Как найти площадь треугольника егэ формула - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Чтобы решать задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Начнем с квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Она также равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Для площади треугольника есть целых 5 формул. И все они применяются в задачах ЕГЭ.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S=displaystyle frac{1}{2}ah_a=displaystyle frac{1}{2}bh_b=displaystyle frac{1}{2}ch_c.$

2) Она также равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:

$S=displaystyle frac{1}{2}ab{sin C=displaystyle frac{1}{2}ac{sin B= } }displaystyle frac{1}{2}bc{sin A }.$

3) По формуле Герона, где $p=displaystyle frac{1}{2}left(a+b+cright)$ полупериметр.

4) Также площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радис вписанной окружности, S = pr.

5) Еще один способ. Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности, $S=displaystyle frac{abc}{4R}.$

Есть и другие формулы для площади треугольника. Но для решения заданий ЕГЭ, и первой, и второй части, достаточно этих пяти.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Она также равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к этой гипотенузе:

$S=displaystyle frac{1}{2}ab=displaystyle frac{1}{2}ch_{ }$

Площадь правильного треугольника равна квадрату его стороны, умноженному на sqrt{3} и деленному на 4:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h.$

Также можно сказать, что площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту,

Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, $S=displaystyle frac{1}{2}ACcdot BDcdot {sin alpha }$

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. Она также равна половине произведения диагоналей:

Площадь круга равна произведению числа и квадрата радиуса круга.

Ее также можно записать как произведение числа и квадрата диаметра круга, деленного на 4:

Вспомним важные свойства площадей фигур.

Равные фигуры имеют равные площади.
Иногда фигуры, имеющие равные площади, еще называют равновеликими.
Если фигура составлена из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

Пример. Найдем площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см times 1см.

Решение:

Найдем площадь фигуры на рисунке как сумму площадей нескольких фигур.

На рисунке это три треугольника и трапеция, указаны их площади. Тогда площадь фигуры равна 10 + 3,5 + 1,5 + 3 = 18.

Ответ: 18.

3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Треугольники АВС и на рисунке называются подобными.

У треугольника все стороны в k раз длиннее, чем у треугольника АВС. Высота треугольника в k раз длиннее, чем высота треугольника АВС. Тогда площадь треугольника в k^2 раз больше, чем площадь треугольника АВС.

4. На рисунке показаны треугольники АВС и BCD, имеющие общую высоту. Отношение площадей этих треугольников равно отношению АС к CD:

$displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{BCD}}=displaystyle frac{AC}{CD}$

5. Треугольники АВС и АЕС на рисунке имеют одинаковое основание и разные высоты.

Отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот:

$displaystyle frac{S_{ABC}}{S_{AEC}}=displaystyle frac{BD}{EH}.$

6. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, то есть равных по площади, треугольника.

На рисунке СМ — медиана треугольника АВС. Площади треугольников АСМ и ВСМ равны.

7. Три медианы треугольника делят его на шесть равных по площади треугольников.

На рисунке все 6 треугольников, из которых состоит треугольник АВС, имеют равные лощади.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Площади фигур.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен ${30}^circ.$

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому

$S=displaystyle frac{1}{2}cdot 8cdot 12cdot {sin 30{}^circ =displaystyle frac{1}{2}cdot 8cdot 12cdot displaystyle frac{1}{2}=24 }.$

Ответ: 24.

Задача 2. Площадь треугольника ABC равна 4, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение:

Так как DE и АВ параллельны, треугольники CDE и САВ подобны с коэффициентом подобия $displaystyle frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда

$S=displaystyle frac{1}{4}cdot 4=1.$

Ответ: 1.

Задача 3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Решение:

Выразим площадь двумя способами:
$S_{ABC}=displaystyle frac{1}{2}CHcdot AB=displaystyle frac{1}{2}AKcdot CB.$

Тогда $AK=displaystyle frac{CHcdot AB}{CB}=displaystyle frac{4cdot 9}{6}=6.$

Ответ: 6.

Задача 4. Площадь треугольника ABC равна 10, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Решение:

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом $displaystyle frac{1}{2}.$ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

$S_{CDE}=displaystyle frac{1}{4}cdot 10=2.5.$

Следовательно, .

Ответ: 7,5.

Задача 5. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, ${sin A=displaystyle frac{6}{7}}$ . Найдите большую высоту параллелограмма.

