Как найти площадь треугольника если известны катеты

Найти площадь прямоугольного треугольника

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Геометрия
  6. /
  7. Найти площадь прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать площадь прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Прямоугольный треугольник

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • длины катетов a и b
  • длину гипотенузы с и длину любого из катетов (a или b)
  • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • длину гипотенузы с и один из острых углов (α или β)

Найти площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a =
Катет b =
S =

0

Просто введите длины двух катетов, и получите ответ.

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формула

S = ½ ⋅ a ⋅ b

Пример

К примеру найдём площадь прямоугольного треугольника у которого сторона a = 2 см, а сторона b = 4 см:

S = 2 ⋅ 4 / 2 = 8 / 2 = 4 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Гипотенуза c =
Катет (a или b) =
S =

0

Введите длины гипотенузы и одного из катетов, и получите ответ.

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны его гипотенуза (c) и один из катетов (a или b)?

Формула

S = ½ ⋅ a ⋅ √c² — a² = ½ ⋅ b ⋅ √c² — b²

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 2 см, а гипотенуза c = 5 см:

S = 2 ⋅ √5² — 2² / 2 = √25 — 4 ≈ 4.58 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (a или b) =
Прилежащий угол (β или α) = °
S =

0

Введите длину одного из катетов и прилежащий к нему острый угол в градусах.

То есть к катету a прилежащий ∠β, а к катету b — ∠α

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(β) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(α)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а прилежащий к нему ∠β = 45°:

S = ½ ⋅ 4² ⋅ tg(45) = ½ ⋅ 16 ⋅ 1 = 16 / 2 = 8 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (a или b) =
Противолежащий угол (α или β) = °
S =

0

Введите длину одного из катетов и противолежащий к нему острый угол в градусах.

То есть к катету a противолежащий ∠α, а к катету b — ∠β

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(90 — α) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(90 — β)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а противолежащий к нему ∠α = 45°:

S = 4² / 2⋅ tg(45) = 16 / 2 ⋅ 1 = 8 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника зная длину гипотенузы и один из острых углов

Гипотенуза c =
Угол (α или β) = °
S =

0

Введите длину гипотенузы и один из острых угол в градусах.

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны длина гипотенузы (c) и один из острых углов?

Формула

S = ½ ⋅ c² ⋅ sin(α) ⋅ cos(α) = ½ ⋅ c² ⋅ sin(β) ⋅ cos(β)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого гипотенуза c = 8 см, а ∠α = 45°:

S = ½ ⋅ 8² ⋅ sin(45) ⋅ cos(45) ≈ ½ ⋅ 64 ⋅ 0.7071067812 ⋅ 0.7071067812 ≈ 16 см²

Источник

Какие размеры известны:

Два катета

Катет и гиппотенуза

Укажите размеры:

Результат:

Решение:

Скопировать

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.

Треугольники бывают прямоугольный, равнобедренный, равносторонний.

Катет — это прилежащая прямому углу сторона треугольника.

Гипотенуза — это сторона треугольника противолежащая прямому углу.

Формула площади прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать площадь прямоугольного треугольника, необходимо знать размеры двух сторон треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника расчитывается по формуле:

a
b
c

S = dfrac{a cdot b}{2}

  • S — площадь треугольника
  • a — катет
  • b — катет
  • c — гипотенуза

Если известены размеры только одного катета и гипотенузы, тогда площадь прямоугольного треугольника можно расчитать по формулам:

S = dfrac{a cdot sqrt{c^2 — a^2}}{2}

S = dfrac{b cdot sqrt{c^2 — b^2}}{2}

Похожие калькуляторы:

Войдите чтобы писать комментарии

Источник

Площадь прямоугольного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь прямоугольного треугольника. Для нахождения площади прямоугольного треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Содержание

  • Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам
  • Площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
  • Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу
  • Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
  • Площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу
  • Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и вписанной окружности
  • Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Как известно, площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (см. страницу Площадь треугольника онлайн).В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу. Поэтому можно один из них считать как основание, а другой − как высоту.

