Как найти площадь треугольника используя формулу герона

Понятие площади

В этом собственно и состоит понятие площади. У неё есть следующие два свойства:

1. Площадь равных геометрических фигур имеет одно и то же числовое значение;
2. Величина площади фигуры равняется сумме единичных площадей квадратов, на которые её можно разделить.

Пример 1.

Пусть у нас имеется прямоугольник в котором укладывается 7 клеток по вертикали и 12 по горизонтали. Это значит он будет иметь стороны a=7 и b=12.

Из рисунка видно, что S нашего треугольника это половина таковой у прямоугольника.  Последняя вычисляется так [mathrm{S}_{text {прям }}=mathrm{a} * mathrm{~b}]. Чтобы узнать площадь треугольника, разделим [mathrm{S}_{text {прям }}] на 2, тогда получим:

Подставляем численные значения (7*12)/2 = 42.

Как найти площадь треугольника, если мы знаем его основание и высоту

В нашем случае основанием считается сторона AB. Формула для S получается следующей:

Доказательство:

Посмотрите рисунок. Из него ясно видно, что высота h делит ABC на 2 прямоугольных треугольника ACH и HCB.

По формуле (1) вычисление S каждого из них идёт так.

S(ACH) = (1/2)(AH)*h

S(HCB)=(1/2)(HB)*h

Чтобы вычислить площадь треугольника abc, нужно S(ACH) и S(HCB) сложить.

S=(1/2)(AH)*h+ (1/2)(HB)*h

Выносим (1/2) и h за скобки и получаем

(1/2)*h*(AH+HB)

Но AH+HB=AB, т. е.

S = (1/2)*AB*h, что и требовалось доказать.

Как видите, формулу площади треугольника получить и доказать достаточно легко.

Теперь о том, как найти площадь треугольника прибегнув к формуле Герона. Эта задача тоже не особо трудная.

Формула Герона для треугольника

По формуле Герона S треугольника, имеющего стороны a, b, c равна:

[S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}]

P — полупериметр. Он равен

[p=frac{a+b+c}{2}]

Доказательство:

Положим, что x=CH. В этом случае BH=a-x

С помощью теоремы Пифагора по отношению к AHC и AHB будем иметь

Из них следует, что

[b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}]

Отсюда легко найти

Чтобы найти h подставляем (5) в (3) и получаем

[h=sqrt{b^{2}-x^{2}}=sqrt{b^{2}-left(frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a}right)^{2}}] (6)

Тогда S будет равняться

[S=frac{1}{2} cdot a cdot h=frac{1}{2} cdot a cdot sqrt{b^{2}-left(frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a}right)^{2}}] (7)

Преобразовав это выражение, получаем формулу Герона для площади треугольника.

Вот так можно найти площадь треугольника по формуле Герона.

Площадь равностороннего треугольника

где a —длина одной из трёх сторон.

Для её доказательства употребим формулу Герона.

Полупериметр в нашем случае равен

p = (З/2)*a

Выражение под знаком корня в формуле Герона можно записать в виде

[sqrt{p^{*}(p-a)^{2 *}(p-a)}]

Выносим второй член произведения из-под корня и получаем

[(p-a) sqrt{p^{*}(p-a)}]

Далее так как p-a = (За-2а)/2=a/2 формула Герона для треугольника приобретает следующий вид

[mathrm{S}=mathrm{a} / 2 sqrt{(3 / 4)^{*} mathrm{a}^{2}}]

Выносим из-под корня a² и 4 в знаменателе, в результате расчёта получаем

[S=frac{alpha^{2} sqrt{3}}{4}]

Что и требовалось доказать.

В данной публикации мы рассмотрим формулу Герона, пользуясь которой можно найти площадь треугольника. Также разберем примеры решения задач для того, чтобы закрепить представленный материал.

Формула площади

Площадь треугольника (S) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра (p) на разности полупериметра и каждой из его сторон (a, b, c).

S = √p(p-a)(p-b)(p-c)

Полупериметр (p) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение
Для начала найдем полупериметр:
p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, подставив в нее заданные значения:
S = √12(12 – 6)(12 – 8)(12 – 10) = √12 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 см².

Задание 2
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равняется 15 см, а одного из катетов – 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Решение
Пусть гипотенуза – это c, известный катет – a, а неизвестный – b.

Применим Теорему Пифагора, чтобы найти длину катета b:
b² = c² – a² = 15² – 9² = 144 см², следовательно, b = 12 cм.

Полупериметр треугольника равен:
p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Остается только использовать формулу для нахождения площади:
S = √18(18 – 9)(18 – 12)(18 – 15) = √18 ⋅ 9 ⋅ 6 ⋅ 3 = 54 см².

