дана длина диаметра, ее необходимо просто поделить пополам.
Для начала просчитываем полупериметр треугольника. Он находится по фомуле:
Зная полупериметр и длину радиуса, вычисляем площадь по формуле
Пример расчета площади треугольника через радиус вписанной окружности:
Дан треугольник со сторонами a = 2 см, b = 3 см, c = 4 см, в который вписана окружность с радиусом 2 см.
Для начала находим полупериметр:
Далее подставляем данные в следующую формулу:
Площадь треугольника равняется 9 кв.см
a= | b= | c = | r= | |
Ответ: Площадь треугольника = 9.000 |
Иногда требуется найти площадь треугольника, зная площадь окружности. В этом случае потребуется сначала вычислить радиус окружности. Площадь круга равняется:
где число Пи и является постоянной величиной.
Отсюда выводим формулу расчета радиуса:
Теперь можно использовать формулу площади треугольника через площадь вписанной окружности:
Рассмотрим пример расчета площади треугольника через площадь вписанной окружности. Дан треугольник со сторонами a = 2 см., b = 3 см., c = 4 см. Площадь вписанной окружности = 12,5 см. Подставляем данные в формулу:
Площадь треугольника равна 9 кв. см
Таким образом, зная площадь окружности и длины всех сторон, можно прочитать площадь треугольника.
a= | b= | c = | S= | |
Ответ: Площадь треугольника = 9.000 |