Решение:

Большая высота — это DH, потому что проведена к меньшей стороне. Из треугольника АDН:

$DH=AD{sin A=21cdot displaystyle frac{6}{7}=3cdot 6=18 }.$

Ответ: 18.

Задача 6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Решение:

Квадрат — это частный случай ромба. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 7. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1:2.

Решение:

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Площадь прямоугольника равна тогда одна из сторон равна 3, а другая 6. Периметр P = 2 · 3 + 2 · 6 = 18.

Ответ: 18.

Задача 8. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна вторая равна а острый угол параллелограмма равен alpha . Тогда площадь параллелограмма равна а площадь прямоугольника равна

По условию площадь прямоугольника вдвое больше:

${S_2=2S_1} .$ Следовательно, $acdot b=2acdot bcdot {sin alpha Leftrightarrow {sin alpha }=0,5 }Leftrightarrow alpha =30{}^circ.$

Ответ: 30.

Задача 9. Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть высоты равны соответственно a и b. Тогда S = 5 · a = 10 · b = 40. Поэтому a = 8, b = 4. Большая высота равна 8.

Ответ: 8.

Задача 10. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30 ${}^circ.$

Решение:

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла ромба. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть сторона ромба равна

Получим уравнение:

$a^2=a{sin alpha }.$

Корень уравнения a = 4, поэтому

Ответ: 8.

Задача 11. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S=displaystyle frac{1}{2}cdot 4cdot 12=24.$

Ответ: 24.

Задача 12. Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Трапеция равнобедренная, значит,

$AH=displaystyle frac{AB-DC}{2}=6;$

$AD=displaystyle frac{P_{ABCD}-left(AB+DCright)}{2}=10.$

Тогда по теореме Пифагора из треугольника ADH:

$DH=sqrt{{AD}^2-{AH}^2}=8;$

$S=displaystyle frac{AB+CD}{2}cdot DH=20cdot 8=160.$

Ответ: 160.

Задача 13. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45 ${}^circ.$

Решение:

Проведем высоту CH. Треугольник CHB — прямоугольный, в нем

$angle B=45{}^circ ,$ значит, он также равнобедренный, CH = HB = 4.
$S_{ABCD}=displaystyle frac{AB+CD}{2}cdot CH=4cdot 4=16.$

Ответ: 16.

Задача 14. Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Выразим её из формулы площади трапеции:
$S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot hLeftrightarrow displaystyle frac{a+b}{2}cdot 5=75Leftrightarrow displaystyle frac{a+b}{2}=15.$

Ответ: 15.

Задача 15. Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Пусть высота равна h, тогда

$S=displaystyle frac{27+9}{2}cdot h=72.$

Из этого уравнения получим: h = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции. Длина катета равна половине гипотенузы, следовательно, он лежит напротив угла ${30}^circ.$

Ответ: 30.

Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Задача 16. Найдем площадь четырехугольника на рисунке.

Решение:

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников:

Ответ: 12,5.

В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Задача 17. Найдем площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем:

Ответ: 10,5.

Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.

Задача 18.

Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Решение:

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна так как R=1. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R = 1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: 1.

Формула Пика

Покажем, как вычислять площадь фигуры, изображенной на координатной плоскости, с помощью формулы Пика.

Задача 19. Найдите площадь многоугольника АВСDE, изображенного на рисунке.

Первый способ:

Площадь многоугольника ABCDE равна сумме площадей треугольника BCD, трапеции BKDE и треугольника AKE.

Имеем:

$S_{vartriangle BCD}=displaystyle frac{1}{2}cdot 9cdot 2=9;$

$S_{BKDE}=displaystyle frac{1}{2}cdot (9+3)cdot 2=12;$

$S_{vartriangle AKE}=displaystyle frac{1}{2}cdot 3cdot 4=6;$

$S_{ABCDE}=9+12+6= 27.$

Второй способ — применить формулу Пика.

Назовем точку координатной плоскости целочисленной, если обе ее координаты — целые числа. На нашем рисунке это точки на пересечениях линий, разделяющих клетчатую бумагу на клетки.

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

Здесь В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Главное — аккуратно посчитать. На нашем рисунке

В = 24 (показаны зеленым),

Г = 8 (показаны красным),

S = 24 + $displaystyle frac{8}{2}$ — 1 = 27.

Ответ: 27.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Все формулы по геометрии. Площади фигур» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Привет! Это первая статья посвящённая планиметрии.

В ней речь пойдёт о задачах на площадь треугольника.