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

Формула Герона

Формула Герона носит такое название в честь греческого математика и инженера Герона Александрийского. Он жил в I веке нашей эры. Герон занимался механикой, оптикой, геометрией и гидростатикой. Учёный интересовался треугольниками с целочисленными сторонами и целочисленными площадями. Такие фигуры получили название Героновых треугольников.

Формулировка теоремы Герона

Формула Герона – это арифметическая формула для вычисления площади треугольника по длинам его сторон. В таком случае площадь равна корню из произведения разностей полупериметра и каждой из его сторон.

Формула и доказательство

Формула Герона выглядит следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(S;=;sqrt{pleft(p-aright)left(p-bright)left(p-cright)})

где S – это площадь треугольника; a, b, c – это стороны треугольника; p – это полупериметр треугольника.

Чтобы вычислять полупериметр, нужно пользоваться формулой:

(p;=;frac{a+b+c}2)

Приведем доказательство.

Для этого рассмотрим треугольник ABC.

(left|ABright|=c,;left|BCright|=a,;left|ACright|=b)

CH – высота треугольника.

(left|CHright|=h,;left|AHright|=x,;left|BHright|=y)

Тогда (c=x+y).

По теореме Пифагора из треугольников ACH и BCH получаем:

(h^2=b^2-x^2=a^2-y^2)

Из этого:

(y^2-x^2=a^2-b^2)

((y-x)(y+x)=a^2-b^2)

(x+y=c)

Соответственно:

((y-x)c=a^2-b^2) и (y-x=frac1c (a^2-b^2))

Если сложить последнее равенство с (y+x=c), то получается

(y;=;frac{c^2+a^2-b^2}{2c})

Найдем высоту треугольника.

(h^2;=;a^2-y^2=left(a-yright)left(a+yright)=left(a-frac{c^2+a^2-b^2}{2c}right)left(a+frac{c^2+a^2-b^2}{2c}right)=frac{2ac-c^2-a^2+b^2}{2c}timesfrac{2ac+c^2+a^2-b^2}{2c}=frac{b^2-left(a-cright)^2}{2c}timesfrac{left(a+cright)^2-b^2}{2c}=frac{left(b-a+cright)timesleft(b+a-cright)}{2c}timesfrac{left(a+c-bright)timesleft(a+c+bright)}{2c})

Так как (p=frac12left(a+b+cright)), то ( b+c=2p-a),( a+b=2p-c), (a+c=2p-b), (a+b+c=2p).

С помощью этих равенств найдем высоту.

(h^2=frac{left(2p-2aright)left(2p-2cright)left(2p-2bright)2p}{4c^2}=frac{4pleft(p-aright)left(p-cright)left(p-bright)}{c^2})

А так как (S=frac12ch), то теорема доказана.

Для каких треугольников действует теорема

Применение формулы Герона допустимо для треугольников, у которых известны длины всех их сторон.

Примеры решения задач

Задача 1

Рассчитать площадь треугольника, если a=6, b=8, c=6.

Решение

(p=frac{6+8+6}2=10)

Тогда площадь треугольника равна:

(S=10sqrt{left(10-6right)left(10-8right)left(10-6right)}=320)

Ответ: 320 см².

Задача 2

Вычислить площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 51, а диагонали равны 40 и 74.

Решение

Диагонали AC и BD  пересекаются в точке O.

Если  AD = 51,  AC = 40  и  BD = 74,  то  AO = 20,  OD = 37.

По формуле Герона:

(S_{ABCD} = 4S_{AOD} = sqrt{54left(54-51right)left(54-37right)left(54-20right)}=1224)

Ответ: 1224 см². 

Задача 3

В треугольнике ABC три стороны:  AB = 26,  BC = 30  и  AC = 28. Найти часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины B.

Решение

BP и BQ – высота и биссектриса треугольника.

По формуле Герона:

(S=sqrt{42left(42-30right)left(42-28right)left(42-26right)}=336)

(S = ½ AC·BP)

Поэтому  (BP =frac{2S}{AC}=frac{2times336}{28}=24).

По свойству биссектрисы треугольника:

(frac{AQ}{QC}=frac{AB}{BC}=frac{26}{30}=frac{13}{15})

Соответственно (AQ=frac{13}{28}AC = 13).

По теореме Пифагора из треугольника APB получаем:

(AP=sqrt{AP^2-BP^2}=sqrt{26^2-24^2}=sqrt{2times50}=10)

Следовательно,  (PQ = AQ – AP = 13 – 10 = 3)

(S_{BPQ} = ½ PQ·BP = frac{3times24}2=36)

Ответ: 36 см².