Как найти площадь треугольника через среднюю линию - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

На чтение 4 мин Просмотров 2.3к. Опубликовано 04.07.2019

Содержание

Содержание
Средняя линия треугольника [ править | править код ]
Свойства [ править | править код ]
Признаки [ править | править код ]
Средняя линия четырёхугольника [ править | править код ]
Свойства [ править | править код ]
Средняя линия трапеции [ править | править код ]

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Содержание

Средняя линия треугольника [ править | править код ]

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника [1] .

Свойства [ править | править код ]

средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки [ править | править код ]

Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника [ править | править код ]

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства [ править | править код ]

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции [ править | править код ]

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: E F = A D + B C 2 <displaystyle EF=<frac <2>>> , где AD и BC — основания трапеции.

07.06.2019

5 июня Что порешать по физике

30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике

Площадь треугольника ABC равна 176, DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему с коэффициентом подобия Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Источник

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

$[S = frac{1}{2}a cdot {h_a}]$

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

$[m = frac{1}{2}a,]$

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

$[S = m cdot {h_a}]$

Вывод:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Поскольку

$[MN = frac{1}{2}AC,]$

то

$[frac{{MN}}{{AC}} = frac{{MB}}{{AB}} = frac{{NB}}{{CB}} = frac{1}{2}.]$

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

$[frac{{{S_{Delta MBN}}}}{{{S_{Delta ABC}}}} = {(frac{1}{2})^2} = frac{1}{4},]$

то есть

$[{S_{Delta MBN}} = frac{1}{4}{S_{Delta ABC}}.]$

Вывод:

$[{S_{Delta MBN}} = frac{1}{4}{S_{Delta ABC}} = frac{1}{4} cdot 40 = 10(c{m^2})]$

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

$[{S_{AMNC}} = frac{3}{4}{S_{Delta ABC}} = frac{3}{4} cdot 40 = 30(c{m^2}),]$

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Источник

Средняя линия треугольника и его площадь