Вспомним основные формулы для площади треугольника.

Формулы для площади треугольника

Основная формула:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Запасная формула:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Формула Герона:

Решение задач

Приступим к тренировочным задачам задания №1 из ЕГЭ по математике профильного уровня на площадь треугольника.

Задача (Прямоугольный треугольник)

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 16 и 20.

Решение:

Здесь можно воспользоваться основной формулой для нахождения площади прямоугольного треугольника. Но важно знать, что любой катет — это и есть высота прямоугольного треугольника.

Таким образом, высота будет, к примеру, сторона AB. Тогда основанием будет сторона ВС.

Найдём сторону АВ по теореме Пифагора.

x² + 16² = 20²
x² = 400 — 256 = 144
x = 12

Тогда площадь будет равна:

S = 0,5 * 12 * 16 = 6 * 16 = 96

Ответ: 96

Задача (Прямоугольный треугольник, закрепление)

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора.

AC² = AB² + BC²
AC² = 6² + 8² = 100
AC = 10

Мы в прошлой задаче выяснили, что площадь прямоугольного треугольника можно найти, как половину произведения его катетов. А с другой стороны, исходя из основной формулы, площадь равна половине произведения высоты ВН и основания (гипотенузы AC).

S = 0,5*AB*BC = 0,5*BH*AC
BH = AB*BC / AC = 6*8 / 10 = 4,8

Ответ: 4,8

Задача (Три треугольника, одна высота)

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 100. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение:

Проведём в треугольнике ABC высоту BH. Оказывается, что ВН является высотой и для треугольника ABD, и для треугольника DBC, и для треугольника ABC.

Применим основную формулу для треугольника ABC и найдём высоту BH.

S_ABC = 0,5 * AC *BH
S_ABC = 0,5 * 10 * BH = 100
BH = 100 / (0,5*10) = 20

Теперь применим основную формулу, чтобы найти площадь треугольника BCD.

S_DBC = 0,5 * DC * BH
S_DBC = 0,5 * 7 * 20 = 70

Ответ: 70

Задача (Запасная формула)

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при основании равен 15°. Боковая сторона равна 10. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Здесь удобно использовать запасную формулу. Мы знаем две боковые стороны треугольника. Остаётся найти синус угла между ними.

Мы знаем, что углы при основании равны в равнобедренном треугольнике. Поэтому

∠ABC + ∠ВАС + ∠BCA = 180°
∠ABC = 180° — ∠ВАС — ∠BCA
∠ABC = 180° — 15° — 15° = 150°

Синус угла 150° известен. Он равен sin(150°) = sin(30°) = 0,5. Тогда

S = 0,5 * AB*BC * sin(∠ABC)
S = 0,5 * 10*10 * 0,5 = 25

Ответ: 25

Задача (Треугольники в ромбе)

Найдите площадь ромба, если один из его углов равен 60°, а меньшая диагональ равна 10. В ответе запишите число, делённое на √3.

Решение:

Меньшая диагональ будет находится напротив угла 60°, т.к. второй угол у ромба будет 120°, и напротив этого угла будет находится большая диагональ.

Рассмотрим треугольник ВАС. Мы знаем, что у ромба все стороны равны, поэтому треугольник ВАС равносторонний. Ведь, ВА = АС ⇒ ∠ABC = ∠ACB. Тогда

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°
x = ∠ABC = ∠ACB
x + x + 60° = 180°
2x = 120°
x = 60°

Значит, треугольник ВАС равносторонний. Следовательно, BA = AC = CB = 10.

Чтобы найти площадь ромба, можно разбить его на два одинаковых треугольника: BAC и BDC. Эти два треугольника равны по трём сторонам (BA = AC = CD = DB, BC — общая).

Площадь треугольника BAC легко найти по запасной формуле, ведь две стороны мы знаем, и синус угла между ними тоже известен.

S_BAC = 0,5 * BA * AC * sin(60°)
S_BAC = 0,5 * 10 * 10 * (√3/2)
S_BAC = 25 * √3

Площадь ромба будет равна

S_BACD = 2 * S_BAC = 2 * 25 * √3 = 50 * √3

В ответе нужно указать число, делённое на √3.

Ответ: 50

Задача (Решаем задачу двумя способами)

На рисунке AB ⊥ BD, AB = 5, AD = 13 и CD = 6. Найдите площадь треугольника CAD.