На рисунке 1 можем считать a как основание, а b − как высоту. Тогда площадь прямоугольного треугольника равна:

Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника: Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (1). Подставляя значения в (1), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и гипотенуза c (Рис.2):

Найдем площадь треугольника. Из формулы Пифагора имеем:

Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления площади прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе:

Пример 2. Известны катет и гипотенуза прямоугольного треугольника: Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (3). Подставляя значения в (3), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и угол α (Рис.3):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Из теоремы синусов имеем:

или

Подставим (4) в (1):

Из формулы произведения тригонометрических функций имеем:

Подставим в (6) ( small beta=alpha ):

Применяя (7) относительно формулы (5), получим:

Пример 3. Известны гипотенуза и прилегающий угол прямоугольного треугольника: . Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (8). Подставляя значения в (8), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и прилежащий угол α (Рис.4):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Тангенс угла α прямоугольного треугольника равна:

Откуда

Подставляя (9) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:

Пример 4. Известны катет и прилегающий угол прямоугольного треугольника: . Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (10). Подставляя значения в (10), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и противолежащий угол α (Рис.5):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Коангенс угла α прямоугольного треугольника равна:

Откуда

Подставляя (12) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по катету и противожащему углу:

Пример 5. Известны катет и противолежащий угол прямоугольного треугольника: . Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (13). Подставляя значения в (13), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и вписанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и радиус вписанной окружности r (Рис.6):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Соединим центр окружности O c вершинами A, B и с точками D, E, F.

Треугольники AOD, AOF, BOD, BOE прямоугольные, поскольку Прямоугольные треугольники AOD и AOF равны по гипотенузе и катету (сторона AO общая, OD=OF):

Прямоугольные треугольники BOD и BOE равны по гипотенузе и катету (сторона BO общая, OD=OE):

Запишем формулы площадей прямоугольных треугольников AOD и BOD и квадрата OECF:

Тогда, учитывая (14) и (15), площадь прямоугольного треугольника ABC равна:

Подставляя (16), (17) в (18), получим:

или

Пример 6. Известны гипотенуза и радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника: Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (19). Подставляя значения в (19), получим:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Пусть в прямоугольном треугольнике известны отрезки AD и DB (Рис.6). Найдем площадь прямоугольного треугольника выраженные через эти отрезки. Площадь прямоугольного треугольника через катеты имеет вид:

Учитывая, что , (20) примет вид:

То есть

Сравнивая формулы (19) и (21) можем записать:

Таким образом формула площади прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность имеет следующий вид:

Пример 7. Известны отрезки гипотенузы разделенные вписанной окружностью прямоугольного треугольника (Рис.6) Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (22). Подставляя значения в (22), получим:

Ответ:

Смотрите также:

  • Площадь треугольника онлайн
  • Площадь равностороннего треугольника онлайн
  • Площадь равнобедренного треугольника онлайн

Источник

Содержание материала

  1. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  2. Видео
  3. Площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу
  4. Если он равносторонний
  5. Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты
  6. Если известны длины трех сторон
  7. Как найти площадь равностороннего треугольника

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Полупериметр:  Сторона a Сторона b Сторона c

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.

Видео

Площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

Пусть в прямоугольном треугольнике известны катет a и противолежащий угол α (Рис.5):

Найдем площадь прямоугольного треугольника. Коангенс угла α прямоугольного треугольника равна:

.

Откуда

(12). (12)

Подставляя (12) в (1), получим формулу площади прямоугольного треугольника по катету и противожащему углу:

(13). (13)

Пример 5. Известны катет и противолежащий угол прямоугольного треугольника: Решение. Для вычисления площади треугольника восп. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (13). Подставляя значения в (13), получим:

Ответ:

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты

Чтобы найти площадь, нужно вывести формулу:

Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то один катет — это высота, проведенная ко второму катету.

Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.

S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты

Если известны длины трех сторон

Делайте так:

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  1. Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
  2. Поделите результат на четыре.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.
  • 7 причин полюбить математику
  • ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
  • 10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
  • Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
  • ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?

Теги

Источник

Как найти площадь любого треугольника

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Как найти площадь любого треугольника

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

  1. Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
  2. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

  1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
  2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
  3. Перемножьте полученные числа.
  4. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a и b — стороны треугольника.
  • α — угол между сторонами a и b.

Зная три стороны (формула Герона)

  1. Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
  2. Найдите произведение полученных чисел.
  3. Умножьте результат на полупериметр.
  4. Найдите корень из полученного числа.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b, c — стороны треугольника.
  • p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

  1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
  2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • R — радиус описанной окружности.
  • a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • r — радиус вписанной окружности.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

  1. Посчитайте произведение катетов треугольника.
  2. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

  1. Умножьте основание на высоту треугольника.
  2. Поделите результат на два.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  1. Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
  2. Поделите результат на четыре.
  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

  • 7 причин полюбить математику
  • ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
  • 10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
  • Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
  • ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Что делать если ошибка 404 страница не найдена как исправить
  • Как найти работу в усть илимске на
  • Как найти плотность тела зная давление
  • Как найти собственника газопровода
  • Как правильно составить смету бюджетного учреждения