Решение:

Первый способ (основная формула)

Нам известна высота треугольника CAD, AB=5. Нам известно основание, на которое она опущена, это CD=6. Применим основную формулу для площади треугольника.

S_CAD = ½ * AB * CD
S_CAD = ½ * 5 * 6 = 15

Второй способ (запасная формула)

В прямоугольном треугольнике ABD найдём синус ∠BDA.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin(∠BDA) = AB/AD = 5/13

Теперь воспользуемся запасной формулой для треугольника CAD.

S_CAD = ½ * CD * DA * sin(∠BDA)
S_CAD = ½ * 6 * 13 * (5/13) = 15

Ответ: 15

Задача (Формула Герона)

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 28, 26, 30.

Решение:

Решим по формуле Герона.

Найдём полупериметр.

p=(28+26+30)/2 = 42

Тогда

Ответ: 336

На этом всё! Сегодня мы повторили основные формулы для нахождения площади треугольника и порешали задачи на эту темы. Всем удачи!

Источник

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона

S = √

p

(

p — a

)(

p — b

)(

p — c

)
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между ними.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,

a, b, c

— длины сторон треугольника,

— высота треугольника,

— угол между сторонами

— радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

— полупериметр треугольника.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника

где S — Площадь прямоугольника,

a, b

— длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Формула площади параллелограмма по диагоналям и углу между ними Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей, умноженному на синус угла между ними.
S = 1/2
d1 · d2 · sin

γ
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон, умноженному на синус угла между ними.

где S — Площадь параллелограмма,

a, b

— длины сторон параллелограмма,

— длина высоты параллелограмма,

— угол между сторонами параллелограмма,

γ —

угол между диагоналями параллелограмма,

d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — Площадь ромба,

— длина стороны ромба,

— длина высоты ромба,

— угол между сторонами ромба,

₁,

₂ — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции

S =
a

+

b
√(

p — a

)(

p — b

)(

p — a — c

)(

p — a — d

)

4|

a

—

b

|
Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту
где S — Площадь трапеции,
a, b

— длины основ трапеции,

c, d

— длины боковых сторон трапеции,

p

=

a

+

b

+

c

+

d
— полупериметр трапеции.

2

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника

(blacktriangleright) Площадь треугольника равна полупроизведению основания (a) и высоты (h), проведенной к этому основанию.

(blacktriangleright) Формула Герона для площади треугольника:

(large{S_{triangle}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}), где (p) – полупериметр.

(blacktriangleright) Если треугольники имеют равные высоты ((triangle) и (triangle_{1})), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

(blacktriangleright) Если треугольники имеют по равному углу ((triangle) и (triangle_{2})), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Задание
1

#263

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (angle C = 90^{circ}), (CM) – медиана, (AC = 4), (CM = 2,5). Найдите периметр треугольника (ABC).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда (AB = 2,5 cdot 2 = 5). По теореме Пифагора: (AB^2 = AC^2 + CB^2), откуда находим (CB = 3). Периметр треугольника (ABC) равен (3 + 4 + 5 = 12).

Ответ: 12

Задание
2

#264

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точка (D) лежит на стороне (AC) треугольника (ABC). Периметр треугольника (ABD) равен (10), периметр треугольника (BDC) равен (7), (BD = 3). Найдите периметр треугольника (ABC).

Периметр треугольника (ABC) равен (AB + AC + BC).

Периметр треугольника (BDC) равен (BD + DC + BC = 7), а (BD = 3), тогда (DC + BC = 4),

периметр треугольника (ABD) равен (AB + BD + AD = 10), тогда (AB + AD = 7).

(AB + AC + BC = AB + AD + DC + BC = 4 + 7 = 11).

Ответ: 11

Задание
3

#265

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (BD) – высота, (AD = 1), (DC = 3), (angle DBC = 45^{circ}). Найдите площадь треугольника (ABC).

(angle BCD = 90^{circ} — angle DBC = 45^{circ} = angle DBC), тогда (BD = DC = 3). Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника (ABC) равна (0,5 cdot (3 + 1) cdot 3 = 6).

Ответ: 6

Задание
4

#266

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (AF) и (BD) – высоты, (AF = 4), (BD = 3), (AC = 6). Найдите (BC).

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то (0,5 cdot AC cdot BD = 0,5 cdot BC cdot AF), откуда (9 = 0,5 cdot BC cdot 4), значит, (BC = 4,5).

Ответ: 4,5

Задание
5

#2644

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки (P) и (Q) – середины сторон (AB) и (AC) треугольника (ABC) соответственно. Найдите периметр треугольника (ABC), если периметр треугольника (APQ) равен (21).

(Задача от подписчиков.)

Т.к. (PQ) – средняя линия (triangle ABC), то (2PQ=BC). Периметр (triangle ABC): [P_{ABC}=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2cdot P_{APQ}=2cdot 21=42.]

Ответ: 42

Задание
6

#1768

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC): (BD) – медиана. Площадь треугольника (ABD) равна (1). Найдите площадь треугольника (ABC).

Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника (BDC) равна площади треугольника (ABD) и равна (1). Тогда площадь треугольника (ABC), равная сумме площадей треугольников (ABD) и (BDC), равна 2.

Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника (ABD) равна (0,5 cdot AD cdot h), где (h) – высота, проведённая из (B) к стороне (AC). Площадь треугольника (BDC) равна (0,5 cdot
CD cdot h), но (CD = AD), тогда (0,5 cdot AD cdot h = 0,5 cdot
CD cdot h) и, значит, площади треугольников (ABD) и (BDC) равны.

Ответ: 2

Задание
7

#1769

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC): точка (D) лежит на (AC), причём (dfrac{AD}{DC} = dfrac{2}{3}). Площадь треугольника (ABD) равна (7,5). Найдите площадь треугольника (BCD).

Построим высоту (BK)
Площадь треугольника (ABD) может быть найдена по формуле: (S_{ABD} = 0,5cdot ADcdot BK).
Аналогично (S_{BCD} = 0,5cdot CDcdot BK), откуда можно сделать вывод:
(dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = dfrac{0,5cdot CDcdot BK}{0,5cdot ADcdot BK} = dfrac{CD}{AD} = dfrac{3}{2}), тогда (S_{BCD} = dfrac{3}{2}cdot S_{ABD} = dfrac{3}{2}cdot 7,5 = 11,25).

Ответ: 11,25

Задачи на нахождение площади и периметра равностороннего и равнобедренного треугольника каждый год включаются в программу ЕГЭ по математике. Понимать принцип их решения должны старшеклассники, которые планируют сдавать базовый и профильный уровень аттестационного испытания. Научившись правильно решать задачи на нахождение периметра треугольника в ЕГЭ, школьники смогут оперативно выполнять задания в несколько действий и рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по результатам сдачи единого госэкзамена.

Подготовка к аттестационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

Зачастую во время занятий накануне сдачи единого государственного экзамена перед учащимися встает проблема поиска подходящего источника. Школьного учебника иногда просто не оказывается под рукой в нужный момент. А подобрать все необходимые формулы, к примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника оказывается вовсе не так легко даже в Интернете.

Чтобы успешно пройти выпускное аттестационное испытание, рекомендуем вам заниматься вместе с образовательным порталом «Школково». Наш ресурс предлагает учащимся и преподавателям выстроить процесс подготовки к единому госэкзамену по-новому. Занимаясь вместе с нами, старшеклассники смогут определить те разделы, которые вызывают у них наибольшие трудности, и улучшить собственные знания.

На сайте «Школково» собран весь базовый материал по теме «Вычисление длин и площадей треугольника», который позволит качественно подготовиться к единому государственному экзамену. Данная информация систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом их богатого опыта максимально просто и понятно.

Чтобы задачи ЕГЭ на вычисление площади правильного треугольника по трем сторонам не вызывали особых затруднений, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Множество подобных заданий представлено в разделе «Каталог». В каждом из них старшеклассники смогут увидеть подробный алгоритм решения и правильный ответ. Базу упражнений в соответствующем разделе мы регулярно обновляем и дополняем.

Выполнять задания на нахождение высоты треугольника или его площади учащиеся из МО и других регионов нашей страны могут в онлайн-режиме. В случае необходимости выполненное упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем задачу, к примеру, на вычисление периметра треугольника можно будет оперативно найти, чтобы обсудить принцип ее решения со школьным преподавателем или репетитором.

Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды

Источник

Теперь вам не нужно тратить время на долгие вычисления, прежде чем вы сможете узнать площадь треугольника. Зная методы расчета, используемые для расчета площади треугольника, вы легко сможете это сделать самостоятельно. Действительно, всегда лучше знать формулы площади треугольника. Треугольники могут быть разными и вы это знаете, но как найти площадь треугольника если вам практически ничего неизвестно о треугольнике? И что нужно знать из размеров треугольника, чтобы найти его площадь. Давайте разбираться. При этом тема не так проста как кажется на первый взгляд, наверное, поэтому задачи нахождения площади треугольника есть и в ОГЭ и в ЕГЭ по математике.

Что такое треугольник
Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон
- Разносторонний треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
Площадь треугольника
- Площадь разностороннего треугольника
- Формула Герона определения площади треугольника
- Площадь равнобедренного треугольника
- Площадь прямоугольного треугольника
- Площадь равностороннего треугольника

Что такое треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.

Сумма трех углов треугольника должна быть равна 180°.

Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).

Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.

Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон

Разносторонний треугольник

Мы узнаем разносторонний треугольник по трем сторонам, которые имеют разную длину. Эта треугольная форма может быть построена только с тремя разными углами. Кроме того, один из них может быть прямым углом (или углом 90 °). В общем, название «произвольный треугольник» используется для разностороннего треугольника.

Равнобедренный треугольник

Мы говорим, что треугольник равнобедренный, если он имеет две стороны одинаковой длины и два равных угла при основании. Равнобедренный треугольник также можно узнать по тому факту, что его высота представляет его ось симметрии, его медиану и биссектрису.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник обязательно имеет прямой угол. Другими словами, сумма двух других его углов должна быть равна 90°. Прямоугольный треугольник также имеет гипотенузу.

Это противоположная сторона вершине с прямым углом. Прямой треугольник может быть разносторонним (или любым), если его три стороны имеют разную длину.

Кроме того, он может быть равнобедренным в том случае, если он имеет два одинаковых катета.

Равносторонний треугольник

Треугольник называется равносторонним, если он имеет три стороны одинаковой длины. Поэтому все его углы также равны и каждый по 60°. В равностороннем треугольнике любая высота также выступает в качестве медианы и биссектрисы.

Площадь треугольника

Площадь разностороннего треугольника

Вычисляем площадь треугольника без особенностей – все его стороны разные и все углы разные.

Если известны две стороны треугольника и угол между ними, то площадь разностороннего треугольника вычисляется по формуле “площадь треугольника через две стороны и угол между ними”:

$S=frac{1}{2} cdot ab cdot sin alpha$

Если известны высота в треугольнике и основание, то используется формула площади треугольника через основание и высоту:

$S=frac{1}{2} ah$

Формула Герона определения площади треугольника

Если известны стороны любого треугольника, то его площадь можно определить по формуле Герона.

, где $p=frac{a+b+c}{2}$

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь треугольника через основание и сторону можно найти, если известны сторона и основания равнобедренного треугольника.

$S=frac{1}{4}b sqrt{4a^2-b^2}$

К равнобедренному треугольнику также применима формула площади треугольника через основание, сторону и угол между ними:

$S=frac{1}{2}ab cdot sin alpha$

Найти площадь равнобедренного треугольника можно также через боковые стороны и угол между ними.

$S=frac{1}{2} a^2 cdot sin alpha$

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

$S=frac{b^2}{4 tg frac{alpha}{2}}$

Площадь прямоугольного треугольника

Приведем формулы площади прямоугольного треугольника. Формула площади прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол:

$S=frac{a^2 cdot tg alpha}{2}$

Площадь прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника, если в него вписана окружность:

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника можно найти через радиус описанной окружности.

$S=frac{3 sqrt{3} R^2}{4}$

Если дан радиус вписанной окружности, то площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

$S=3r^2 sqrt{3}$

Площадь равностороннего треугольника, если известна сторона треугольника:

$S=frac{sqrt{3}}{4} cdot a^2$

Площадь равностороннего треугольника, если известна высота треугольника:

$S=frac{h^2}{sqrt{3}}$

Источник

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Формулы для площади треугольника

Решение задач

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Формула площади прямоугольника

Формулы площади параллелограмма

Формулы площади ромба

Формулы площади трапеции

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника

Подготовка к аттестационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

Что такое треугольник

Различные типы треугольников в зависимости от длины их сторон

Разносторонний треугольник

Равнобедренный треугольник

Прямоугольный треугольник

Равносторонний треугольник

Площадь треугольника

Площадь разностороннего треугольника

Формула Герона определения площади треугольника

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://repetitor-mathematics.ru/wp-content/uploads/2021/06/d18227.jpg" alt="Площади треугольника" width="897" height="624" />

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь равностороннего треугольника